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天津一中2016届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


2015-2016 学年天津一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)
[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 一.选择题[来源:学,科,网 Z,X,X,K] x 1.已知全集 U=R,A={y|y=2 +1},B={x||x﹣1|+|x﹣2|<2},则(?UA)∩B=( A.? B.{x| <x≤1} C. {x|x<1} D.{x|0<x<1} )

>)

2.执行右面的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=(

A.2

B.3

C.4
x

D.5 )

3. 已知 m∈R, “函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在 (0, +∞) 上为减函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,且 =( )

,则

A.

B.

C.

D.

5.若把函数 f(x)=sinωx 的图象向左平移 则 ω 的值可能是( ) A. B. C. D.

个单位,恰好与函数 y=cosωx 的图象重合,

6.已知函数 f(x)= 范围是( ) A.[0,1) B. (﹣∞,1)

,则使函数 g(x)=f(x)+x﹣m 有零点的实数 m 的取值 C. (﹣∞,1]∪(2,+∞) D. (﹣∞,0]∪(1,+∞)

7.设 m=3 A. B.

(x +sinx)}dx,则多项式(x+ C. D.

2

) 的常数项为(

6

)

8.已知 f(x)= 范围是( ) A.[﹣1,0] B. (﹣∞,﹣1]

,若|f(x)|≥ax 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,则实数 a 的取值 C.[0,1] D. (﹣∞,0]∪[1,+∞)

二.填空题 2 9.复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其中 i 为虚数单位,则复数 z=__________. 10.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为__________.

11.已知点 P 在曲线 y= __________.

上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 a 的取值范围是

12.直线 l:

(t 为参数) ,圆 C:ρ=2

(极轴与 x 轴的非负 ,则实数 a 的值为

半轴重合,且单位长度相同) ,若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 __________.

13.如图,A,B,C 是圆 O 上三个点,AD 是∠BAC 的平分线,交圆 O 于 D,过 B 做直线 BE 交 AD 延长线于 E,使 BD 平分∠EBC. (1)求证:BE 是圆 O 的切线; (2)若 AE=6,AB=4,BD=3,求 DE 的长.

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

14.在边长为 1 的正三角形 ABC 中, __________.



,若

,则 λ 的值为

三.解答题 15. (13 分)已知函数 f(x)=sin x+2
2

sinxcosx+3cos x,x∈R.求:

2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的值域.

16. (13 分)某班植树小组栽培甲、乙两种松树,已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽 培一种,已知栽培甲品种的有 2 人,栽培乙品种的有 6 人,现从中选 2 人,设选出的人中既 栽培甲品种又栽培乙品种的人数为 ξ,且 P(ξ=0)= ,求: (1)植树小组的人数; (2)随机变量 ξ 的数学期望.

17. (13 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 2c?cosA=2b﹣ (I)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 b= a,△ ABC 的面积
x

a.

A,求 a、c 的值.
2

18. (13 分)设函数 f(x)=ae (x+1) (其中 e=2.71828…) ,g(x)=x +bx+2,已知它们在 x=0 处有相同的切线. (Ⅰ)求函数 f(x) ,g(x)的解析式;

(Ⅱ)求函数 f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值; (Ⅲ)判断函数 F(x)=2f(x)﹣g(x)+2 零点个数. 19. (14 分)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+1=(1+q)an﹣qan﹣1(n≥2,q≠0) . * (Ⅰ)设 bn=an+1﹣an(n∈N ) ,证明{bn}是等比数列; (Ⅱ)求 数列{an}的通项公式; * (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n∈N ,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项.

20. (14 分)已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+

﹣x ﹣2ax(a∈R) .

2

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围;

(3)当 a=﹣ 时,方程 f(1﹣x)=

有实根,求实数 b 的最大值.

