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2016年高中新课标理科数学所有知识点总结


高中数学 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N

表示自然数集, N

? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示

实数集.

(3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集( ? ).

【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A A 中的任一元素都属 于B (2) ? 性质 示意图

A? B
子集 (或

B ? A)
A?B
?

?A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B
(1) ?? A (A 为非空子集)
?

A(B)

B

A



真子集 (或 B ? A)
?

A ? B ,且

B 中至

少有一元素不属于 A

(2)若 A ? B 且 B ? C ,则
? ?

A? C
?

B

A

集合 相等

A 中的任一元素都属

A? B

于 B, B 中的任一元素 都属于 A

(1)A ? B (2)B ? A

A(B)

(7)已知集合

A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2 n ? 1 个真子集,它有 2 n ? 1 个非空子集,它有 2n ? 2 非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算

(8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图

交集

A? B

{x | x ? A, 且 x ? B}

并集

A? B

{x | x ? A, 或 x ? B}

A? A ? A (2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? A A? B ? B (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? A A? B ? B
(1) 1

A

B

A

B

1 A ? (? U A) ? ? 补集

2 A ? (? U A) ? U

? UA

{x | x ?U , 且x ? A}

痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B) 痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B)

(9)补集思想和并集思想的应用 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集

| x |? a(a ? 0)
| x |? a(a ? 0)


{x | ?a ? x ? a}
x | x ? ?a 或 x ? a}

ax ? b

看成一个整体,化成

| x |? a



| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)
| x |? a(a ? 0) 型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象
O

一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

?b ? b2 ? 4ac x1,2 ? 2a
(其中 x1

x1 ? x2 ? ?

? x2 )
{x | x ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2}
〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念

?

?

(1)函数的概念 ①设

A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数
)叫做集合

f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f

A 到 B 的一个函数,记作

f : A? B.
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 2

(2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a

? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a, b] ;满足 a ? x ? b 的实数 x 的集

合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a 满足 x ? a, x

? x ? b ,或 a ? x ?b

的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [ a, b) ,( a, b] ;

? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) .
x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须

注意:对于集合 {x | a ?

a ?b.
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① ② ③

f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤

y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若

f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式

⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知

a ? g ( x) ? b 解出.
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就 是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数

y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在

a( y) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.

求值域(最值)各类型: (一)基本函数:一次函数,二次函数,反比例函数、指对数、幂函数、三角函数、对号型函数等 (二)分式型:分离常数法、构造基本函数、判别式法、数形结合、不等式法、自解法、函数的有界性法等 (三)无理型:单调性法、换元法、平方、有理化、数形结合等
3

(四)复合函数型:换元 (五)混合型与高次型:导数法 (六)二元函数型:线性规划、换元、不等式、方程法等 (七)绝对值型:平方、讨论、数形结合等 【1.2.2】函数的表示法
(5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法: 就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ①设

A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应, A 到 B 的映射,记作 f : A ? B .

那么这样的对应(包括集合

A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f

)叫做集合

②给定一个集合

A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元

素 a 叫做元素 b 的原象.

〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )<f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是增函数 . ... 图象 判定方法 (1)导数,定义

y y=f(X)
f(x1 )

(2 )利用已知函数的

f(x2)

单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图

o
函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )>f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是减函数 . ...

x1

x2

x

象上升为增) (4)利用复合函数 (1)导数,定义

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

(2 )利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图
x2

o

x1

x

象下降为减) (4)利用复合函数 y

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函 数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 增, 则

y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增,u ? g ( x) 为

y ? f [ g ( x)] 为增; 若 y ? f (u ) 为减,u ? g ( x) 为减, 则 y ? f [ g ( x)] y ? f (u ) 为增,u ? g ( x) 为减, 则 y ? f [ g ( x)] 为减; 若 y ? f (u ) 为减,u ? g ( x)
4
o
x

为增; 若

为增,



y ? f [ g ( x)] 为减.

(2)打“√”函数

f ( x) ? x ?

a ( a ? 0) 的图象与性质 x

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: ;

(2)存在 x0 ? I ,使得 ②一般地, 设函数 使得

f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M 是函数 f ( x)

的最大值,记作

f max ( x) ? M .

y ? f ( x) 的定义域为 I

, 如果存在实数 m 满足: (1 ) 对于任意的 x ? I , 都有

(2) 存在 x0 ? I , f ( x) ? m ;

f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f max ( x) ? m .

单调性的等价形式:设 x1 , x2 ? [a,b],那么 ①

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x) 在[a,b]上是增函数 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x) 在[a,b]上是减函数 x1 ? x2

② ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ? f ( x) 在[a,b]上是增函数;

( x1 ? x2 ) [ f ( x ) 1 ?

f (2 x ? )] ? 0

[a,b] f 在x ( ) 上是减函数

函数单调性的证明方法: (1)定义法:步骤:①任取 x 1 , x2 ? M ,且 x1 ? x2 ; ②论证 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③根据定义,得 出结论 (2)导数法:设函数 y ? f ( x) 在某区间内可导。如果 f ( x) >0,则 f ( x ) 为增函数;如果 f ( x) <0,则 f ( x ) 为减函
' '

数。
基本函数的单调性:一次函数,二次函数,反比例函数、指对数、幂函数、三角函数、对号型函数等 常用结论

(1)两个增(减)函数的和任为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数. (2)奇函数在对称区间上单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反. (3)互为反函数的两个函数有相同的单调性. (4)如果 f(x)在区间 D 上是增(减)函数,那么 f(x)在 D 的任一子区间上也是增(减)函数. (5)如果 y=f(u)和 u=g(x)的单调性相同,那么 y=f[g(x)]是增函数;如果 y=f(u)和 u=g(x)单调性相反,则 y=f[g(x)]是 减函数。 (同增异减).
5

【1.3.2】奇偶性

奇偶性
1. 定义:设函数 y ? f ( x), x ? D ,对任意 D 都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x ) 是偶函数。若对任意 D 都有

f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数。
2.偶函数与奇函数的特点:偶函数:(1)定义域对称;(2)函数图像关于 y 轴对称;(3) 奇函数: (1) 定义域对称; (2) 函数图像关于原点对称; (3)f (? x) ? ? f ( x) ; f (?x) ? f ( x) ? f ( x ) ? f (? x ) ; (4)若 f ( x ) 在 0 点有定义,则 f (0) ? 0 。 3. 判断函数奇偶性的一般办法: (1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的。否则,既不是奇函数也不是偶函数。 (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断: f (? x) ? f ( x) ? f ( x ) 为偶函数

f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 为奇函数
②等价形式判断: f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) 为偶函数

f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f ( x) 为奇函数
4.常用结论 (1)若函数 f(x)为奇函数,在[a,b]上为增函数,则 f(x)在[-b,-a]上为增函数。 (即奇函数在对称区间上单调性相同) (2)若函数 f(x)为偶函数,在[a,b]上为增函数,则 f(x)在[-b,-a]上为减函数。 (即偶函数在对称区间上单调性相反) (3) 奇 ? 奇 ? 奇 ; 偶 ? 偶=偶 ; 奇 ? 奇 ? 偶 ; 偶 ? 偶=偶 ; 奇 ? 偶 ? 奇 (4)复合函数奇偶性

6

周期性 1.周期性定义:对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有

f ( x ? T ) ? f ( x) 都成立,那么就把函数 y ? f ( x) 叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。如果
所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2.求函数周期的常用方法:(1)公式法 (2)图像法 (3)常用结论:○ 1 函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 T ? b ? a ; 2 函数 y ? ○

f ( x) 满足如下关系中的一个,则 f ( x)的周期为2T

A. f ( x ? T ) ? ? f ( x)

B. f ( x ? T ) ?

1 1 或f ( x ? T ) ? ? f ( x) f ( x)

C. f ( x ?

T 1 ? f ( x) T 1 ? f ( x) 或 f (x ? ) ? (等式右边加负号亦成立) )? 2 1 ? f ( x) 2 1 ? f ( x)

3 其他情形 ○ 若函数 y ? f ( x) 有两个对称轴 x ? a 和 x ? b ,则其周期为 T ? 2 a ? b ; 若函数 y ? f ( x) 有两个对称中心 ( a, 0) 和 (b, 0) ,则其周期为 T ? 2 a ? b ; 若函数 y ? f ( x) 有一个对称中心 ( a, 0) 和一个对称轴 x ? b ,则其周期为 T ? 4 a ? b ; (4)定义法 对称性结论: 1.一个函数自身的对成性 (1)函数 y ? f ( x) 关于 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

f (a ? x) ? f (a ? x) 也可以写成 f ( x) ? f (2a ? x) 或 f (? x) ? f (2a ? x)
若写成: f (a ? x) ? f (b ? x) ,函数 y ? f ( x) 关于直线 x ?

(a ? x) ? (b ? x) a ? b ? 对称 2 2

(2)函数 y ? f ( x) 关于点 ( a, b) 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b

上述关系也可以写成 f (2a ? x) ? f (? x) ? 2b 或 f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b
若写成: f (a ? x) ? f (b ? x) ? c ,函数 y ? f ( x) 关于点 (

a?b c , ) 对称 2 2

7

2.两个函数的图象对称性 (1) (2) (3) (4)

y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 X 轴对称。

y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 Y 轴对称。

y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于直线 x ? a 对称。

y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点(a,b)对称。
a?b 对称。 2

(5) y ? f (a ? x) 与 y ? ( x ? b) 关于直线 x ? 函数的凸凹性

设函数 f 为定义在区间 I 上的函数,若对(a,b)上任意两点 x1 、 x2 ,恒有: (1) f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,则称 f 为(a,b)上的下凸函数;( f ??( x) ? 0 ) 2 2
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,则称 f 为(a,b)上的上凸函数。( f ??( x) ? 0 ) 2 2
〖补充知识〗函数的图象

(2) f (

(1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②化解函数解析式; ④画出函数的图象.

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换

x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)

y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶 性,注意图象与函数解析式中参数的关系. 8

(3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工 具.要重视数形结合解题的思想方法.

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 x
n

? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a
n

表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 没有 n 次方根. ②式子
n

a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a

a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ? 0 .
a )n ? a ;当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时,
n

③根式的性质: ( n (2)分数指数幂的概念

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)



m

①正数的正分数指数幂的意义是: a n
?

? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.
m n

②正数的负分数指数幂的意义是: a 义.

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 a a

的负分数指数幂没有意

注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.

(3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R)
r

② (a

r s

) ? ars (a ? 0, r, s ? R)

③ (ab)

? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
0 ? a ?1

a ?1

y
图象

y ? ax

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域

1

x 0
R
(0, ??)

O

1

x 0

9

过定点 奇偶性 单调性

图象过定点 (0,1) ,即当 x 非奇非偶 在 R 上是增函数

? 0 时, y ? 1 .
在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数, N

叫做真数.

②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga (2)几个重要的对数恒等式

N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 (4)对数的运算性质 ①加法: loga 如果 a . N (其中 e ? 2.71828 ?)

N ;自然对数: ln N

,即 log e

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a ④a
log a N

M ? loga N ? loga (MN )
M ? loga M n (n ? R)
n log a M (b ? 0, n ? R ) b

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n loga ⑤ log

?N

ab

Mn ?

