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恒高一对一普陀初高中补习班幂指对函数、函数与方程、函数与数列


恒高教育

高中数学

教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 授课 类型 授课日期 时段 教学内容 年 级:高三 辅导科目:数学 课 时 数:3 学科教师:

T 幂指对函数

C 函数与方程

C 函数与数列

T:幂指对函数(★★★)

学目标
1、掌握幂指对函数的基本概念和性质和图像; 2、能够熟练掌握幂指对函数的性质,并能灵活应用; 3、理解幂指对形式的复合函数.

知识梳理
1、幂函数
? (1)定义:形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.

(2)性质如下: (i)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (ii) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数 的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (iii) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图 象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. (3) y ? x (? ? 0,1) 在第一象限的图像,可分为如图中的三类:
?

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? ?1

0?? ?1

? ?0

2、指数函数 (1)定义:形如 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的函数是指数函数.

(2)图象和性质

? ?1

0?? ?1

图 象

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 3、对数函数 (1)定义:形如 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )的函数是对数函数。 (4)在 R 上是减函数

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y = Loga x (0<a<1)





y = Loga x (a>1)

图 像

R+ 值 域 R 单调性 增函数 过定点 (1,0) 0<x<1时,y<0 取值范围 x>1时,y>0
定义域

R+ R 减函数 (1,0) 0<x<1时,y>0 x>1时,y<0

典例精讲
例 1(★★)已知 lg 2 = a , 10 =3,则 log12 5 可表示为( (A)
b



1? a 1? a 1? a 1? a ; (B) ; (C) ; (D) . 2a ? b a ? 2b 2a ? b a ? 2b

例 2(★★★)已知幂函数 f ( x) ? x m 则 f ( x) 解析式是

2

?2m?3

(m ? Z ) 的图像与 x 轴,y 轴都无交点,且其图像关于 y 轴对称,

巩固练习 1(★★★)函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) xm
2

?2m?3

是幂函数,且在 x ? (0, ??) 上是减函数,则实数 m ? ______

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2(★★★)设 x ? (0,1) ,幂函数 y ? x a 的图象在 y ? x 的上方,则 a 的取值范围是

例 3(★★★)求函数 y ? loga ( x ? x )(a ? 0, a ? 1) 的值域和单调区间.
2

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巩固练习 1 ( ★ ★ ★ ) 若 函 数 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在 区 间 (??,1 ? 3) 上 是 增 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 ________________

x a ? 1 2(★★★)已知函数 f() x? x ( a ? 0 且 a ? 1 ) a? 1

(1)求 f ( x) 的定义域和值域;Ks5u (2)讨论 f ( x) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x) 的单调性.

例 4(★★★)画出函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象,并利用图象回答: k 为何值时,方程 k ?| 3 ? 1 | 无解?有一解?
x x

有两解?Ks5

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1(★★)如下图为指数函数 (1) y ? a x , (2) y ? b x , (3) y ? c x , (4) y ? d x ,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为( )

A. a ? b ? 1 ? c ? d C. 1 ? a ? b ? c ? d

B. b ? a ? 1 ? d ? c D. a ? b ? 1 ? d ? c

a b

y

c d

O
3 1

x
2 ? 1

?2 ?3 2(★★★) y ? x 2 ; (2) y ? x 3 ; (3) y ? x 3 ; (4) y ? x ; (5) y ? x ; (6) y ? x 2 .

例 5(★★★) (1)解方程 log2 ( x ? 14) ? log2 ( x ? 2) ? 3 ? log2 ( x ? 6) (2)解方程 (log3 x)2 ? log9 3x ? 2

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巩固练习 1(★★) 3
x2 ?1

=81× 3

x ?1

2(★★★) 5 - 5

x

2? x

+24=0

回顾总结
1、幂函数 y ? x a ,当 a ? 0 时,其在第一象限单调递增. 2、指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的增减性由 a 来决定.
x

3、思考指对数复合函数的单调性一般遵循 同增异减的原则.

C:函数与方程思想 ★★★★
教学目标
理解函数思想与方程思想的含义,以及它们之间的联系,能熟练利用函数与方程的思想解题.

知识梳理
1.函数与方程思想的含义 函数与方程是中学数学的重要概念, 它们之间有着密切的练习。 函数与方程的思想是中学数学的基本思想, 主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题,是历来高考的重点和热点. (1)函数思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函 数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导 解题,即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. (2)方程思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运 用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是 善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题. (3)方程的思想与函数的思想密切相关:方程 f ( x) ? 0 的解就是函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴的交点的横坐标 (零点) ;函数 y ? f ( x) 也可以看作二元方程 f ( x) ? y ? 0 ;通过方程进行研究,方程 f ( x) ? a 有解,当且仅

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当 a 属于函数 f ( x) 的值域; y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像的交点问题,就是研究方程 f ( x) ? g ( x) 的实数解的 问题,函数与方程的这种相互转化关系十分重要. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化,对函数 y ? f ( x) ,当 y ? 0 时,就化为不等式 f ( x) ? 0 ,借助于函数的图像 和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式; (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要; (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论; (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决, 建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.

典例精讲
例 1. (★★)关于 x 的方程 9 x ? (4 ? a)3 x ? 4 ? 0 恒有解,求 a 的取值范围.

例 2. (★★★)已知 f ( x) ? loga [ x ? (2a) x ] 对任意 x ? ( , ??) 都有意义,则 a 的范围是(

1 2



A . (0, ] ;

1 4

B . (0, ) ;

1 4

1 C . [ ,1) ; 4

D.( , ).

1 1 4 2

例 3. (★★★)关于 x 的不等式 x ? ax ?