2015-2016 学年天津一中高三(上)第一次月考数学试卷 (理科)
一.选择题 x 1.已知全集 U=R,A={y|y=2 +1},B={x||x﹣1|+|x﹣2|<2},则(?UA)∩B=( A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1} 【考点】绝对值不等式的解法;交、并、补集的混合运算;函数的值域. 【专题】集合. 【分析】求出两个集合,然后求解补集以及交集即可. x 【解答】解:全集 U=R,A={y|y=2 +1}={y|y>1},∴?UA={y|y≤1} B={x||x﹣1|+|x﹣2|<2}={x| },

)

则(?UA)∩B={x| <x≤1}. 故选:B. 【点评】本题考查函数的定义域,绝对值不等式的解法,集合的交、并、补的运算,考查计 算能力. 2.执行右面的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=( )

A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】循环结构. 【专题】计算题. 【分析】 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数, 然后根据运行的后 s 的值找出规律, 从而得出所求. 【解答】解:如果输入的 p=0.8,由循环变量 n 初值为 1,那么:

经过第一次循环得到

,n=2,满足 s<0.8,继续循环,

经过第二次循环得到 S= =0.75<0.8,n=3, 第三次循环,S=0.75+0.125=0.875,此时不满足 s<0.8,n=4,退出循环, 此时输出 n=4. 故选:C. 【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时,利用循环即可. 3. 已知 m∈R, “函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在 (0, +∞) 上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据函数的性质求出 m 的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即 可. 【解答】解:若函数 y=f(x)=2 +m﹣1 有零点,则 f(0)=1+m﹣1=m<1, 当 m≤0 时,函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数不成立,即充分性不成立, x 若 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数,则 0<m<1,此时函数 y=2 +m﹣1 有零点成立,即 必要性成立,[来源:Zxxk.Com] 故“函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件, 故选:B 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据函数零点和对数函数的性质求出等 价条 件是解决本题的关键.
x x x

4.已知函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,且 =( )

,则

A.

B.

C.

D.

【考点】导数的运算. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】先根据导数的运算法则求导,再代入值计算即可. 【解答】解:∵ ∴f′(x)=2f′( ∴f′( )=2f′( )x+cosx, )× +cos , ,

解得 f′(

)=



故选:A 【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法,属于基础题.

5.若把函数 f(x)=sinωx 的图象向左平移 则 ω 的值可能是( ) A. B. C. D. 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】函数的性质及应用.

个单位,恰好与函数 y=cosωx 的图象重合,

【分析】把函数 f(x)=sinωx 的图象向左平移 图象,而 y=cosωx=sin( +ωx) ,可得 ω=

个单位,得到函数 y=sin(ωx+

ω) 的

+2kπ,k∈z,结合所给的选项得出结论. 个单位,得到函数 y=sinω(x+ )

【解答】解:把函数 f(x)=sinωx 的图象向左平移 =sin(ωx+ ω) 的图象. +ωx) ,∴ ω=

而 y=cosωx=cos(﹣ωx)=sin(

+2kπ,k∈z.

观察所给的选项,只有 ω= 满足条件, 故选 D. 【点评】本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中 档题.

6.已知函数 f(x)=

,则使函数 g(x)=f(x)+x﹣m 有零点的实数 m 的取值

范围是( ) A.[0,1) B. (﹣∞,1) C. (﹣∞,1]∪(2,+∞) D. (﹣∞,0]∪(1,+∞)[来 源:学科网] 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】作出函数的图象并根据图象的交点及函数零点的判定 定理即可得出. 【解答】解:函数 g(x)=f(x)+x﹣m 的零点就是方程 f(x)+x=m 的根,

作出 h(x)=f(x)+x=

的图象,

观察它与直线 y=m 的交点,得知当 m≤0 时,或 m>1 时有交点, 即函数 g(x)=f(x)+x﹣m 有零点. 故选 D.

【点评】数形结合并掌握函数零点的判定定理是解题的关键.