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 图象 函数 对数函数

y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
0 ? a ?1

a ?1

10

y

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对
设函数

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

(6)反函数的概念(可以不看)

y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对于 y 在 C 中的任

何一个值,通过式子

x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,函数

x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) .
(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ;

? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 ②函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

③若 P ( a, b) 在原函数 ④一般地,函数

y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义

11

一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ?

y

? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在 (0, ??) 上为减

函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与

y 轴.
? q (其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) ,若 p
q

④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ?
q q

p p p 则 y ? x 是奇函数, 若 p 为奇数 q 为偶数时, 则 y ? x 是偶函数, 若 p 为偶数 q 为奇数时, 则y?x p 为奇数 q 为奇数时,

是非奇非偶函数. ⑤图象特征: 幂函数 上方,当 ? 当 ? ? 1 时, 若 0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 下方, 若 x ?1, 其图象在直线 y ? x y ? x? , x ? (0, ??) ,

? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方.
〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
12

①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 (3)二次函数图象的性质

f ( x) 更方便.

①二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?

b 4ac ? b 2 b , 顶点坐标是 (? , ). 2a 2a 4a 4ac ? b 2 时, f min ( x) ? 4a
时, ;

b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? ②当 a ? 0 时, 抛物线开口向上, 函数在 ( ??, ? 2a 2a 2a
当a

? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递增,在 [ ? , ?? ) 上递减,当 x ? ? 2a 2a 2a

f max ( x) ?

4ac ? b2 4a



③二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
(4)一元二次方程 ax
2

? . |a|

? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决 的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一 元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以下四个方面来分
?? b 2a
y
a?0
③判别式: ? ④端点函数值符号.

析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ①k<x1≤x2

?
y

f (k ) ? 0
?

x??

b 2a

O

k x1
x??
②x1≤x2<k

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

?
y y
f (k ) ? 0
?

a?0
O

x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??
③x1<k<x2

f (k ) ? 0

?

af(k)<0 13

y
a?0

y
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0
?

y
?

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0
f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 是否也符合

?

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0
⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 设

f (k 2 ) ? 0

?

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值
1 ( p ? q) . 2
③若 ?

f ( x) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ?
(Ⅰ)当 a

? 0 时(开口向上)
②若

①若 ?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a?0

p??

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

b ? q ,则 m ? f (q) 2a
a?0

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

y

x??

f (q)
O
f (? b ) 2a

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b f ((p) ? ) 2a

p

x
b ) 2a

f f (? (q)

14

①若 ?

b ? x0 ,则 M ? f (q) 2a

②?

a?0

yx ? ? b f
O

b ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a y b a?0 ??
x

2a

f (p) x0 ? p (q) q
O

2a

x(q) 0 p ?
f

q

x

x
b ) 2a

f f (?

(Ⅱ)当 a ①若 ?

? 0 时(开口向下)
②若

b f ((p) ? ) 2a

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

p??

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a
a?0

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a
a?0
f f( ?

f (?

yb
2a

)

f (?

yb
2a

yb
2a

)

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f f( ?

yb
2a

)

yb
2a

)

f (p)

(q)

x0 ? O p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p ?
f (p)

O

q
x?? b 2a

f

x

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点

y ? f ( x)(x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐
1、 函数零点的概念: 对于函数 标。即: 方程

f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.

3、函数零点的求法: 求函数 1 ○

y ? f ( x) 的零点: (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 ○ 4、二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . 2 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二
重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax
2

? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
15

高中数学 必修 2 知识点
第一章
1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图
1 三视图: 正视图:从前往后 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下

空间几何体

1.3 空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 4 圆台的表面积 S

S ? 2?rl ? 2?r 2
? ?rl ? ?r 2 ? ?Rl ? ?R 2

3 圆锥的表面积 S

? ?rl ? ?r 2 ? 4?R 2

5 球的表面积 S

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h

2 锥体的体积

V ?

1 S底 ? h 3
D α A B C

1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

4 球体的体积

V ?

4 3 ?R 3

第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 一.基本知识点 本章的知识结构

16

2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系 一、四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 符号语言: A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ???l ?? 。 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论一:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 特别的:两平行线确定一个平面。 公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (两个平面的交线) 。 符号语言: P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , P ? l 。 公理 4:(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言: a // l , 且b // l ? a // b 。 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1.异面直线:把不在任何一个平面内的两条直线。 2.异面直线 a , b 所成夹角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任意一点 O 作直线 a? // a, b? // b ,我们把 a? 与 b ? 所 成的角叫异面直线 a , b 所成夹角(或直角)(易知:夹角范围 0 ? ? ? 90? ) 定理 :空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两 个角互补的图形) 3.位置关系:共面直线:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点。 异面直线:不在任何一个平面内,没有公共点。

?1.直线在平面内:l ? ? ? 三、空间中直线与平面之间的位置关系: ? ?2.直线与平面相交:l ? ? ? A ?直线在平面外 ?3.直线与平面平行:l // ? ? ?
四、空间中平面与平面之间的位置关系: ?

?1.两个平面平行:? // ? ?2.两个平面相交:? ? ? ? l
17

五、线面平行的四个定理 定理 定理内容 平面外的一条直 直线与平面 平行的判定 线 与 平 面 内 的一 条 直 线平行,则该直线与此 平面平行。 一个平面内的两 平面与平面 平行的判定 条 相 交 直 线 与另 一 个 平面平行,则这两个平 面平行。 一条直线与一个 直线与平面 平行的性质 平面平行,则过这条直 线 的 任 一 平 面与 此 平 面 的 交 线 与 该直 线 平 行。 如果两个平行平 平面与平面 平行的性质 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内―找出‖一条直

a ? ? , b ? ? , 且a // b 线与已知直线平行就可以判定直 ? a // ?
转化为―平面问题‖

线与平面平行。即将―空间问题‖

a ? ?,b ? ?, a ? b ? P, a // ? , b // ? 面内―找出‖两条相交直线与另一 平面平行。即将―面面平行问题‖ ? ? // ?
转化为―线面平行问题‖

判定的关键:在一个已知平

a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b

? // ? , ? ? ? ? a, 相交,那么它们的交线 ? ? ? ? b ? a // b
面 同 时 和 第 三个 平 面 平行。

定理之间的关系及其转化 两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以在解题时 应注意―转化思想‖的运用。这种转化实质上就是:将―高维问题‖转化为―低维问题‖,将―空间问题‖转化为―平面 问题‖。

找线与线平行的方法: 2.2 直线、平面垂直的判定及其性质 一、基本概念 1.直线与平面垂直:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 垂直,记作 l ? ? 。 直线 l 叫做平面 ? 的垂线,平面 ? 叫做直线 l 的垂面。直线与平面的公共点 P 叫做垂足。 2. 直线与平面所成的角:角的取值范围: 0 ? ? ? 90? 。
18

3.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫 做二面角的面。二面角的取值范围: 0 ? ? ? 180? ;两个平面垂直:直二面角。 二、线面垂直四个定理 定理 定理内容 一条直线与一个 直线与平面 垂直的判定 平面内的两条相交直 线垂直,则该直线与 此平面垂直。 一个平面过另一 平面的垂线,则这两 个平面垂直。 同垂直与一个平 面的两条直线平行。 两个平面垂直, 平面与平面 垂直的性质 则一个平面内垂直与 交线的直线与另一个 平面垂直。 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内―找出‖两条 相交直线与已知直线垂直就可 以判定直线与平面垂直。即将 ―线面垂直‖转化为―线线垂直‖ 判定的关键:在一个已知 平面内―找出‖两条相交直线与 另一平面平行。即将―面面平行 问题‖转化为―线面平行问题‖

m、n ? ? , m ? n ? P, 且a ? m, a ? n ? a ??
a ? ?,a ?? ? ? ??
(满足条件与 ? 垂直 的平面 ? 有无数个)

平面与平面 垂直的判定

直线与平面 垂直的性质

a ? ? , b ? ? ? a // b

判断两只线平行可以用这个方 法。 解决问题时,常添加的辅

? ? ? ,? ? ? ? l, a ? ? , 助线是在一个平面内作两平面 a ?l ? a ??
交线的垂线

三、定理之间的关系及其转化 两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直,而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直,所以在解题时 应注意从―高维‖到―低维‖ 的转化,即―空间问题‖到―平面问题‖的转化。

找线与线垂直的方法: 四.射影 7.P 是△ABC 所在平面外一点,O 是点 P 在平面 α 上的射影. (1)若 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (2)若点 P 到△ABC 的三边的距离相等,则 O 是△ABC_________心. (3)若 PA 、PB、PC 两两垂直,则 O 是△ABC_________心.
19

(4)若△ABC 是直角三角形,且 PA = PB = PC 则 O 是△ABC 的____________心. (5)若△ABC 是等腰三角形,且 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (6)若 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角相等,则 O 是△ABC 的________ 心;

空间向量在立体几何中的应用 一.基本知识点 1.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存在唯一一个 λ∈R,使 a=λb. 2.共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一的有序实数对(x,y), 使 p=xa+yb. 3.空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数 组{x,y,z}使得 p=xa+yb+zc. 4.证明空间三点 P,A,B 共线的方法:(1) PA =λ PB (λ∈R);(2)对空间任一点 O, OP = OA +t AB (t∈ R);(3)对空间任一点 O, OP =x OA +y OB (x+y=1). 5.证明空间四点 P,M,A,B 共面的方法:(1) MP =x MA +y MB ;(2)对空间任一点 O, OP = OM +x MA +y MB ;(3)对空间任一点 O,OP =x OM +y OA +z OB (x+y+z=1);(4) PM ∥ AB (或 PA ∥ MB 或 PB ∥
???? ? AM ).
??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

??? ?

???? ?

????

????

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

6.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个. (2)一个平面的法向量是与平面垂直的向量,有无数多个,任意两个都是共线向量. 7.设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α,β 的法向量分别为 u,v,(都为非零向量)则:(1)线线 平行:l∥m?a∥b?a=kb,k∈R;线面平行:l∥α?a⊥u?a· u=0; 面面平行:α∥β?u∥v?u=kv,k∈R. (2)线线垂直:l⊥m?a⊥b?a· b=0;线面垂直:l⊥α?a∥u?a=ku,k∈R; 面面垂直:α⊥β?u⊥v?u· v=0. 8.两条异面直线所成角的求:设两条异面直线 a,b 的方向向量为 a,b,其夹角为 θ,则 cos φ=|cos θ|= (其中 φ 为异面直线 a,b 所成的角). |a· b| |a||b|

20

9.直线和平面所成的角的求法:如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 φ,两向量 e 与 n 的夹角为 θ,则有 sin φ=|cos θ|= |n· e| . |n||e|

10.二面角的求法:(1)如图①,AB,CD 是二面角 α lβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ =〈 AB , CD 〉.
??? ?
??? ?

(2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α lβ 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ=〈n1,n2〉 或 π-〈n1,n2〉. 11.点到面的距离 如右图所示,已知 AB 是平面 ? 的一条斜线, n 为平面 ? 的法向量,则 A 到平面 ? 的距离为 d ?
A

n
C B

AB ? n n



?

第三章

直线与方程

一.基本理论 1. 直线的倾斜角与斜率
(1) .倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜角,范围为 ?0, ? ? 。 (2) .斜率:当直线的倾斜角不是 900 时,则称其正切值为该直线的斜率,即 k=tan ? ;当直线的倾斜角等于 900 时,直线的斜率不存在。 斜率求法:倾斜角;两点式;直线方程;直线方向向量;位置关系;导数(切线斜率) 两点式:过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan ? ? 存在,此时直线的倾斜角为 900) 。 斜率作用:求倾斜角;求直线方程;求直线方向向量;判断位置关系;处理分式问题;判断三点共线问题。
21

y2 ? y1 (若 x1=x2,则直线 p1p2 的斜率不 x2 ? x1

2.直线的方程
名称 斜截 y=kx+b 式 点斜 式 两点 式 截距 式 y-y0=k(x-x0) b——纵截距 (x0,y0)——直线上 已知点,k——斜率 (x1,y1),(x2,y2)是直 线上两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 用此式 倾斜角为 90°的直线不能 用此式 与两坐标轴平行的直线不 能用此式 过(0,0)及与两坐标轴 平行的直线不能用此式 方程 说明 k——斜率 适用条件 倾斜角为 90°的直线不能

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1
x y + =1 a b

?
一般 Ax+By+C=0 式

A C C ,? ,? 分 B A B
A、B 不能同时为零

别为斜率、横截距和 纵截距,A、B 不为零

参数 式 极坐

? x ? x0 ? t cos ? (t 为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?