3 的解集是 (4, m) ,求实数 a, m 的值。 2

例 4. (★★★)设集合 A ? {x | 4 ? 2
x

x?2

? a ? 0, x ? R}.

(1)若 A 中仅有一个元素,求实数 a 的取值集合 B; (2)若对任意 a ? B ,不等式 x ? 6x ? a( x ? 2) 恒成立,求 x 的取值范围.
2

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例 5. (★★★)对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围.

例 6.(★★★★) (2010, 卢湾) 已知定义在区间 [0,2] 上的两个函数 f ( x) 和 g ( x) , 其中 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4

x2 ( a ? 1) , g ( x) ? . x ?1
(1)求函数 y ? f ( x) 的最小值 m( a ) ; (2)若对任意 x1 , x2 ? [0,2] , f ( x2 ) ? g ( x1 ) 恒成立,求 a 的取值范围.

课堂检测
1. (★★)方程 sin2x+cos x+k=0 有解,则 k 的取值范围为 ( ) 5 5 5 C .0≤k≤4 A .-1≤k≤4; B .-4≤k≤0;

D .-4≤k≤1.

5

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2. (★★★)函数 y ? log 1 ( x2 ? 2mx ? 3) 在 (??,1) 上为增函数,则实数 m 的取值范围为________.
2

3. (★★★)已知关于的方程 sin x ? a cos x ? 2a ? 0 有解,则 a 的取值范围是________.
2

?π ? 4. (★★★★)已知函数 f(x)=cos x,x∈? ,3π ?,若方程 f(x)=a 有三个不同的根,且从小到大依次成 ?2 ? 等比数列,则 a=________.

5. (★★★)已知 f (t ) ? log2 t , t ?[ 2,8] ,对于 f (t ) 值域内的所有实数 m ,不等式

x2 ? mx ? 4 ? 2m ? 4 x 恒成立,求 x 的取值范围.

6.(★★★★)设 f ( x) ? 2 x ?

x 2 ? 1 ( x ? 1 ),试找出最大的实数 a ,使得 f ( x) ? ax 恒成立.

2 7. (★★★★)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x , g ( x) ? ax ? 2 ( a ? 0 ) ,若任意 x1 ? [?1,2] ,存在 x2 ? [?1,2] ,

使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围是________.

8. (★★★★)f ?x ? 是定义在 R 上的以 2 为周期的函数, 对k ? Z , 用 I k 表示区间 [2k ? 1, 2k ? 1] , 已知当 x ? I 0

恒高教育 时, f ? x ? ? x2 . (1).求 f ?x ? 在 I k 上的解析式; (2)对自然数 k ,求集合 M k ={ a |使方程 f ( x) ? ax 在 I k 上有两个不相等的实根}.

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9. (★★★★)已知

f ( x) 是 定 义 在 [?1,1] 上 的 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若 a, b ?[?1,1] , a ? b ? 0 , 有

f ( a ) ? f (b ) ? 0 恒成立. a?b
(1)判断

f ( x) 在 [?1,1] 上是增函数还是减函数,并证明你的结论;

(2)解不等式

? 1? f ?x? ?? ? 2?

? 1 ? f? ?; ? x ?1 ?
对所有 x ?[?1,1] , a ?[?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

(3)若

f ( x) ? m2 ? 2am ? 1

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回顾总结
1.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题, 二是在问题的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解; 2.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参 变量称为主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰,解方程的实质就是分离参变量.

C:函数与数列★★★
教学目标
1.理解并能知道数列是一个定义域在 N 上的函数; 2.掌握好等差数列的相关函数性质.
?

知识梳理

1.数列的定义:数列

可以看作以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数 an ? f (n) ,当自变量按照从小到大的顺序依次取值 时,所对应的一列函数值; 2.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N ? ) ,不难看出: 当 d ? 0 ,则等差数列为一个常数列; 当 d ? 0 ,则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数. 3.等差数列的前 n 项和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d d ? a1n ? d ? n 2 ? (a1 ? )n(n ? N ? ) . 2 2 2 2

当 d ? 0 ,则等差数列前 n 项和为一次函数( a1 ? 0 ) ; 当 d ? 0 ,则等差数列前 n 项和为过原点的二次函数,开口方向由 d 的符号决定.

典例精讲
例1.(★★)设数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 是第__________项.

n ? 13 n ? 14

,则该数列中最最大的项是第__________项,最小的项

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例2.(★★★)已知数列 an ? n2 ? kn 为递增数列,则 k 的取值范围是__________. 例3.(★★★)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 16, an?1 ? an ? 2n ,则

an 的最小值为__________. n

课堂检测
1.(★★★)公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1, an ? 51 ,则 n ? d 的最小值为__________.

2.(★★★)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ( n ? 1)(

9 n ) ,是否存在自然数 m ,使对于一切 n ? N ? , an ? am 10

恒成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

3.(★★★)已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自 然数 n 是__________.

4.(★★★★)已知函数 f ( x) ? (1) 求 f ( x) 的解析式;

1 1 (m ? 0), x1 , x2 ? R ,当 x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? . 2 4 ?m
x

(2) 数列 ?an ? ,若 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (
?

1 n

2 n

n ?1 n ) ? f ( ) ,求 an ; n n

a n a n?1 (3) 对任意的自然数 n ? N , 恒成立,求正实数 a 的取值范围. ? an an?1

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回顾总结
1.数列可以看作是_______________的一个函数 2.等差数列的通项公式可以看作_______________. 3.等差数列的前 n 项和公式可以看作_______________. 以正整数集(或它的有限子集)为定义域; 一次函数; 经过原点的二次函数.


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