7.设 m=3

(x +sinx)}dx,则多项式(x+

2

) 的常数项为(

6

)

A. B. C. D. 【考点】二项式定理;微积分基本定理. 【专题】综合题;二项式定理. 【分析】先由定积分求出 m 的值,再求解二项式展开式中的常数项,利用二项式 的展开式的通项,令 x 的对应次数为 0 即可求出其常数项.

【解答】解:因为

,则多

项式为

=



它的展开式的通项公式为 Tk+1=





,求得 k=2,[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

所以展开式的常数项为 . 故选 D. 【点评】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.

8.已知 f(x)= 范围是( ) A.[﹣1,0] B. (﹣∞,﹣1] 【考点】函数恒成立问题.

,若|f(x)|≥ax 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,则实数 a 的取值 C.[0,1] D. (﹣∞,0]∪[1,+∞)

【专题】函数的性质及应用. 【分析】数形结合:分别作出 y=|f(x)|、y=ax 的图象,由题意即可得到 a 的取值范围. 【解答】解:作出|f(x)|的图象如下图所示: 因为|f(x)|≥ax 在 x∈[﹣1,1]上恒成立, 所以在[﹣1,1]上|f(x)|的图象应在 y=ax 图象的上方, 而 y=ax 表示斜率为 a 恒过原点的动直线, 由图象知:当直线 y=ax 从直线 OA 逆时针旋转到 x 轴时,其图象在|f(x)|的下方,符合题 意 所以有 kAO≤a≤0,即﹣1≤a≤0, 故选 A.

【点评】本题考查函数单调性,考查数形结合思想,考查学生分析解决问题的能力. 二.填空题 9.复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其 中 i 为虚数单位,则复数 z=1﹣i. 【考点】复数相等的充要条件. 【专题】转化思想;数学模型法;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算性质、共轭复数的定义即可得出. 2 【解答】解: (﹣1+i)z=(1+i) ,
2

∴z=

=﹣

=﹣(i﹣1)=1﹣i.

故答案为:1﹣i. 【点评】本题考查了复数的运算性质、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题.

10.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为



【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题. 【分析】 由三视图可知, 该几何体时一个边长为 2, 2, 1 的长方体挖去一个半径为 1 的半球. 代 入长方体的体积公式和球的体积公式,即可得到答案. 【解答】 由三视图可知, 该几何体时一个边长为 2, 2, 1 的长方体挖去一个半径为 1 的半球. 所 以长方体的体积为 2×2×1=4, 半球的体积为 , 所以该几何体的体积为 .

故答案为: . 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据已知中的三视图判断出几何体的形 状是解题的关键.

11.已知点 P 在曲线 y=

上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 a 的取值范围是

. 【考点】导数的几何意义. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值, 结合函数的值域的求法利用基本不等式求出 k 的范围,再根据 k=tanα,结合正切函数的图 象求出角 α 的范围.

【解答】解:根据题意得 f′(x)=﹣







且 k<0 则曲线 y=f(x)上切点处的切线的斜率 k≥﹣1, 又∵k=tanα,结合正切函数的图象 由图可得 α∈ ,

故答案为:



【点评】本题考查了导数的几何意义,以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识,考查 运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.

12.直线 l:

(t 为参数) ,圆 C:ρ=2

(极轴与 x 轴的非负

半轴重合,且单位长度相同) ,若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ,则实数 a 的值为 0 或 2. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题. 【分析】化直线的参数方程为普通方程,化圆的极坐标方程为一般方程,由直线 l 被圆 C 截 得的弦长为 转化为圆心到直线的距离,由点到直线的距离公式求解实数 a 的值.

【解答】解:直线 l: x+2y+(2﹣a)=0, 由 ρ=2 ,得

,由②得,

,代入①得直线 l 的方程为

=2cosθ﹣ 2sinθ. 2 2 2 2 2 ρ =2ρcosθ﹣2ρsinθ,所以圆的方程为 x +y =2x﹣2y,即(x﹣1) +(y+1) =2, 所以圆心为(1,﹣1) ,半径 .若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ,

则圆心到直线的距离



又 解得 a=0 或 a=2.