? 为倾斜角,( x0 , y0 )
为定点



直线系问题:两相交直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 ; l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交于点 P ,则经过 P 点 的直线 l (异于 l2 )可表示为 A1x ? B1 y ? C1 ? ?( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 平行直线系: A1x ? B1 y ? k ? 0 ,( k 为参数) 3. 两条直线的位置关系
直线 l1 与直线 l2 平行与垂直 直线平行与垂直判别的方法 (1) 斜率判断法 若 l1 , l 2 均存在斜率且不重合:① l1 // l 2 ? k1=k2;② l1 ? l 2 ? k1k2=-1。 若 l1 , l 2 均不存在斜率且不重合,则 l1 // l 2 ;若 l1 , l 2 有一个斜率不存在,一个斜率为 0,则 l1 ? l 2 。 (2) 系数判断法 若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,

l 2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0
22

若 A1、A2、B1、B2 都不为零。①l1//l2 ?

A1 B1 C1 ;②l1 ? l2 ? A1A2+B1B2=0; ? ? A2 B2 C 2

③l1 与 l2 相交 ?

A1 B1 A B C ;④l1 与 l2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 ; ? A2 B2 A2 B2 C 2

(3) 方向向量判断法 直线方向向量: (? B, A),( B, ? A),(1, k ) 设 l1 的方向向量为 n , l 2 的方向向量为 m ,若 l1 , l 2 不重合, n // m ,则 l1 // l 2 ;若 n ? m ,则 l1 ? l 2 注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决 于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。

4.到角与夹角(前提是 l1 与 l2 相交)
(1) . l1 到 l2 的角,指从 l1 按逆时针方向旋转到 l2 所成的角,范围 (0, ?) ,若直线 l1 的斜率为 k1,直线 l2 的斜率 为 k2,则 tan ? ?

k 2 ? k1 . 1 ? k1 k 2

(2) .l1 与 l2 的夹角, 指 l1 、l2 相交所成的锐角或直角, 范围是 (0, 适用范围:k1,k2 都存在且 k1k2 ? -1. (4).注意: l1 ? l2 时,夹角=到角=

?
2

a n ?? ], 若 l1 与 l2 的夹角为 ? , 则t

k1 ? k 2 , 1 ? k1 k 2

? ;当 l1 与 l2 中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角. 2

5. 直线的交点坐标与距离公式
(1)两点间距离:若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ,则 AB ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

特别地: AB // x 轴,则 AB ? | x1 ? x2 | 、 AB // y 轴,则 AB ? | y1 ? y2 | 。 (2)平行线间距离:若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 , 对应项系数应相等。 (3)点到直线的距离: P(x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到 l 的距离为: d ? 则: d ?

C1 ? C 2 A 2 ? B2

。注意点:x,y

Ax? ? By ? ? C A 2 ? B2

(4)两条直线相交,只要将两条直线方程联立 ?

?l 1 : A1 x ? B 1 y ?C 1 ? 0 ,即可求出两直线的交点。 ?l 2 : A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0

(5)过两直线 ?

?l 1 : A1 x ? B 1 y ?C 1 ? 0 的 交 点 的 直 线 系 方 A1 x ? B1 y ?C 1 ?? ( A 2 x ? B 2 y ?C 2 ) ? 0(? 为 参 数 , ?l 2 : A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0
23

A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0 不包括在内)

6. 对称问题
1 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点,因此中心对称的问题是线段中点坐标公
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式的应用问题

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设 P(x0,y0) ,对称中心为 A(a,b) ,则 P 关于 A 的对称点为 P′(2a-x0,2b-y0)2 点关于直线成轴对
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称问题 由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直” “平分”这两个条件建立方程组,
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就可求出对顶点的坐标 一般情形如下:
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设点 P(x0,y0)关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(x′,y′) ,则有

y? ? y0 ? ? k ? ?1 ? x? ? x0 ? ,可求出 x′、y′ ? ? y? ? y0 ? k ? x0 ? x? ? b ? ? 2 2
特殊地,点 P(x0,y0)关于直线 x=a 的对称点为 P′(2a-x0,y0) ;点 P(x0,y0)关于直线 y=b 的对称点 为 P′(x0,2b-y0)
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3 曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题:一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊
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点,也可选任意点实施转化) 一般结论如下:
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(1)曲线 f(x,y)=0 关于已知点 A(a,b)的对称曲线的方程是 f(2a-x,2b-y)=0 (2)曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法:

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设曲线 f(x,y)=0 上任意一点为 P(x0,y0) ,P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(y,x) ,则由(2)知,P 与 P′的坐标满足

y? ? y0 ? ? k ? ?1 ? x? ? x0 ? 从中解出 x0、y0, ? ? y? ? y0 ? k ? x0 ? x? ? b ? ? 2 2
代入已知曲线 f(x,y)=0,应有 f(x0,y0)=0 利用坐标代换法就可求出曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=kx+b 的
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对称曲线方程
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4 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论:
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(1)点(x,y)关于 x 轴的对称点为(x,-y) ; (2)点(x,y)关于 y 轴的对称点为(-x,y) ; (3)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y) ; (4)点(x,y)关于直线 x-y=0 的对称点为(y,x) ; (5) 点 (x, y) 关于直线 x+y=0 的对称点为 (-y, -x) (6) ; 点 ( x0 , y0 ) 关于直线 y ? x ? a 的对称点为 ( y0 ? a, x0 ? a) (7)点 ( x0 , y0 ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 (? y0 ? a, ? x0 ? a)
24

注:①曲线、直线关于一直线( y ? ? x ? b )对称的解法:y 换 x,x 换 y. 例:曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称 曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0.

第四章

圆与方程

一、基本知识点
(一)圆的方程
1.圆:平面内与顶点距离等于定长的点的集合(轨迹) 。顶点就是圆心,定长就是半径。 2.圆的方程 (1)圆的标准方程 圆心为 C (a, b) , 半径为 r 的圆的标准方程为:( x ? a) 圆心在原点的圆的方程为: x (2)圆的一般方程 二元二次方程: x
2 2 2

? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) 。特殊地,当 a ? b ? 0 时,

? y2 ? r 2。

? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F (*).将(*)式配方得 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4
D 2 ? E 2 ? 4F . 2

D E ① 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程(*)表示圆方的程,圆心为点 (? ,? ) ,半径为 r ? 2 2
2 2

② 当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程(*)表示点 (? 图形. 说明: 对于二元二次方程 Ax
2

D E 2 2 ,? ) .③ 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程(*)不表示任何 2 2

? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充要条件是:①

x 2 项 y 项的系数相

2

同且不为 0,即 A ? C ? 0 ;② 没有 xy 项,即 B=0;③ D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 . (3)圆的参数方程 ①圆心在 O (0, 0) ,半径为 r 的圆的参数方程为 ?

? x ? r cos ? ? y ? r sin ?

(θ 为参数).



②圆心在 O1 (a, b) ,半径为 r 的圆的参数方程为 ? 说明:在①中消去 ? 得 x
2

? x ? a ? r cos ? ? y ? b ? r sin ?

(θ 为参数)



? y 2 ? r 2 ,在②中消去 ? 得 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,把这两个方程相对于它们各自的

参数方程又叫做普通方程. (4)圆的直径式方程: ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1)( y ? y 2 ) ? 0 ,其中 A( x 1 , y 1 )
25

, B( x 2 , y 2 ) 是圆的一条直径的两个

端点(圆上取一点 P( x, y) , kPA ? kPB

? ?1 即可证得).

3.圆方程的求法:球圆方程的主要方法是待定系数法 可直接设, 圆心为 C (a, b) , 半径为 r 的圆的标准方程为:( x ? a)
2

? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ,根据条件中 a, b, c

的关系建立方程组,解方程组并把结果带入所设的方程中,就得到所求结果。 如果已知条件中圆心的位置不能确定,则选择用一般方程 x 4.圆系方程 (1)同心圆系:圆心为 O( x0 , y0 ) ,半径为 r 的圆的标准方程为: ( x ? x0 ) ( 2 ) 过 两 圆 C1 : x
2 2

2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

? ( y ? y0 )2 ? r 2

? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 及 C2 : x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的 公 共 点 的 圆 系 方 程 为

x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ?(x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 (? ? ?1) (不表示圆 C2 ).若 ? ? ?1 ,该方程表示
过两圆 C1 , C2 交点的直线 l ,特别的,当两圆相切时, l 为过两圆切点的公切线. ( 3 ) 过 直 线 l : Ax ? yB ? C ? 0 与 圆

C : x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

交 点 的 圆 系 方 程 为

C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? yB ? C) ? 0
5.补充知识:圆心的三个重要几何性质 ① 过切点的半径垂直于切线;② 圆心一定在弦的中垂线上;③ 两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

(二)直线与圆、圆与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a)
2

2

?( y ? b) 2 ? r 2.

?( y 0 ?b) 2 ? r 2. ② M 在圆 C 上 ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ? r 2. ?( y 0 ?b) 2 ? r 2.

2

2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交,判定方法有两种: (1)代数法:直线 l : Ax ? yB ? C ? 0 与圆 C : x
2

? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,联立得方程组
?△ ? 0 ? 相交 ? ?△ ? 0 ? 相切 ?△ ? 0 ? 相离 ?

? Ax ? By ? C ? 0 消元 判别式 ?? ? ? 一元二次方程 ??? ? ? 2 2 △ ?b ? 4 ac ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

( 2 )几何法:直线 l : Ax ? yB ? C ? 0 ,圆 ( x ? a)

2

? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ,圆心 (a ,b ) 到直线的距离为

d=

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

?d ? r ? 相离 ? ,则 ? d ? r ? 相切 . ?d ? r ? 相交 ?
26

注:有两个交点,则其公共弦方程为 ( D 1 ?D 2 ) x ? ( E 1 ?E 2 ) y ? ( F 1 ?F 2 ) ? 0. 3.两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 , O1O2 ? d 。

0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;

?x 2 ? y 2 ?D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 ? ? 相减 两圆相切,则 ? 2 2 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ? ? 2 2 2

为公切线方程.

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;
2 2 ? ?x ? y ?D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 ? 相减为圆心 O1O 2 的连线的中垂线方程. 两圆相离,则 ? 2 2 ? ?x ? y ?D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0

4.圆中弦的问题 (1)几何法:半径为 r ,弦心距为 d ,半弦长为 l ,则有 r 2 ? d 2 ? l 2 . (2)代数法: 解方程组 ?

?l : ax ? bB ? c ? 0
2 2 2 ?( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r

消元后可得关于

x1 ? x2 , x1 ? x2或y1 ? y2 , y1 ? y2 的 关 系 式 , 则

AB ?

?1 ? k ? ? ?? x ? x ? ? 4 x ? x ? ??
2 1 2 1 2

1 ? 2 ? ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 ? y2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? k ?

