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天津市2013届高三数学总复习之模块专题:26 常见函数的导数、导数的四则运算、复合函数的导数(教师版)


常见函数的导数、导数的四则运算、复合函数的导数 1、曲线 y ?
( A) y ? x ? 2

x 在点 (1, ?1) 处的切线方程为( D ) x?2
( B ) y? ? 3x ? 2 (C ) y? 2 x ? 3 ( D ) y? ? 2 x ? 1

2、设函数 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1,则曲线
y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( A )

A、 4

B、 ?

1 4

C、 2

D、 ?

1 2

3、已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 切线方程是( A ) A、 y ? 2 x ? 1 4、 若曲线 y ? x A、64
? 1 2

B、 y ? x

C、 y ? 3 x ? 2

D、 y ? ?2 x ? 3

1 ? ? ? 在点 ? a, a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18, 则a ? ( A ) ? ?

B、32

C、16

D、8

? ?? y ? x2 ? 2 x ? 3 上的点, 5、 设 P 为曲线 C : 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? 0, ? , ? 4?
则点 P 横坐标的取值范围为( A )
1? ? ? ? A、 ? ?1, 2? ?

0? B、 ? ?1,

1? C、 ? 0,

?1 ? D、 ? , 1 ?2 ? ?

6、 已知点 P 在曲线 y ? A、 [0, ) 4

?

4 ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 上, 则 ? 的取值范围是 ( D ) e ?1 ? ? ? 3? 3? B、 [ , ) C、 ( , ] D、 [ , ? ) 4 2 2 4 4
x

7、 设函数 f ? x ? 在 R 上的导函数为 f ' ? x ? , 且 2 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? x 2 , 下列不等式在 R 上恒成立的是 ( A ) A、 f ? x ? ? 0 B、 f ? x ? ? 0 C、 f ? x ? ? x D、 f ? x ? ? x

8、 设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n , 则 x1 ? x2 ? ...? xn 的 值为( B ) A、
1 n

B、

1 n ?1

C、

n n ?1

D、1

9、设 a ? 0 , f ?x? ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ?x ? 在点 P?x0 , f ?x0 ?? 处的切线的倾斜角的取值范围
-1-

? ?? 是 ?0, ? ,则 P 到 y ? f ?x ? 对称轴距离的取值范围为( B ) ? 4?

? 1? A、 ?0, ? ? a?

? 1? B、 ?0, ? ? 2a ?

? b ? C、 ?0, ? ? 2a ?

? b ?1 ? D、 ?0, ? ? 2a ?
。—2 。

10、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(1)=

11、设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ln(x ? a)(x ? (0,??) 的导函数为
f ?( x) ? 1 2 x ? 1 ( x ? 0) 。 x?a

12、曲线 y ?

1 在点 P 处的切线与 x 轴平行,则点 P 的坐标为 x ?1
2



该切线方程为

。 (0,1), y ? 1 ? 0 。 。

1 4 13、已知曲线 y ? x3 ? ,则过点 (2,4) 的切线方程是 3 3
4x ? y ? 4 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0

注意:补充说明过点切线及在某点处切线的问题的处理方法 14、曲线 y ?

sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为 sin x ? cos x 2 4



1 2


15、若曲线 f ( x) ? ax2 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则 a 的取值范围是 解析:由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f ? ? x ? ? 2ax ?

1 。因为存在垂直于 y 轴的切线,故此 x 1 时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? ? x ? ? 2ax ? 存在零点。利用图象,转化为 x 1 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。当 a ? 0 不符合题意,当 a ? 0 时,数形结合可得显然没有 x
交点,当 a ? 0 ,此时正好有一个交点,故填 ? ??, 0 ? 16、求下列函数的导数。 ① y ? (1 ? 2 x 2 ) 8 ;
8 2 7 2 7 ? ? ? ? 令 u ? (1 ? 2 x 2 ) 8 , y ? u 8 , ? y? x ? yu u x ? (u ) (1 ? 2 x ) ? 8u ? 4 x ? 32x(1 ? 2 x ) .



y ?3 x?3 x; ②
1 1

令u ? x ? x3 , y ? u3 ,

-2-

1 ?3 1 ? ? ? ? y? ? u (1 ? x 3 ) ? x ? (u ) ? ( x ? x ) ? 3 3

1 3

1 3

2

2

1 ? 1? ? x ? x3 ? ? ? 3? ?

?

2 3

? 1 ?2 ? ?1 ? x 3 ?. ? 3 ? ? ?

? 2? y ? sin 2 (2 x ? ) ; y ' ? 2 sin( 4 x ? )。 ③ 3 3
y ? cos2 (ax ? b), ④ ;

y ? u 2 , u ? cosv, v ? ax ? b,
2 ? ? ? ? ? ? y? x ? yu ? u y ? v x ? (u ) ? (cosv) ? (ax ? b) ? 2u ? (? sin v) ? a

? ?2a sin v ? cosv ? ?a sin 2v ? ?a ? sin?2(ax ? b)?.
⑤ y ? ln

x ?1 ( x ? 1) ; x ?1

? y ? ln
? y? ?

x ?1 1 ? ?ln(x ? 1) ? ln(x ? 1)?, x ?1 2

1 ?ln( x ? 1) ? ln( x ? 1)?? ? 1 ( 1 ? 1 ) ? 21 . 2 2 x ?1 x ?1 x ?1
sin 2 1 x

⑥ y?2


)? ? 2
sin 2 1 x sin 2 1 x sin 2 1 1 1 ln 2 ? (sin 2 )? ? 2 x ? ln 2 ? 2 sin ? (sin )? x x x 1 1

y ? ? (2

sin 2

1 x

? 2 ? ln 2 ? 2

1 1 1 1 sin 2 2 ? sin (cos ) ? ( )? ? ? 2 2 x ? ln 2 ? sin x x x x x

⑦ y ? e sin x?ln x ;
1 1 y ? ? e sin x ln x (cos x ln x ? sin x) ? (e ln x ) sin x (cos x ln x ? sin x) 3 x 1 ? x sin x (cos x ln x ? sin x) (说明:注意公式 e ln x ? x 的运用) x

⑧ y ? ln

x4 x2 ?1


x4 x2 ?1 x2 ?1 x4 ( )? x4 x2 ?1

解法 1: y ? ? ln(

)? ?

?

x ?1 ? x4
2

4x3 ? x 2 ? 1 ?

1 2x ? ? x4 2 2 x ?1 4 x 3 ( x 2 ? 1) ? x 5 4 x ? ? ? 2 2 4 2 x ?1 x x ?1 x ( x ? 1)
-3-

1 4 1 1 4 x ? 2x ? ? 2 解法 2:? y ? 4 ln x ? ln( x 2 ? 1) ? y ? ? ? ? 2 。 2 x 2 x ?1 x x ?1

17、 (2011 年清华大学自主招生)函数 f ( x) ? ea (a ? 0 ? a ? 1) ,作直线 x ? a 与函数相交,求 过交点处的切线和 x ? a , x 轴所构成的三角形面积。

x

18、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x3 ? a, x ?[0,??) 。设 x1 ? 0 ,记曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处 的切线为 l 。 (1)求 l 的方程。 (2)设 l 与 x 轴的交点是 ( x2 ,0) ,证明:① 若 x1 ? a ,则 a ? x2 ? x1 。 x2 ? a ;② 教材全解 P 212。
1 3 1 3

1 3

-4-


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