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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.4 课时作业]


§ 2.4
课时目标
1

幂函数

1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出 y=x,y=x2,
-1

y=x3,y= x 2 ,y=x

的图象,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.

1.一般地,把形如________的函

数叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数.
1

2.在同一平面直角坐标系中,画出幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y= x 2 ,y=x

-1

的图象.

3.结合 2 中图象,填空. (1)所有的幂函数图象都过点__________,在(0,+∞)上都有定义. (2)若 α>0 时,幂函数图象过点________________,且在第一象限内______;当 0<α<1 时, 图象上凸,当 α>1 时,图象______. (3)若 α<0,则幂函数图象过点________,并且在第一象限内单调______,在第一象限内, 当 x 从+∞趋向于原点时,函数在 y 轴右方无限地逼近于 y 轴,当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限逼近 x 轴. (4)当 α 为奇数时,幂函数图象关于______对称;当 α 为偶数时,幂函数图象关于______ 对称. (5)幂函数在第____象限无图象.

一、填空题 1.下列函数是幂函数的是________.(填序号) - ①y= x;②y=x3;③y=2x;④y=x 1. 1 2.幂函数 f(x)的图象过点(4, ),那么 f(8)的值为________. 2
2

3.下列是 y= x 3 的图象的是________.(填序号)

1 4.图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 2 C1,C2,C3,C4 的 n 依次为________.

? 3 ?5 ? 2 ?5 ? 2 ?5 5.设 a= ? ? ,b= ? ? ,c= ? ? ,则 a,b,c 的大小关系是________. ?5? ?5? ?5?
6.函数 f(x)=xα,x∈(-1,0)∪(0,1),若不等式 f(x)>|x|成立,则在 α∈{-2,-1,0,1,2}的 条件下,α 可以取值的个数是________. 7.给出以下结论: ①当 α=0 时,函数 y=xα 的图象是一条直线; ②幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点; ③若幂函数 y=xα 的图象关于原点对称,则 y=xα 在定义域内 y 随 x 的增大而增大; ④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限. 则正确结论的序号为________. 8.函数 y= x +x 1 的定义域是________. - - 9.已知函数 y=x 2m 3 的图象过原点,则实数 m 的取值范围是____________________. 二、解答题


2

3

2

1 2

10.比较 1.1 、 1.4 、 1.1 的大小,并说明理由.

1 2

1 2

1 3

11.如图,幂函数 y=x3m 7(m∈N)的图象关于 y 轴对称,且与 x 轴、y 轴均无交点,求此 函数的解析式.


能力提升 12.已知函数 f(x)=(m2+2m)· x m ?m?1 ,m 为何值时,函数 f(x)是:(1)正比例函数; (2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.
2

1 13.点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点(-2, )在幂函数 g(x)的图象上,问当 x 为何值 4 时,有:(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x).

1.幂函数在第一象限内指数变化规律: 在第一象限内直线 x=1 的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线 x=1 的左 侧,图象从下到上,相应的指数由大变小. n 2.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数 中的 m 是否为偶数;判断幂函数的奇偶 m n n 性时要看指数 中的 m、n 是奇数还是偶数.y=xα,当 α= (m、n∈N*,m、 m m n 互质)时,有: n 奇数 偶数 奇数
n m

m 偶数 奇数 奇数

n

y= x m 的奇偶性 非奇非偶函数 偶函数 奇函数

定义域 [0,+∞) (-∞,+∞) (-∞,+∞)

n n 3.幂函数 y= x 的单调性,在(0,+∞)上, >0 时为增函数, <0 时为减函数. m m

§ 2.4

幂函数

知识梳理 1.y=xα 3.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y 轴 (5)四 作业设计 1.①②④ 解析 根据幂函数的定义:形如 y=xα 的函数称为幂函数,③中自变量 x 的系数是 2,不 符合幂函数的定义,所以③不是幂函数. 2 2. 4 1 解析 设幂函数为 y=xα,依题意, =4α, 2 1 - 即 22α=2 1,∴α=- . 2 ∴幂函数为 y= x 3.② 3 3 3 解析 y= x = x2,∴x∈R,y≥0,f(-x)= ?-x?2= x2 2 =f(x),即 y= x 是偶函数,又∵ <1,∴图象上凸. 3 1 1 4.2, ,- ,-2 2 2 解析 作直线 x=t(t>1)与各个图象相交, 则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降 幂排列的. 5.a>c>b 解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来,y= x 在 x>0 时是增函数, 所 2x 以 a>c,y=( ) 在 x>0 时是减函数,所以 c>b. 5 6.2 解析 因为 x∈(-1,0)∪(0,1), 所以 0<|x|<1. 要使 f(x)=xα>|x|,xα 在(-1,0)∪(0,1)上应大于 0, 所以 α=-1,1 显然是不成立的.
2 5 2 3 2 3 ? 1 2

,∴f(8)= 8

?

1 2



1 1 2 = = . 8 2 2 4

当 α=0 时,f(x)=1>|x|; 当 α=2 时,f(x)=x2=|x|2<|x|; - - 当 α=-2 时,f(x)=x 2=|x| 2>1>|x|. 综上,α 的可能取值为 0 或-2,共 2 个. 7.④ 解析 当 α=0 时,函数 y=xα 的定义域为{x|x≠0,x∈R},故①不正确;当 α<0 时,函数 - y=xα 的图象不过(0,0)点,故②不正确;幂函数 y=x 1 的图象关于原点对称,但其在定义 域内不是增函数,故③不正确.④正确. 8.(0,+∞)
1

解析 y= x 2 的定义域是[0,+∞),y=x 3 9.m<- 2 解析 由幂函数的性质知-2m-3>0, 3 故 m<- . 2 10.解 考查函数 y=1.1x,∵1.1>1, ∴它在(0,+∞)上是增函数. 1 1 又∵ > ,∴ 1.12 > 1.13 . 2 3 1 再考查函数 y= x 2 ,∵ >0, 2 ∴它在(0,+∞)上是增函数.
1 1 1 1 1 1

-1

的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),再取交集.

1

又∵1.4>1.1,∴ 1.4 2 > 1.12 ,
1

∴ 1.4 2 > 1.12 > 1.13 . 11.解 由题意,得 3m-7<0. 7 ∴m< . 3 ∵m∈N,∴m=0,1 或 2, ∵幂函数的图象关于 y 轴对称, ∴3m-7 为偶数. ∵m=0 时,3m-7=-7, m=1 时,3m-7=-4, m=2 时,3m-7=-1. - - 故当 m=1 时,y=x 4 符合题意.即 y=x 4. 2 ? ?m +m-1=1, 12.解 (1)若 f(x)为正比例函数,则? 2 ?m=1. ?m +2m≠0 ? (2)若 f(x)为反比例函数, 2 ? ?m +m-1=-1, 则? 2 ?m=-1. ?m +2m≠0 ? (3)若 f(x)为二次函数,则 2 ? ?m +m-1=2, -1± 13 ? 2 ?m= . 2 ?m +2m≠0 ? (4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1, ∴m=-1± 2. 13.解 设 f(x)=xα,则由题意,得 2=( 2)α,∴α=2,即 f(x)=x2.

1 设 g(x)=xβ,由题意,得 =(-2)β, 4

∴β=-2,即 g(x)=x 2. 在同一平面直角坐标系中作出 f(x)与 g(x)的图象,如图所示. 由图象可知: (1)当 x>1 或 x<-1 时, f(x)>g(x); (2)当 x=± 1 时,f(x)=g(x); (3)当-1<x<1 且 x≠0 时, f(x)<g(x).



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