5.圆的切线问题 (1)求过圆上的一点 ( x0 , y0 ) 圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率 k ,则由垂直关系,切线斜率为 ? 斜 式方程可 求得切线 方程 。同时也 有,过圆

1 ,由点 k

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上 一 点 P( x 0 , y 0 ) 的切线 方程为 :

x0x ? y0 y ? D

x ? x0 y? y0 ?E ? F ? 0. 2 2
27

(2)求过圆外一点 ( x0 , y0 ) 圆的切线方程 ① (几何方法) 设切线方程为 y ? y0 得 k ,切线方程即可求出. ② (代数方法) 设切线方程为

? k ( x ? x0 ) 即 kx - y ? kx0 ? y0 ? 0 ,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即 y ? kx ? kx0 ? y0 代入圆方程得一个关于 x 的一元二次方程,

由 ? ? 0 ,求得 k ,切线方程即可求出. 注:①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得 ②过圆 x
2

? y 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 .
2

过圆外一点 ( x0 , y0 ) 作圆 x

? y 2 ? r 2 的切线,切点为 A,B,则切点弦 AB 方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 .

高中数学
1.1.1 算法的概念

必修 3 知识点

第一章 算法初步

1、算法概念: 在数学上, 现代意义上的 “算法” 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤, 这些程序或步骤必须是明确和有效的, 而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前 提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

1.1.2

程序框图

1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。 起止框

28

表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算法中任何需 输入、输出框 要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别 处理框 写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或 判断框 “Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一 个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅 有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三) 、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行 的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执 行 B 框所指定的操作。 2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同时执行 A 框和 B 框,也 不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执 行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1) 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P 是 否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 不成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。 (2) 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P 是否成立,如果 P 仍然不成立,则 继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。

A

B

A P
不成立 成立
29

A P
成立 不成立

当型循环结构

直到型循环结构

注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死 循环” 。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变 量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。

1.2.1

输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句 (1)输入语句的一般格式

INPUT“提示内容” ;变量

图形计算器 格式

(2)输入语句

INPUT “提示内容” ,变量

的作用是实现 算法的输入信

息功能; (3 ) “提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量; (4)输入语句要求输入的值 只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式; (5)提示内容与变量之间用分号“; ”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间 用逗号“, ”隔开。 2、输出语句 (1)输出语句的一般格式



PRINT“提示内容” ;表达式

图形计算器 格式

Disp “提示内容” ,变量

(2)输出 句的作用

是实现算法的输出结果功能; ( 3) “提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式是指程序要输出的数据; (4)输出语句可以输 出常量、变量或表达式的值以及字符。 3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格式

变量=表达式

图形计算器 格式

表达式 ?变量

(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; (3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。 赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量; (4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表 达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式; (5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含 义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号 意义不同。 1.2.2 条件语句 1、条件语句的一般格式有两种: (1)IF—THEN—ELSE 语句; (2)IF—THEN 语句。2、IF—THEN—ELSE 语句 IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。 30

IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF
图1 图2

否 满足条件? 是 语句 1 语句 2

分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时执行的操作内容; “语句 2”表示不满足 条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的语句 2。 3、IF—THEN 语句 IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。

IF 条件 THEN 语句 END IF (图 3) (图 4) 满足条件? 否



语句

注意: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,结束程序;END 句,转而执行其它语句。

IF 表示条件语句的

结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合就执行 THEN 后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语

1.2.3 循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和直到型 (UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 1、WHILE 语句 (1)WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环体 WHILE 循环体 WEND 满足条件? 否
(2)当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上 述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直 接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。 2、UNTIL 语句 (1)UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是

条件 是

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
31

循环体 满足条件? 否

(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条件 的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行 循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别: (先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;

在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循环

1.3.1 辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 用除数 n 除以余数 余数

S0 和一个余数 R0 ; R R (2 ) :若 0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 0 ≠0,则

R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ; R R R R (3) :若 1 =0,则 1 为 m,n 的最大公约数;若 1 ≠0,则用除数 0 除以
依次计算直至

R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;??

Rn =0,此时所得到的 Rn?1 即为所求的最大公约数。

2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不 可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译为: (1 ) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 (2 ) :以较大的数减去较小的 数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最 大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析: (略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较 少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到

1.3.2 秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 32

v2=v1x+an-2

v3=v2x+an-3

......

vn=vn-1x+a0

这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想: 插入排序的思想就是读一个, 排一个。 将第1个数放入数组的第1个元素中, 以后读入的数与已存入数组的数进行比较, 确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中. (由于算 法简单,可以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后.然后比较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个 数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3 进位制
1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数,基数为 n,即 可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可以用不 同的进位制来表示。比如:十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代 表的数值都是一样的。 一般地,若 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为:

an an?1...a1a0( k )

(0 ? an ? k ,0 ? an?1,..., a1 , a0 ? k ) ,

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数

第二章
2.1.1 简单随机抽样
1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量.

统计

为了研究总体

的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:







研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联 性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;?随机数表法;?计算机模拟法;?使用统计软件直接抽取。 33

在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。

2.1.2 系统抽样
1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法 抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许 的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种 循环和抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的是,如 果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。

2.1.3 分层抽样
1.分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单 随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的样 本进而代表总体。 分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: 34

(1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主要是便于对不同层次的子 总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的 比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值: x

?

x1 ? x2 ? ? ? xn n
2

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 2、 .样本标准差: s ? s ? n
3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中, 这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、 均值和标准差并不是总体的真正的分布、 均值和标准差, 而只是一个估计, 但这种估计是合理的, 特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理

2.3.2 两个变量的线性相关
1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数 2.最小二乘法 3.直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度。 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延。 35

第三章
3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:

概 率

(1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出
nA 现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发

生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。
nA

(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n ,它具有一定的稳定性,总 在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上 反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥 事件的特殊情形。

3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生
1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; 36

②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)=

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;
(2) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.

高中数学

必修 4 知识点

第一章 三角函数
(一)角的概念的推广与弧度制
1.角概念的推广: 在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向,旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的 角可分为正角和负角,其中逆时针方向旋转的角叫做正角,顺时针方向的叫做负角;当射线没有旋转时,我们 把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系 x 轴正半轴作为角的起始边,叫做角的始边。射线旋转停止时对应的 边叫角的终边。 2.特殊命名的角的定义: (1)正角,负角,零角 (2)象限角:角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为:第一象限角、第二象限角等 (3)轴线角:角的终边落在坐标轴上的角 终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

? ?

? ? ?

终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z 终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z (4)终边相同的角:与 ? 终边相同的角 x ? ? ? 2k? (5)与 ? 终边反向的角: x ? ? ? (2k ? 1)?

?

终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

? ?

终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z
37

?

(6)若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? (7)成特殊关系的两角 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? 若角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 注:(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3.弧度制的定义:定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角 它的单位是 rad 读作弧度,这种用
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奎屯 新疆

―弧度‖做单位来度量角的制度叫做弧度制. ? ? 如下图,依次是 1rad , 2rad , 3rad ,αrad
2r
3r
3rad

l R

l
? rad

r
1rad

r r

2rad

r

r

r

4.角度与弧度的换算公式: 360° =2 ? 180° =? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 一个式子中不能角度,弧度混用. 5.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住:
角 0° 度 弧 0 度 角 度 弧 度 π/6 2 10° 7 π/4 6 2 25° 5 π/3 4 2 40° 4 π/2 3 2 70° 3 π/3 2 3 00° 5 π/4 π/3 3 15° 7 π/4 3 30° 1 1π/6 π π/6 3 60° 2 0° π/ 5° π/ 0° π/ 0° π/ 20° 2 35° 3 50° 5 π 80° 3 4 6 9 1 1 1 1

6.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一 种一一对应的关系
王新敞
奎屯 新疆

38

正角 零角 负角 任意角的集合 7.初中学过的弧长公式、扇形面积公式: l ? 8.弧长公式( l ? r ? ? ) :由公式: ? ?

正实数 零 负实数 实数集 R

n?R 2 n?r ; S扇 ? 180 360

l n?r ? l ? r ? ? ,比公式 l ? 简单 r 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 9.扇形面积公式

S?

1 lR 2

其中 l 是扇形弧长, R 是圆的半径
o

R S l

(二)任意角三角函数
1.任意角的三角函数定义

正弦 sin ? ?

y x y x , 余弦 cos ? ? , 正切 tan ? ? , 余切 cot ? ? r r x y

2.三角函数的定义域: 三角函数
f ( x) ? sinx f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx

定义域

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

3.单位圆的三角函数线定义 如图(1)PM 表示 ? 角的正弦值,叫做正弦线。OM 表示 ? 角的余弦值,叫做余弦线。 如图(2)AT 表示 ? 角的正切值,叫做正切线。 AT ? 表示 ? 角的余切值,叫做余切线。 注:线段长度表示三角函数值大小,线段方向表示三角函数值正负

4.三角函数在各象限内的符号规律:第一象限全为正,二正三切四余弦.
39

sin?>0 cos?<0 tan?<0 cot?<0 sin?<0 cos?<0 tan?>0 cot?>0

sin?>0 cos?>0 tan?>0 cot?>0 sin?<0 cos?>0 tan?<0 cot?<0

正弦

余弦

正切

(三)同角三角函数的基本关系式
同角三角函数关系式 (1) sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 (2)商数关系:

sin ? ? tan ? cos ?

(3)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan2 ? ? sec 2 ? ,

(四)诱导公式:―奇变偶不变,符号看象限‖

sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x
s i n? (?x ? ) sxi n c o s? (?x ? ) ? cx os t a n? (?x ? ) ? tx an

s i n? (x ? ) ? sxi n c o s? (x ? ) cx os t a n? (x ? ) ? tx an
sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x
1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2

sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x
1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2

(5)由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径:

途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位, 再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 (五)掌握五点法画三角函数图像 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点.
40

1

?

1

?

倍(ω >0), 再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0=平移

|? | ?

如下表所示. x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

(六) y ? A sin??x ? ? ? (A、 ? >0)的物理意义 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞) 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ

(七)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



函 质



y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

值域

??1,1?


??1,1?
当 x ? 2k?

x ? 2k? ?

?
2

? k ??? 时,
?
2

? k ??? 时,
既无最大值也无最小值

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性 在

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?


? k ??? 上是增函数;在
单调性

?2k? ? ? , 2k? ?? k ??? 上 是 ?2k? ,2k? ? ? ?

在 ? k?

增函数;在

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

3? ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2 2? ? ?

?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
41

对称中心 对称性 对称轴 x

? k? ,0?? k ???
? k? ?

?
2

对称中心 ? k? 对称轴 x ? k?

?k ? ??

? ?

?

?

? , 0 ? ?k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

? k ???

第二章 一)平面向量的基本概念

平面向量

1.向量:既有大小又有方向的量。向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母 表示,如: AB 。几何表示法 AB ,a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y)

? ? ?
?

??? ?

??? ?

?

?

?

王新敞
奎屯

新疆

向量的大小即向量的模(长度),

记作| AB |。即向量的大小,记作| a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
王新敞
奎屯 新疆

??? ?

?

2.零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行。 零向量 a = 0 ? | a |=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

?

?

?

线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与 0 的区别) 3.单位向量:模为 1 个单位长度的向量,向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1 ?
王新敞
奎屯 新疆

?

?

4.平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量称为平行向量,记作 a ∥ b 。任意一组平行向量都可以 移到同一直线上。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向 量也称为共线向量 ?
王新敞
奎屯 新疆

?

?

数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线 向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是 不一样的. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 。大小相等,方 向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ?

?

?

? x1 ? x 2 ;零向量与零向量相等。 ? y1 ? y 2
?
?