,即|1﹣a|=1,

故答案为 0 或 2. 【点评】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标和直角坐标的互化,训练了点到直 线的距离公式,是中档题. 13.如图,A,B,C 是圆 O 上三个点,AD 是∠BAC 的平分线,交圆 O 于 D,过 B 做直线 BE 交 AD 延长线于 E,使 BD 平分∠EBC. (1)求证:BE 是圆 O 的切线; (2)若 AE=6,AB=4,BD=3,求 DE 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】直线与圆;推理和证明. 【分析】 (1) 连接 BO 并延长交圆 O 于 G, 连接 GC, 由已知条件推导出∠GBC+∠EBC=90°, 从而得到 OB⊥BE.由此能证明 BE 是圆 O 的切线. (2)由(1)知△ BDE∽△ABE,从而得到 AE?BD=AB?BE,由此利用切割线定理能求出 DE. 【解答】 (1)证明:连接 BO 并延长交圆 O 于 G,连接 GC, ∵∠DBC=∠DAC,又∵AD 平分∠BAC,BD 平分∠EBC, ∴∠EBC=∠BAC. 又∵∠BGC=∠BAC,∴∠EBC=∠BGC, ∵∠GBC+∠BGC=90°, ∴∠GBC+∠EBC=90°,∴OB⊥BE. ∴BE 是圆 O 的切线.… (2)由(1)知△ BDE∽△ABE, , ∴AE?BD=AB?BE,AE=6,AB=4,BD=3, ∴ .… 2 由切割线定理得 BE =DE?AE, ∴ .…

【点评】本题考查圆的切线的证明,考查线段长的求法,是非曲直中档题,解题时要认真审 题,注意切割线定理的合理运用.

14.在边长为 1 的正三角形 ABC 中, , ,若 3. 【考点】向量在几何中的应用. 【专题】计算题;数形结合;向量法;平面向量及应用. 【分析】由

,则 λ 的值为

确定点 D 是 BC 的中点,根据向量加法、减法、数乘运算,用 = ,即可求出 λ 的值.





示出 和 ,由条件和数量积的运算化简 【解答】解:由题意画出图象如右图: ∵ , = ( + ) ,

∴D 为 BC 的中点,则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ( ∴(1﹣ ∴(﹣ = = ﹣ = + ) ) , =﹣ = , )[(1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ,



=(1﹣









﹣ +(1﹣ +(1﹣

]=﹣ , ) ) , ﹣ = , =﹣ ,

∴(﹣ )×1×1× ﹣1+(1﹣ 解得 λ=3,

)=

故答案为:3.

【点评】本题考查向量的数量积的运算,以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义,属 于中档题. 三.解答题 15. (13 分)已知函数 f(x)=sin x+2
2

sinxcosx+3cos x,x∈R.求:

2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的值域. 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;复合三角函数的单调性. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 (I)利用二倍角、辅助角公式,化简函数,即可求函数 f(x)的最小正周期和单 调 递增区间; (II)先确定 【解答】解: ( I) : ,再求函数 f(x)在区间 上的值域.

= … ∴最小正周期 ∵ ∴f(x)的单调递增区间为 ( II)∵ ∴ , ,由题意得: ,… 时 f(x)为单调递增函数 …

=

∴ , ∴f(x)∈[1,4] ∴f(x)值域为[1,4]…(13 分) 【点评】本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查学生分析解决问题的能力, 考查学生的计算能力,属于中档题.