6.相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零 向量。 关于相反向量有:(i) ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;(iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? a =? b ,b =? a ,a +b =0

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(二)向量的线性运算
1.向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。
42

??? ?

? ? ???

?

? ??? ? ??? ? ? ? ???

规定:(1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律: a + b = b + a ,( a + b )+ c = a +( b + c ) 2.向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条 对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段 就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾 相连”。 3.向量的减法:求两个向量差的运算,叫做向量的减法。向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,记作:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? (?b ) 。作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a , b 有共同起点)。
? ?

4.实数与向量的积(数乘向量):实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,它的长度与方向规定如 下:

? ? (Ⅰ) ?a ? ? ? a ;

?a ? 0 , (Ⅱ) 当 ? ? 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时,
方向是任意的。 规定:数乘向量满足交换律、结合律与分配律: λ ( a + b )=λ a +λ b ;(λ +μ ) a =λ a +μ a ,λ (μ a )=(λ μ ) a
? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

5.两个向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。 特别的:点

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O 在线 ABC 外,则 A、B、C 三点共线<=> AB ? ? AC <=> OC ? xOA ? yOB(其中x ? y ? 1)

(三)平面向量的基本定理
1.平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有 且只有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底。
43

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2.平面向量的基本定理实际上是向量的分解定理,是向量坐标表示的基础。 3. 已知 e1 , e2 是平面的一组基底, 如果向量 a, e1 , e2 共面, 那么有且只有一对实数 ?1 , ? 2 , 使得 a ? ?1e1 ? ?2 e2 ; 反之如果只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使得 a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,则向量 a, e1 , e2 共面。

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(四)平面向量的坐标表示及运算
1.平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与数对(x,y)是一一对应的, 因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。 规定:(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系。 2.平面向量的坐标运算:①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ;②若

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??? ? ? ? A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ;③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y);
④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。

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(五)平面向量的数量积
1.两个非零向量的夹角:已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a ,OB = b ,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫 a 与

b 的夹角。
说明: (1)当 θ =0时,a 与 b 同向; (2)当 θ =π 时,a 与 b 反向; (3) 当θ = (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

? 时,a 与 b 垂直, 记a ⊥b ; 2

2.数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)。规定 0 ? a ? 0 ;

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? ? ? ? ? a ?b 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影; |a|
3.数量积的几何意义: a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。
44

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4.两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a · b = x1 x2 ? y1 y2 。 5.向量数量积的性质:①向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 。 ②乘法公式成立 a ? b ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? a ? b ; a ? b

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?2

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?2

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2

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b ;

③平面向量数量积的运算律:交换律成立: a ? b ? b ? a ;对实数的结合律成立:

? ?

? ?

? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ?b ? ? ? ? R ? ;分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 。
? ? ? ? ? ?

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? ? x1 x 2 ? y1 y 2 a ?b ? ? ④向量的夹角:cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 。 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时 θ =1800,同时 0 与其它任何非零 向量之间不谈夹角这一问题。 6.垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。
0

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两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a · b =0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,平面向量数量积的性质。 7.平面内两点间的距离公式 设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

?

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?

?

x2 ? y2 。

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,那么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)。

(六)向量的运算律 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)交换律: a ? b ? b ? a , ? ? a ? ? ?? ? a , a ? b ? b ? a ;(2)结合律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? a ? b ? c, a ? b ? c ? a ? b ? c , ? a ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;(3)分配律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? a ? b ? ? a ? ? b , a ? b ? c ? a ? c ? b ? c 。

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? ? ? ? ?

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提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边 同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一 个向量,切记两向量不能相除(相约); (2)向量的“乘法”不满足结合律,即 a(b ? c) ? (a ? b)c ,为什么?

(七)平面向量的应用
1.两个向量平行的充要条件 符号语言:若 a ∥ b , b ≠ 0 ,则 a =λ b
? ?
?

?

?

?

45

? ? ? ? ? x ? ?x 2 坐标语言为:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ∥ b ? (x1,y1)=λ (x2,y2),即 ? 1 ,或 x1y2-x2y1=0 ? y 1 ? ?y 2

在这里,实数 λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时,λ >0;当 a 与 b 异向时,λ <0。|λ |=
? ? ? ?

?

?

?

?

|a| |b|
?

?

,λ 的大

小由 a 及 b 的大小确定。因此,当 a , b 确定时,λ 的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中 λ 的几 何意义。 2.两个向量垂直的充要条件:符号语言: a , b 为非零向量, a ⊥ b ? a · b =0 坐标语言:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0 3.平移公式:
? ?x ' ? x ? h ① 点平移公式,如果点 P(x,y)按 a =(h,k)平移至 P ' ( x ' , y ' ),则 ? ,分别称(x, ? y' ? y ? k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

y),( x ' , y ' )为旧、新坐标, a 为平移法则。在点 P 新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两 组坐标,一定可以求第三组坐标 ②图形平移:设曲线 C:y=f(x)按 a =(h,k)平移,则平移后曲线 C / 对应的解析式为 y-k=f(x-h) 当 h,k 中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移 ③向量平移:一个向量按向量平移过后仍然保持不变。利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于 研究曲线的几何性质 (八)三角形的“四心”与向量 1. 关于重心 G,有重心公式: OG ?
?

?

????

? ??? ? ???? 1 ??? (OA ? OB ? OC ) 3

坐标 G (

x A ? x B ? xC y A ? y B ? y C , ) ,并有性质 GA ? GB ? GC ? 0 ; 3 3

2. 关于垂心 H,有性质 HA ? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ; 3. 关于外心 O,有性质 | OA |?| OB |?| OC | ; 结论:O、H、G 三点共线且 OH ? 3OG ;此线称为欧拉( Euler )线。(如何证明?)

46

4. 关于内心 I,经常涉及内角平分线的研究,如(1) AI ? ? (

AB | AB |

?

AC | AC |

);

(2) ?ABC 的内心为 I,则 aIA ? bIB ? cIC ? 0 。 9.(1)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

?? ?

?? ?

???

?

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的( C )
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心

(2)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ? AB AC OP ? OA ? ? ? ??? ? ? ???? ? , ? ??0, ??? ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( B ) ? AB AC ? ? ?
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

(3) 在直角坐标系 xoy 中,已知点 A(0,1)和点 B(–3, 4),若点 C 在∠AOB 的平分线上,且 | OC |? 2 ,则

??? ?

??? ? OC =_________________.

??? ? ??? ? ??? ? 3 4 3 9 OA OB ? ? ??? ? ) = ? (0,1) ? ? (? , ) = (? ? , ? ) , 略解: 点 C 在∠AOB 的平线上, 则存在 ? ? (0, ??) 使 OC ? ? ( ??? 5 5 5 5 | OA | | OB | ???? ??? ? 10 10 3 10 而 | OC |? 2 ,可得 ? ? ,∴ OC ? (? , ) 3 5 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (4) 已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC) , ? ?[0, ??) . 则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

解:由已知得 AP ? ? ( AB ? AC) ,设 BC 的中点为 D,则根据平行四边形法则知点 P 在 BC 的中线 AD 所 在的射线上,故 P 的轨迹过△ABC 的重心,选 C. (5) 已知 O 是平面上的一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) , ? ?[0, ??) , 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( | AB | sin B | AC | sin C
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? ? ??? ) ,由正弦定理知 | AB | sin B ?| AC | sin C , 解:由已知得 AP ? ? ( ??? | AB | sin B | AC | sin C ??? ? ??? ? ???? ? ? ( AB ? AC ) , ∴ AP ? ??? | AB | sin B
设 BC 的中点为 D,则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的重心,故选 A .

47

(6)已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 为△ABC 的外心,动点 P 满足

??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? OP ? [(1 ? ? )OA ? (1 ? ?)OB ? (1 ? 2 ?) OC] (? ? R, ? ? 0) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( 3
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB 边的中点

)

解: CP ? OP ? OC = [(1 ? ? )OA ? (1 ? ? )OB ? 2(1 ? ? )OC ]

??? ?

??? ? ??? ? 1 3

??? ?

??? ?

????

? ??? ? ??? ? ??? ? ? ???? ??? ? ???? 1 ? ? ??? 1 ? ? ??? (CA ? CB ) ,由平行四边形法则知 CA ? CB 必过 AB 边的中点, [(OA ? OC ) ? (OB ? OC )] = 3 3 注意到 ? ? 0 ,所以 P 的轨迹在 AB 边的中线上,但不与重心重合,故选 D.
=

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) , ? ?[0, ??) , 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( | AB | cos B | AC | cos C
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

(7) 已知 O 是平面上的一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC AB ? BC AC ? BC ? ? ? ? 解:由已知得 AP ? ? ( ??? ? ??? ) ,∴ AP ? BC ? ? ( ??? ? ??? ) | AB | cos B | AC | cos C | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AB | ? | BC | cos(? ? B) | AC | ? | BC | cos C ??? ? ??? ? = ?( ? ) = ?(? | BC | ? | BC |) = 0, | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ∴ AP ? BC ,即 AP⊥BC,所以动点 P 的轨迹通过△ABC 的垂心,选 B.

第三章 三角恒等变换
(一)两角和与差的公式

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? (? ? ) ?

cos ? (? ? ) ? c o ? sco? s ?s i ? nsin ? sin ?( ? ?) ? s i ? nco? s ?c o? ssin ?
ta? n ?t a n ? 1? t a ? n tan ?

tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β),

tan α+tan β tan α-tan β tan αtan β=1- = -1 tan?α+β? tan?α-β?

(二)倍角公式和半角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?

48

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan ?
2

s i n ?? 2

?

1? c o ? s 2

cos

?
2

??

1 ? cos? 2

tan

?
2

??

1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?
1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos ? ? 。 2 2 2

降幂公式: sin ? cos ? ?

(三)万能公式
2 tan

?
2

sin? ?

1 ? tan 2

?
2

cos? ?

1 ? tan 2 1 ? tan 2

? ?
2 2

2t a n 2 t a? n ? 2 ? 1? t a n 2

?

(四)收缩代换(辅助角公式)
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? , 其中sin ? ?
b a ?b
2 2

, cos ? ?

a a ? b2
2



?? ? sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? 4? ?
(五)三角函数的积化和差与和差化积
sin ? cos ? ? 1 1 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ;cos ? sin ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2? 1 1 cos ? cos ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ;sin ? sin ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2?

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2
? ??
2

cos
sin

? ??
2
? ??
2

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

sin

? ??
2

cos ? ? cos ? ? ?2sin

(六) 15 与75

?

?

sin 15? ? cos75? ?

6? 2 6? 2 ? ? , sin 75 ? cos15 ? , 4 4
tan75? ? cot15? ? 2 ? 3

tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 ,

28 、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的

y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
49

? . ?

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的 方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的 关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是

? 2

的二倍;

? 2



? 4

的二倍;

② 15

o

? 45o ? 30o ? 60o ? 45o ?

30o 2
?(

;问: sin

?
12

?

; cos

?
12

?



③?

? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

??) ;

⑤ 2?

? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同 名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式 有: 常用升幂公式有: ; ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 ;

1 ? cos?

常用升幂化为有理式,

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? ? __________ _____ 1 ? tan ?



1 ? tan ? ? __________ ____ 1 ? tan ?



tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan
2

??




tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ?
= = ; 1 ? cos ?

; ; (其中 tan ? ;

a sin ? ? b cos ? ?
1 ? cos ? ?

?

; )

?

(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互 化。 如: sin 50
o

(1 ? 3 tan10o ) ?

; 。

tan ? ? cot ? ?

高中数学

必修 5 知识点
50

第一章 解三角形
(一)解三角形: 正弦、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 a b c = = =2R sin A sin B sin C (1)a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c =2Rsin_C; a b (2)sin A= ,sin B= ,sin C 2R 2R 变形 = c ; 2R b2+c2-a2 cos A= ; 2bc c2+a2-b2 cos B= ; 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A; 内容 b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C

(3)a∶b∶c= sin_A∶sin_B∶sin_C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A 注意: (1)在△ABC 中,A>B 等价于 sin A>sin B. (4)用余弦定理时注意配方 2. S△ABC = (2)等比定理

(3)注意边角互化

(6)用余弦定理判断角的大小

1 1 1 abc 1 absin C = bcsin A = acsin B = = (a + b + c)· r(r 是 三 角 形 内 切 圆 的 半 径 ) 2 2 2 4R 2

= s(s ? a)(s ? b)(s ? c) ? s ?

? ?

1 ? (a ? b ? c) ? ,并可由此计算 R、r. 2 ?
A 为锐角 A 为钝角或直角

3.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下:

图形 关系式 解的 个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解

4. 在变形中,注意三角形中其他条件的应用: (1)三内角和为 180° ,所以 sin(A+B)=sinC cos(A+B) ? -cosC

tan(A+B) ? -tanC

51

sin

A? B C ? cos 2 2

co s

A? B C ? sin 2 2

A? B C tan ? cot 2 2

(2)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,大边对大角. (3)基本的平面几何知识:如角分线定理,勾股定理,射影定理,三角形全等,三角形相似. 5.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在 水平视线下方叫俯角(如图①).

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.

第二章
(一)数列的概念 ⒈ 定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.

数列

⒉ 数列的项: 数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项 (或首项) , 第 2 项, …, 第 n 项,…. 3.数列的分类: (1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6…是无穷数列 (2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列。

52

4.

通项公式: 如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列 的通项公式。 一. 递推公式: 如果已知数列 ?an ? 的第 1 项 (或前几项) , 且任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或
王新敞
奎屯 新疆



n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 二.

数列有四种表示形式:列举法、通项公式法、递推公式法、图象法(注:数列的图像都是一群孤

立的点). 三. 前 n 项和与通项公式的关系:

(1)数列前 n 项和定义:数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? ? ? an 称为数列 ?an ? 的前 n 项和,记为 S n . (2) S n 与 S n ?1 的关系: Sn ? an ? Sn?1 , (n ? N ? , n ? 1) (3)用 S n 表示 an : an ? ?

(n ? 1) ?S1 ? ?S n ? S n?1 (n ? 1, n ? N )

8.通项公式求法: (1)观察归纳法;(2)等差等比公式法;(3)前 n 项和法;(4)累加法、累乘法 (5)构造法(取倒数,构造常、等差、等比数列,取对数等)

求通项公式 1 9 25 3.(1)①5,55,555,5555,?;②3,5,9,17,33,?;③2,2,2,8, 2 ,?;④1,3,3,5,5,7,7,9,
9… 解:①

5 n (10 ? 1) 9

②an=2 +1

n

n2 ③an= 2

④将已知数列变为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,

8+1,9+0,…。可得数列的通项公式为 a n ? n ?

1 ? (?1) n 2
1 ? ( a n ? 2) 2 8 ( a n ? 0)

(2)已知数列

?an ?的前 n 项和 S n ,分别求其通项公式.① S n ? 3n ? 2 ;② S n
? S1 ? 31 ? 2 ? 1 ,

解析:①当 n ? 1 时, a1 当 n ? 2时, an

? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 2) ? (3n?1 ? 2)
? 2 ? 3n ?1

又 a1 ? 1 不适合上式,故 an

? 1 ?? n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)
53

1 2 ② 当n ? 1时, a1 ? S1 ? (a1 ? 2) , 解得 a1 ? 2 8
所以 (an 所以 (an 又 an

当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 1 1 ? (a n ? 2) 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 8 8

? 2) 2 ? (an?1 ? 2) 2 ? 0

? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0

? 0, 所以an ? an?1 ? 4 ,可知 ?an ? 为等差数列,公差为 4 ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2

所以 an

a1 ? 2 也适合上式,故

an ? 4n ? 2
an+1?2 ?a1+1?2 ? 2 ? ,当 n=1 时,a1=S1=? 2 ? ,得 a1=1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

(3)已知在正项数列{an}中,Sn 表示前 n 项和且 2 Sn=an+1,求 an. 解:

由 2 Sn=an+1,得 Sn=? =?

an+1?2 ?an-1+1?2 ? 2 ? -? 2 ? ,整理,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,∵数列{an}各项为正,∴an+an-1>0. ∴an-an-1-2=0.∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.∴an=a1+(n-1)×2=2n-1.
(4)根据下列各个数列

?an ?的首项和递推关系,求其通项公式

① a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3n ? 2

3 ? 答案: an ? 2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 2? ?2 ?

2 2 ② a1 ? 1, (n ?1)an ,2,3,?) ?1 ? nan ? an?1an ? 0, (n ? 1

an ?

1 n

③ a1 ? 1,

a n ?1 ?

1 an ? 1 2 1 an ? 3n 2

答案: an ? 2 ?

1 2 n ?1

④ a1 ? 1,

an ?1 ?

答案: an ?

2 n 1 1 n ?3 ? ?( ) 5 5 2
n ?1 n ?1

2 ⑤ a1 ? 2, an ? an ?1 (n ? 2)

答案:? lg an ? 2 n?1 lg 2 ? lg 2 2 ,? an ? 2 2

等差数列
1.定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数 列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母―d‖表示) 。 2.等差数列特征:对于数列{ an }有, an?1 ? an ? d (常数);或者 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an , (n ? N ? ) 3.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (或第 2 通项公式: an ? am ? (n ? m)d ) 数列{ an }为等差数列 ? 通项 an ? pn ? q (p、q 是常数),称其为第 3 通项公式。 4.前 n 项和: S n ?

n(a1 ? an ) 1 ,或 S n ? a1n ? n(n ? 1)d 2 2
54

注: S n ? a1n ? 次式。

1 d d n(n ? 1) ? n 2 ? (a1 ? )n ,所以当 d≠0 时,等差数列的前 n 项和 Sn 是一个常数项为 0 的二 2 2 2

5.等差数列的常见性质: 2 3 若 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c,且 b 叫做 a 与 c 的等差中项。 在等差数列 ?a n ?中,若 d>0,则此数列是递增数列;若 d<0,则此数列是递减数列;若 d=0,则此数列是常

数列。 4 5 6 7 8 9 若 m、n、p、k ? N ? , 且m ? n ? p ? k, 则am ? an ? ap ? ak , 特别地,当 m+n=2p,有 am ? an ? 2a p 。 等差数列 ?a n ?中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,所构成新的数列仍是等差数列。 等差数列 ?a n ?的连续 m 项的和 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,? 组成的仍是等差数列,公差为 m 2 d 。 等差数列 ?a n ?中, an , an?m , an?2m ,? 可组成公差为 md 的等差数列。 若 ?an ?, ?bn ?均为等差数列,则 ?an ? bn ?, ?kan ? c? ,其中k , c为常数均为等差数列; 等差数列 ?a n ?前 n 项和为 Sn , S m ? S n ? S m? n , (m, n ? N ? , 且m ? n) ,并且:
m?n m?n

当 n 为奇数时, Sn ? nan?1或写成S2n?1 ? (2n ? 1)an ;
2

S奇 ?

n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 a中 ? a n ?1;S偶 ? a中 ? a n ?1 ; 2 2 2 2 2 2
2

S奇 ? S偶 ? a n ?1 ;

S奇 n ?1 ; ? S偶 n ?1

an 当 n 为偶数时, Sn ? n(a n ? a n ) ; S ? S ? n d ; S奇 ? 2 偶 奇 ?1 2 S偶 a n 2 2
2

?1

10 等差数列 ?a n ?中,若 m+n=p+q( m、n、p、q ? N ? , 且m ? n, p ? q ),则 S m ? S n ? S p ? S q
m?n p?q

第五章 判定数列为等差数列的方法: (1)定义法: an?1 ? an ? d (常数) ? ?an ?是等差数列 (2)中项公式法: 2an?1 ? an ? an?2 (n ? N ? ) ? ?an ?是等差数列 (3)通项公式法: an ? pn ? q( p、q为常数) ? ?an ?是等差数列 (4)前 n 项和公式法: Sn ? An2 ? Bn( A、B为常数) ? ?an ?是等差数列 7.对等差数列前n项和的最值问题有两种求法: (1) 利用 an : 当 a1 ? 0 ,d<0, Sn 有最大值,可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,来确定n的值。
55

当 a1 ? 0 ,d>0, Sn 有最小值,可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,来确定n的值。 (2) 利用 S n :由 S n ?
d 2 d n ? (a 1 ? ) n 利用二次函数配方法求得 Sn 取最值时 n 的值。 2 2

等比数列
1.定义:若一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列就叫等比数列,这个 常数叫等比数列的公比,通常用字母 q 表示( q ? 0 ) 。即:

an =q(q≠0) a n ?1

2.等比数列特征: { an }成等比数列 ? a n ?1 =q( n ? N ? ,q≠0)或 an ? 2 ? an ?1 (n ? N ? ) an ?1 an an 注: (1)定义中隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 ; (2)q= 1 时,{an}为常数。 3.通项公式: (1) an ? a1 ? q n?1 (a1 , q ? 0) ; (2) an ? am ? q n?m (a1, q ? 0)
n 4.前 n 项和: S n ? ? ? a1 (1 ? q ) ? a1 ? an q

?na1 ? ?

,q ?1 , q ? 1且q ? 0

1? q

1? q

注:当 q ? 1 且 q ? 0 时,前 n 项和也可写为 Sn ? A(qn ? 1),( A ? 0) 的形式。 5.等比数列常见性质: (1)等比中项:若 a,b,c 成等比数列,则 b 为 a,c 的等比中项,且 b 2 ? ac (2)对于等比数列 ?a n ?有如下性质: 当 a1 ? 0 , q ? 1 时,等比数列{ an }是递增数列; 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,等比数列{ an }是递增数列; 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 时,等比数列{ an }是递减数列; 当 a1 ? 0 , q ? 1 时,等比数列{ an }是递减数列; 当 q ? 0 时,等比数列{ an }是摆动数列; 当 q ? 1 时,等比数列{ an }是常数列。 (1) 若 m, n, p, k ? N ? , 且m ? n ? p ? k ,则 am an ? a p ak ,特别地,若 m ? n ? 2 p, 则aman ? a2 p (2) 若 ?a n ?是等比数列,q 为公比, S n 是前 n 项的和,则 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,? , (k ? N * ) ( Sk ? 0 )仍成等比数 列,并且新的公比 q? ? q k ; (3) 若 ?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,则 ?an ? bn ?、{ an }也是等比数列;
bn

(4) 等比数列 ?a n ?中,当 n 为偶数时,有 S偶 ? S奇 ? q ;
56

(5) 等比数列 ?a n ?中,前 n 项积为 Vn ,则 Vn ? a q
n 1

n ( n ?1) 2

6.判定数列为等比数列的方法: (1)定义法: an ?1 ? q, (q ? 0) ? ?an ?是等比数列; an
2 ? (2)等比中项法:若 an an ? 为等比数列; ?1 ? an an? 2 , (an ? an?1 ? an?2 ? 0且n ? N ) ? ?