16. ( 13 分)某班植树小组栽培甲、乙两种松树,已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽 培一种,已知栽培甲品种的有 2 人,栽培乙品种的有 6 人,现从中选 2 人,设选出的人中既 栽培甲品种又栽培乙品种的人数为 ξ,且 P(ξ=0)= ,求: (1)植树小组的人数; (2)随机变量 ξ 的数学期望. 【考点】概率的应用;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】综合题. 【分析】 (1)设植树小组共有 x 人,两品种均栽培的有(8﹣x)人,则恰栽一品种的人数为 (2x﹣8)人,利用 P(ξ=0)= ,建立方程,即可求得植树小组的人数; (2)先确定恰栽一品种的有 4 人,两品种均栽培的有 2 人,计算 ξ=1,2 时的概率,即可求 得数学期望. 【解答】解: (1)设植树小组共有 x 人,两品种均栽培的有(8﹣x)人,则恰栽一品种的人 数为(2x﹣8)人…

∵P(ξ=0)= ,∴ … 2 整理为:3x ﹣28x+60=0,∴x=6,即植树小组有 6 人…[来源:学_科_网] (2)依(1)有:恰栽一品种的有 4 人,两品种均栽培的有 2 人

P(ξ=1)=

=

…;P(ξ=2)=

=



∴Eξ= +2× = … 【点评】本题考查离散型随机变量的概率与期望,解题的关键是正确求出概率,利用期望公 式求解.

17. (13 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 2c?cosA=2b﹣ (I)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 b= a,△ ABC 的面积 A,求 a、c 的值.

a.

【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】 (I)已知等式利用正弦定理化简,把 sin(A+C)=sinB 代入,整理求出 cosC 的值, 即可确定出角 C 的大小; (Ⅱ) 利用三角形面积公式列出关系式, 把 b= a, sinC 以及已知面积相等求出 利用正弦定理求出 c 的值,再利用余弦定理求出 a 的值即可. 【解答】解: (I)由 2c?cosA=2b﹣ a, sinA,即 2sinCcosA=2sin(A+C)﹣ sinA, 的值,

利用正弦定理化简得:2sinCcosA=2sinB﹣

整理得:2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC﹣ 分解得:sinA(2cosC﹣ ∵sinA≠0, ∴cosC= 则 C= ; a,C= , a,
2

sinA,即 2sinAcosC﹣

sinA=0,

)=0,



(Ⅱ)∵b=

∴S△ ABC= absinC= ∵S△ ABC= ∴ sin A=
2

sin A,
2

2

a ,即 =sinA, =2,

整理得:

由正弦定理 = =2,即 c=2sinC=1, 2 2 2 2 2 2 由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC,即 1=a +3a ﹣3a , 解得:a=1. 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键. 18. (13 分)设函数 f(x)=ae (x+1) (其中 e=2.71828…) ,g(x)=x +bx+2,已知它们在 x=0 处有相同的切线. (Ⅰ)求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值; (Ⅲ)判断函数 F(x)=2f(x)﹣g(x)+2 零点个数. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】综合题;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求导函数,利用两函数在 x=0 处有相同的切线,可得 2a=b,f(0)=a=g(0) =2,即可求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (Ⅱ)求导函数,确定函数的单调性,再分类讨论,即可求出函数 f(x)在[t,t+1](t>﹣ 3)上的最小值; x 2 (Ⅲ)F(x)=4e (x+1)﹣x ﹣4x,求导,确定 F(x)在(﹣∞,﹣2) , (﹣ln2,+∞)上 单调递增,在(﹣2,﹣ln2)上单调递减,即可得出结论. x 【解答】解: (Ⅰ) f'(x)=ae (x+2) ,g'(x)=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由题意,两函数在 x=0 处有相同的切线. ∴f'(0)=2a,g'(0)=b,[来源:学§科§网 Z§X§X§K] ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,
x 2