(3)通项公式法:若 an ? cqn , (c, q ? 0, n ? N ? ) ? ?an ?为等比数列; (4)前 n 项和法:若 S n ? Aqn ? A, ( A ? a1 , 且q ? 0, q ? 1) ? ?an ? 为等比数列。 1? q 7.等差数列与等比数列的联系: (1)既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 (2)若 ?a n ?为等差数列,则 {a an }, (a ? 0且a ? 1) 为等比数列;
n (3)若 ?a n ?为正数等比数列,则 {loga , (a ? 0且a ? 1) 为等差数列 a }

数列求和 1.直接用等差、等比数列的求和公式求和;

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 (q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? ? 1? q Sn ?
2.错位相减法求和:如 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,求 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn 的和。 3.分组求和:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 4.合并求和:如求 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 的和。
2 2 2 2 2 2

5.裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? n ? n ! ? (n ? 1)!? n ! n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!

? 1 1? 1 1 ? ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ?
1 1 ? ( n ? k ? n) , n?k ? n k

57

?an ? 等差, an ? 0 ,

1 , an an?1 an an ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k 2 n ?1 ? n ?
n+1 2 n ?n+2?2 6.倒序相加法求和 7.公式法求和:

2 n ? n ?1

?

1 1 1 2 ? ? ? 2( n ? n ? 1) 2 n n(n ? 1) n n ? n ?1

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)

?k
k ?1 n

n

2

?

n(n ? 1)(2n ? 1) 6
2

? n(n ? 1) ? k ?? ? ? ? 2 ? k ?1
3

8.其它求和法:如归纳猜想法、奇偶法等。

第三章
1.不等式的定义

不等式

在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表 示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.两个实数比较大小的方法 (1)单调性法; (2)中间值法; (3)比较法; (4)等价变形; (5)图像法 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a;(2)传递性:a>b,b>c?a>c;(3)可加性:a>b?a+c>b+c, a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc,a>b>0,c>d>0?ac>bd; n n (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1);(6)可开方:a>b>0? a> b (n∈N,n≥2). 4.―三个二次‖的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y= ax2+bx+c (a>0)的图象 Δ>0 Δ=0 Δ<0

58

一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a>0) 的根

有两相异实根 x1, x2(x1<x2)

有两相等实根 x1=x2= - b 2a 没有实数根

ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 ax2+bx+ c<0(a>0)的解集

{x|x<x1 或 x>x2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

{x|x1<x<x2}

?

?

5. 简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最 高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线; 并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现 f ( x ) 的符号变化规律,写出不等式的解集。 6. 分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使 每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或 恒为负时可去分母。 7. 绝对值不等式的解法:(1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集);(2)数形结合;(3)两边平方 8.无理型不等式解法:(1)单调性法;(2)换元;(3)升次;(4)等价变形. 9.指对数以及三角型不等式解法 10.不等式恒成立问题 (1)不等式恒成立问题的本质:最值问题。 (2)解决恒成立问题的常见方法:分离法,单调性法,转换变元,判别式法,根的分布法,导数法,分类讨论, 数形结合,合情推理。 (3)解题原则:分清变元与参数,搞清不等式与函数类型,选择适当方法,尽量避免讨论,转化成最值问题。 (一)线性规划

1.平面区域

一般地,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组成的平 面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式 Ax ? By ? C ? 0 所表示 的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把直线画成实线. 说明:由于直线 Ax ? By ? C ? 0 同侧的所有点的坐标 ( x, y ) 代入 Ax ? By ? C ,得到实数符号都相同,所以只 需在直线某一侧取一个特殊点 ( x0 , y0 ) , 从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面 区域。特别地,当 C ? 0 时,通常把原点作为此特殊点.

2.线性规划中的概念
59

3.引例: 设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x, y 满足

y

? x ? 4 y ? ?3 ? 条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值。 ?x ? 1 ?
由题意,变量 x, y 所满足的每个不等式都 表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面 区域的公共区域。由图知,原点 (0, 0) 不在公共
O

x ?1 C
A x ? 4y ? 3 ? 0 B

3x ? 5 y ? 25 ? 0 x

区域内,当 x ? 0, y ? 0 时, z ? 2 x ? y ? 0 ,即点 (0, 0) 在直线 l0 : 2 x ? y ? 0 上,作一组平行于 l0 的直线 l :

2 x ? y ? t ,t ? R ,可知:当 l 在 l0 的右上方时,直线 l 上的点 ( x, y ) 满足 2 x ? y ? 0 ,即 t ? 0 ,而且,直线 l 往
右平移时, t 随之增大。 由图象可知,当直线 l 经过点 A(5, 2) 时,对应的 t 最大, 当直线 l 经过点 B(1,1) 时,对应的 t 最小,所以, zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12 , zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 。 4.线性规划的解题步骤: 第一步: 在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。 5.目标函数的常见类型:线性的、分式型(用斜率)、二次式(用点到点距离) (1) x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; (2) ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离;
60

y (3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; x y-b (4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a

(二)基本不等式( a, b ? R , a ? b ? 2 ab )

?

a?b ——算术平均数, ab ——集几何平均数. 2
1.定理: a, b ? R, 则a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取―=‖) 。
2 2

推论:如果 a,b∈{x|x 是正实数},那么

a?b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取―=‖号). 2

注:该不等式可推出:当 a、b 为正数时, 平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。

(1)

a 2 ?b 2 a?b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 ? a b
2 2 2

(当且仅当 a = b 时取―=‖号)

(2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号); (3) a, b ? 0, 则

1 1 4 ? ? ,当且仅当 a ? b 时,取等号 a b a?b

(4) a ? b ?
2 2

( a ? b) 2 ,当且仅当 a ? b 时,取等号。 2

2.用基本不等式求最值 设 x, y ? 0,由x ? y ? 2 xy 得 (1)如积 xy ? P 为定值,则当且仅当 x ? y 时 x ? y 有最小值 2 P ; (2)如和 x ? y ? S 为定值,则当且仅当 x ? y 时 x ? y 有最大值 ( ) .
2

S 2

即:积定和最小,和定积最大. 注:运用最值定理求最值的三要素:―一正,二定,三相等‖. 常用变形手段:拆项、并项、补项、换元、构造不等式、取平方、重组等

61

《2012 年高考数学总复习系列》高中数学选修修 1-1 知识点
第一章:命题与逻辑结构
知识点:
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称 为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ? p ,则 ? q ”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称 为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的逆否命题为“若 ? q ,则 ? p ”. 6、四种命题的真假性: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系:

?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

7、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 都是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时, p ? q 是假命题. 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题都是假命题时, p ? q 是假 命题. 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ? p . 若 p 是真命题,则 ? p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ? p 必是真命题. 9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 是特称命题. 考点:1、充要条件的判定 2、命题之间的关系 ★1.命题“对任意的 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 ”的否定是(
3 2

10、全称命题 p : ?x ? ? , p ? x ? ,它的否定 ? p : ?x ? ? , ?p ? x ? .全称命题的否定


2

A.不存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
3 2

B.存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
3

62

C.存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

D.对任意的 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

★2、给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题 三个命题中,真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 )

★3. 已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第二章:圆锥曲线
一.基本理论 1.椭圆的定义 第一定义:平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于定值 2 a (大于 | F1F2 | ,即 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1 F2 )的点 的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意: (1) 2a ? F (若 2a ? F ? 2a ? F ?) (2)椭圆的其他生成方式:第二定义;圆的伸缩变换; 1F 2 1F 2 1F 2 圆. (3)椭圆定义的作用. 2.椭圆的标准方程与性质:

63

3.点与椭圆位置关系

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 点 M( x 0 , y 0 )与椭圆方程 2 的位置关系:当点在椭圆外, 2 + 2 >1; a b a b2
当点在椭圆上,

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ;当点在椭圆内, + <1。 a2 b 2 a2 b2

4.直线与椭圆位置关系 5.常用结论: 弦长公式 标准方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2

图形

顶点

到焦点距离最近和最远 (? a, 0) , (0, ?b) , 的点

(0, ? a) , (?b, 0)

范围 对称性 焦点 焦距 离心率 焦点三角形 的相关性质

?a ? x ? a, ?b ? y ? b
轴对称,中心对称

?b ? x ? b, ?a ? y ? a

F1 (?c, 0) 、 F2 (c,0)
焦距为 F1F2 ? 2c(c ? 0),

F1 (0, ?c) 、 F2 (0, c)
c 2 ? a 2 ? b2

e?

c (0 ? e ? 1) ,离心率的求法和范围的求法 a

2b2 PF1 ? PF2 ? ; 1 ? cos ?
e?

? sin(? ? ? ) 2 ; S ? b tan ; 2 sin ? ? sin ?

存在点 P 使 ?P ? ? ,则 sin 点 P(x0,y0) 的 焦半径公式 三角变换

?
2

?

c ?1 a

PF右 ? a ? ex0 , PF左 ? a ? ex0
(左加右减)

PF上 ? a ? ey0 , PF下 ? a ? ey0
(上减下加)

? x ? a cos? ? ? y ? b sin ?
64

? x ? b cos? ? ? y ? a sin ?

设直线 l : y ? kx ? n ,椭圆: F ( x, y) ? 0 ,它们的交点为 P ,P 中点 M ( x0 , y0 ) 1, P 2 1(x 1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) (1)由 ?

? F ( x, y ) ? 0 2 ,消去 y ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) , ? ? b2 ? 4ac 。 ? y ? kx ? n

则弦长公式为:

d ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ?

(1 ? k 2 )? (1 ? k 2 )Δ ? . a2 a
2 (已

标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

知弦 中点

b 2 x0 求斜率:直线斜率 k ? ? 2 a y0
(3)焦点弦(过焦点的弦)

x2 y 2 AB 为 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 焦 点 弦 , a b

, )弦 中 点 M ( x0 , y0 ) , 则 弦 长 A( x x ,2 y 1 , y 1 ) ,B ( 2

l ? 2a ? e( x1 ? x2 ) ? 2a ? 2ex0 ,其中通径最短为 lmin ?
(4)相切问题:

2b 2 . a

x2 y 2 x0 x y0 y ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 ? 2 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 a b
若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
6.常见的问题 (1)平行四边形:对角线平分,对边平行相等等; (2)四点共圆:圆心到四点距离相等;对角互补等; (3)直径:垂直等; (4)面积问题:面积公式,分割等; (5)对称问题:垂直,平分; (6)角相等:角平分线定理,三角函数值相等,斜率相等等; (7)长度比:转化成坐标比. (一)双曲线 1.双曲线的定义:平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于定值 2 a ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) )的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 注意: (1) 2a ? F (2)去掉绝对值是什么轨迹?(3)定义作用。 1F 2 (若 2a ? F 1F 2 ? 2a ? F 1F 2 ?) 2. 双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)
65

图形

顶点 范围 对称轴 焦点 焦距 离心率

(? a, 0) ,右支和左支上到 F2 的最近点
x ? ?a或x ? a

(0, ? a)
y ? ?a或y ? a

x 轴, y 轴,实轴长为 2 a ,虚轴长为 2b , a ? b 时为等轴双曲线
F1 (?c,0), F2 (c,0)
F1 (0, ?c), F2 (0, c)

焦距为 F 1F 2 ? 2c(c ? 0),

c 2 ? a 2 ? b2

e? b a

c (e ? 1) a y?? a b

渐近线方程

y??