∴a=2,b=4, ∴f(x)=2e (x+1) ,g(x)=x +4x+2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ x (Ⅱ)f'(x)=2e (x+2) ,由 f'(x)>0 得 x>﹣2,由 f'(x)<0 得 x<﹣2, ∴f(x)在(﹣2,+∞)单调递增,在(﹣∞,﹣2)单调递减.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵t>﹣3,∴t+1>﹣2 ①当﹣3<t<﹣2 时,f(x)在[t,﹣2]单调递减,[﹣2,t+1]单调递增, ∴ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ; ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
x 2

②当 t≥﹣2 时,f(x)在[t,t+1]单调递增,∴ ∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ x 2 (Ⅲ)由题意 F(x)=4e (x+1)﹣x ﹣4x x x x 求导得 F'(x)=4e (x+1)+4e ﹣2x﹣4=2(x+2) (2e ﹣1) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由 F'(x)>0 得 x>﹣ln2 或 x<﹣2,由 F'(x)<0 得﹣2<x<﹣ln2 ∴F(x)在(﹣∞,﹣2) , (﹣ln2,+∞)上单调递增,在(﹣2,﹣ln2)上单调递减﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵F(﹣4)=4e ×(﹣4+1)﹣16+16=﹣12e <0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ 故函数 F(x)=2f(x)﹣g(x)+2 只有一个零点.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 【点评】本题考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的 数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (14 分)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+1=(1+q)an﹣qan﹣1(n≥2,q≠0) . * (Ⅰ)设 bn=an+1﹣an(n∈N ) ,证明{bn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; * (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n∈N ,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项. 【考点】等比关系的确定;等差数列的性质;数列递推式. 【专题】综合题. 【分析】 (Ⅰ)整理 an+1=(1+q)an﹣qan﹣1 得 an+1﹣an=q(an﹣an﹣1)代入 bn 中进而可证明 {bn}是等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可分别求得 a2﹣a1,a3﹣a2,…an﹣an﹣1,将以上各式相加,答案可得. (Ⅲ)由(Ⅱ) ,当 q=1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,判断 q≠1.根据 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求得 q.用 q 分别表示出 an,an+3 与 an+6 进而根据等差中项的性质可得结论. 【解答】解: (Ⅰ)证明:由题设 an+1=(1+q)an﹣qan﹣1(n≥2) ,得 an+1﹣an=q(an﹣an﹣1) , 即 bn=qbn﹣1,n≥2.
﹣4 ﹣4

﹣﹣﹣﹣

又 b1=a2﹣a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)a2﹣a1=1,a3﹣a2=q, … an﹣an﹣1=q , (n≥2) . n﹣2 将以上各式相加,得 an﹣a1=1+q+…+q (n≥2) .
n﹣2

所以当 n≥2 时, 上式对 n=1 显然成立. (Ⅲ)由(Ⅱ) ,当 q=1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q≠1. 5 2 2 8 3 6 由 a3﹣a6=a9﹣a3 可得 q ﹣q =q ﹣q ,由 q≠0 得 q ﹣1=1﹣q ,① 整理得(q ) +q ﹣2=0,解得 q =﹣2 或 q =1(舍去) .于是
3 2 3 3 3



另一方面,



. 由①可得 an﹣an+3=an+6﹣an,n∈N . * 所以对任意的 n∈N ,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项. 【点评】 本小题主要考查等差数列、 等比数列的概念、 等比数列的通项公式及前 n 项和公式, 考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.
*

20. (14 分)已知函数 f(x) =ln(2ax+1)+

﹣x ﹣2ax(a∈R) .

2

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围;

(3)当 a=﹣ 时,方程 f(1﹣x)=

有实根,求实数 b 的最大值.

【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;压轴题.[来源:Zxxk.Com] 【分析】 (1)先对函数求导,由 x=2 为 f(x)的极值点,可得 f'(2)=0,代入可求 a

(2)由题意可得

在区间[3,+∞)

上恒成立,①当 a=0 时,容易检验是否符合题意,②当 a≠0 时,由题意可得必须有 2ax+1 2 2 >0 对 x≥3 恒成立, 则 a>0, 从而 2ax + (1﹣4a) x﹣ (4a +2) ≥0 对 x∈[3, +∞0 上恒成立. 考 2 2 查函数 g(x)=2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2) ,结合二次函数的性质可求

(3)由题意可得
2 3

.问题转化为 b=xlnx﹣x(1﹣x) +x(1
2 3

2

﹣x)=xlnx+x ﹣x 在(0,+∞)上有解,即求函数 g(x)=xlnx+x ﹣x 的值域. 2 2 方法 1:构造函数 g(x)=x(lnx+x﹣x ) ,令 h(x)=lnx+x﹣x (x>0) ,对函数 h(x)求 导,利用导数判断函数 h(x)的单调性,进而可求 2 2 方法 2:对函数 g(x)=x(lnx+x﹣x )求导可得 g'(x)=lnx+1+2x﹣3x .由导数知识研究 2 函数 p(x)=lnx+1+2x﹣3x ,的单调性可求函数 g(x)的零点,即 g'(x0)=0,从而可得 函数 g(x)的单调性,结合 可知 x→0 时,lnx+ <0,则 g(x)<0,又 g(1)=0 可求 b 的最大值 【解答】解: (1) ,

= 因为 x=2 为 f(x)的极值点,所以 f'(2)=0.… 即 ,解得 a=0.… 又当 a=0 时,f'(x)=x(x﹣2) ,从而 x=2 为 f(x)的极值点成立.… (2)因为 f(x)在区间[3,+∞)上为增函数,

.…

所以

在区间[3,+∞)上恒成立.…

①当 a=0 时,f'(x)=x(x﹣2)≥0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f(x)在[3,+∞)上为增 函数,故 a=0 符合题意.… ②当 a≠0 时,由函数 f(x)的定义域可知,必须有 2ax+1>0 对 x≥3 恒成立,故只能 a>0, 2 2 所以 2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2)≥0 对 x∈[3,+∞)上恒成立.… 令 g(x)=2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2) ,其对称轴为
2 2

,…

因为 a>0 所以 ,从而 g(x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g(3)≥0 即可, 2 因为 g(3)=﹣4a +6a+1≥0,

解得

.…

因为 a>0,所以 . 由①可得,a=0 时,符合题意; 综上所述,a 的取值范围为[0, ].…

(3)若

时,方程

x>0 可化为,

. 2 3 问题转化为 b=xlnx﹣x(1﹣x) +x(1﹣x)=xlnx+x ﹣x 在(0,+∞)上有解, 2 3 即求函数 g(x)=xlnx+x ﹣x 的值域.… 以下给出两种求函数 g(x)值域的方法:[来源:学科网] 2 2 方法 1:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x ) ,令 h(x)=lnx+x﹣x (x>0) ,
2



,…

所以当 0<x<1,h′(x)>0,从而 h(x)在(0,1)上为增函数, 当 x>1,h′(x)<0,从而 h(x')在(1,+∞上为减函数,…(13 分) 因此 h(x)≤h(1)=0. 而 x>1,故 b=x?h(x)≤0, 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.…(14 分) 方法 2:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x ) ,所以 g'(x)=lnx+1+2x﹣3x .
2 2

设 p(x)=lnx+1+2x﹣3x ,则 当 当 时,p'(x)>0,所以 p(x)在 时,p'(x)<0,所以 p(x)在

2



上单调递增; 上单调递减;

因为 p(1)=0,故必有

,又



因此必存在实数

使得 g'(x0)=0,

∴当 0<x<x0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,x0)上单调递减; 当 x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(x0,1)上单调递增; 又因为 ,

当 x→0 时,lnx+ <0,则 g(x)<0,又 g(1)=0. 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.…(14 分) 【点评】 本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用, 及利用函数的导数研究函数 的单调性及函数的最值的求解,解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力


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