2b2 ? sin(? ? ? ) 2 焦点落在 x 轴上: PF1 ? PF2 ? ;e ? ; S ? b cot ; 2 1 ? cos ? sin ? ? sin ? 焦点三角形
P 在右支上, ?PF 1F 2 内切圆圆心轨迹方程为 x ? a( y ? 0, ?b ? y ? b)

3.直线与双曲线位置关系 (1)点与双曲线位置关系 (2)直线与双曲线位置关系: 相交:①有一个交点;②有两个交点:交于一支;交于两支。 相切:过平面上一点作双曲线的切线能作几条? 相离:渐近线; ? ? 0
66

(3)弦长公式 (4)中点弦问题 (5)切线方程,切点弦方程 (二)抛物线 1.抛物线定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦
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点,定直线 l 叫做抛物线的准线 (椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是一个
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(0,1) 内的常数 e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆;双曲线的第二定义:一动点到定点 F 的距离与到一条定直线 l 的
距离之比是一个 (1,??) 内的常数 e ,那么这个点的轨迹叫做双曲线.) 注意: (1)点 F 不在直线 l 上; (2)圆锥曲线定义的统一性; (3)定义的作用. 2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 图形
y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0) x2 ? 2 py( p ? 0) x2 ? ?2 py( p ? 0)

对称轴 焦点

x轴

x轴

y轴

y轴

F(
顶点 准线

p , 0) 2

F (?

p , 0) 2

F (0,

p ) 2

F (0, ?

p ) 2

原点(0, 0)

x??
离心率 范围 焦半径

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

e ?1

x?0
PF ? p ? x0 2

x?0
PF ? p ? x0 2

y?0

y?0

PF ?

p ? y0 2

PF ?

p ? y0 2

焦点弦弦长 公式

AB ? p ? ( x1 ? x2 )

AB ? p ? ( x1 ? x2 )

AB ? p ? ( y1 ? y2 )

AB ? p ? ( y1 ? y2 )

AB 是

过焦点的弦

3.若已知过焦点的直线倾斜角 ?

67

2p p ? ? 2p ? y ? k(x ? ) ? y1 ? y 2 ? 2 2 y? p ?0 ?? (1)则 ? k 2 ?y ? k 2 2 ? ? ? y ? 2 px ? y1 y 2 ? ? p

x1 x2 ?

p 4

? y1 ? y 2 ?

1 2p 4 p2 2p ? AB ? y1 ? y 2 ? ? 4 p2 ? 2 sin ? sin 2 ? sin ? k

(2) AB ? p ? ( x1 ? x2 ) ? 2x0 ? p ( x0 为中点横坐标) (3)通径: d ? 2 p (4)

1 1 2 ? ? (5) ?A1FB1 ? 90? AF BF P

(6)以 AF 为直径的圆与 y 轴相切.(7) A, O, B1 三点共线. 4.弦长公式 5.中点弦问题 6.切线方程,切点弦方程 7.定点问题

第三章:导数及其应用 基本理论
1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ,比值 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化率,即

?y ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有 ?x ?x ?x

极限, 我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 f (x) 在点 x 0 处的导数, 记作 f ?(x 0 ) 或 y? | x ? x 0 。 即 f(x 0 )= lim 注意: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: ① 求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ; ② 求平均变化率

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ?x ?0 ?x
?y ?y 有极限。如果 不存在极限,就说函数在点 x 0 处不 ?x ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = ;③ 取极限,得导数 f′ (x 0 )= lim ?x ?0 ?x ?x ?x
68

2.导数: 如果函数 f ( x ) 在开区间 (a,b) 内可导, 对于开区间 (a,b) 内的每一个 x0 , 都对应着一个导数 f ? ? x0 ? ,

这样 f ( x ) 在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新的函数叫做 f ( x ) 在开区间(a,b)内的导函数, 记作

f ? ? x ? ? y? ? lim

?x ?0

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?y ? lim ,导函数也简称为导数。 ? x ? 0 ?x ?x
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3.几何意义:是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率 因此,如果 y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线

y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 )
4.求导公式:(1) C ' ? 0 ; ( x )' ? nx
n n ?1

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; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x
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(ln x)' ?

1 1 ; (log a x)' ? log a e ; (e x )' ? e x x x
' ' '

(a x )' ? a x ln a

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(2) [u( x) ? v( x)] ? u ( x) ? v ( x) .

(3) [u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu ( x)]? ? Cu '( x) (5) [ f ( g ( x))]? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)

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? u ? u ' v ? uv ' (4) ? ? ? (v ? 0) v2 ?v?
5.函数的单调性与导数:

'

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' ' (1) 设函数 y ? f ( x) 在某个区间 (a, b) 可导, 如果 f ( x ) ? 0 , 则 f ( x) 在此区间上为增函数; 如果 f ( x) ? 0 ,

则 f ( x) 在此区间上为减函数。 (2)如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数。
'

上述结论可以改进为:f(x)在区间(a,b)上单调递增 ? f ( x) ≥0 在(a,b)上恒成立,且导数等于 0 的点是
/

离散的;f(x)在区间(a,b)上单调递减 ? f ( x) ≤0 在(a,b)上恒成立,且导数等于 0 的点是离散的。
/

注意逆向题要检验。 6.函数极值定义 (1)一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点。 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小 值点。极大值与极小值统称为极值 (2)判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且
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如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满 足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值. (3)求可导函数 f(x)的极值的步骤: 1 确定函数的定义区间,求导数 f′(x) ○
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2 求方程 f′(x)=0 的根 ○

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3 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值 ○ 的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如 果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值 7.函数的最大值与最小值: 在闭区间 a, b 上图像连续不断的函数 f ( x) 在 a, b 上必有最大值与最小值.
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? ?

? ?

利用导数求函数的最值步骤: 设函数 f ( x) 在在(a,b)内可导,在闭区间 a, b 上图像连续不断,求函数 f ( x) 在

?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下:

? ?

69

?求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; 一个是最小值。

?将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较,得出函数 f ( x) 在 a, b 上的最值,其中最大的一个是最大值,最小的

? ?

第二章 推理与证明 考点一 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理 ,叫做归纳推理,归 纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理, 叫做类比推理. 类比推理的一般步骤: (6) 找出两类事物的相似性或一致性; (7) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (8) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似, 那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (9) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法 (3) 它是一个递推的数学论证方法. (4) 步骤:A.命题在 n=1(或 n0 )时成立,这是递推的基础; B.假设在 n=k 时命题成立 C.证明 n=k+1 时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n>= n0 ,且 n ? N )结论都成立。 考点三 证明 2 反证法: 3 分析法: 4 综合法:

第一章 考点一:复数的概念 3 4 5 6 7 8

数系的扩充和复数的概念

复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. 分类:复数 a ? bi (a ? R, b ? R ) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做纯虚数. 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

考点二:复数的运算 1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 则
70

z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i z1 ? z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
z1 (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ? ( z2 ? 0) z2 c2 ? d 2
2,几个重要的结论 (1) | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) (2) z ? z ?| z |2 ?| z |2 (3)若 z 为虚数,则 | z |2 ? z 2 3.运算律 (1) z ? z ? z
m n m? n

;(2) ( z ) ? z
m n

mn

n ;(3) ( z1 ? z2 )n ? z1 ? z2n (m, n ? R)

4.关于虚数单位 i 的一些固定结论: (1) i ? ?1 (2) i ? ?i
2 3

(3) i ? 1
4

(2) i ? i
n

n?2

? i n ?3 ? i n ? 4 ? 0

高中数学
一.基本理论

选修 2-3 知识点

1.分类计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中 有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法
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2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不 同的方法,…,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法 3.排列与组合 (1)排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序 ..... 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ....
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(2)排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m
m 元素的排列数,用符号 An 表示。排列数两个公式为:

m An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) =

n! ? ( m, n ? N , m ? n ) (n ? m)!

(3)阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,规定 0! ? 1 . (4)组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m
71

个元素的一个组合。 (5)组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中
m m 取出 m 个元素的组 .合 .数 .. 用 符 号 C n 表 示 . 组 合 数 公 式 : Cn ?

Anm n( n? 1 ) (n ? ? 2) ? n( ? m ? m Am m!



1)

Cm n?

n! (n, m ? N ? , 且m ? n) 。 m!(n ? m)!

m n ?m m 0 m m?1 (6)组合数的性质 1: Cn .规定: Cn ? Cn ? 1 ;组合数的性质 2: Cn ?1 = C n + C n

一.基本理论
1.二项式定理:
0 n 1 n?1 r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) ,

2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做 (a ? b)n 的二项展开式。
r ②二项式系数:展开式中各项的系数 Cn (r ? 0,1, 2, ???, n) .

③项数:共 (r ? 1) 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式
r n ?r r r n?r r ④通项:展开式中的第 r ? 1 项 Cn a b 表示。 a b 叫做二项式展开式的通项。用 Tr ?1 ? Cn

3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有 (n ? 1) 项。 ②顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 (a ? b) 与 (b ? a) 是不同的。
n n

③指数: a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列。b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。各项的次数和等于 n .
0 1 2 r n ④系数: 注意正确区分二项式系数与项的系数, 二项式系数依次是 Cn , Cn , Cn , ???, Cn , ???, Cn . 项的系数是 a 与 b 的

系数(包括二项式系数) 。 4.常用的结论: 令 a ? 1, b ? x, 令 a ? 1, b ? ? x, 5.性质:
0 n k k ?1 ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 Cn , · · · Cn ? Cn ? Cn 0 1 2 r n ②二项式系数和:令 a ? b ? 1 ,则二项式系数的和为 Cn ? Cn ? Cn ??? Cn ? ?? Cn ? 2n , 1 2 r n 变形式 Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn ? 2n ?1 。 0 1 2 2 r r n n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? Cn x (n ? N ? ) 0 1 2 2 r r n n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ??? Cn x ? ?? (?1)n Cn x (n ? N ? )

72

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
0 1 2 3 n 在二项式定理中,令 a ? 1, b ? ?1 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? (?1)n Cn ? (1 ?1)n ? 0 ,
0 2 4 2r 1 3 2 r ?1 从而得到: Cn ? Cn ? Cn ??? ?Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ??? ?

1 n ? 2 ? 2n ?1 2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
0 n 0 1 n ?1 2 n?2 2 n 0 n ( a ? x ) n ? Cn a x ? Cn a x ? Cn a x ? ? ? Cn a x ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? ? ? an x n 0 0 n 1 2 2 n?2 n n 0 ( x ? a ) n ? Cn a x ? Cn ax n ?1 ? Cn a x ? ? ? Cn a x ? an x n ? ? ? a2 x 2 ? a1 x1 ? a0

令x ? 1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 令x ? ?1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ?② (a ? 1) n ? (a ? 1) n (奇数项的系数和) 2 (a ? 1) n ? (a ? 1) n ① ? ②得, a1 ? a3 ? a5 ? ? ? (偶数项的系数和) 2 ① ? ②得, a0 ? a2 ? a4 ? ? ?
⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数 n 是偶数时,则中间一项的二项式系数 C 取得最大值。
n ?1 n ?1 n 2 n

如果二项式的幂指数 n 是奇数时,则中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 同时取得最大值。 ⑥系数的最大项:求 (a ? bx)n 展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

r ? 1 项系数最大,应有 ? 为A 1, A 2 , ???, A n ?1 ,设第

? Ar ?1 ? Ar ,从而解出 r 来。 ? Ar ?1 ? Ar ? 2

第二章 随机变量及其分布 知识点:
1、随机变量: 如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示, 并且 X 是随着试验的结果的不同而变化, 那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ 、η 等表示。 2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按一定次序一 一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3、离散型随机变量的分布列: 一般地,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1 , x2 , ???, xi , ???, xn ,X 取每一个值 xi (i ? 1, 2, ???, n) 的概率

P( X ? xi ) ? pi ,则称以下表格
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

为随机变量 X 的概率分布列,简称 X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1) P i ≥ 0, i ? 1, 2, ???, n (2) p1 ? p2 ???? ? pn ? 1 1.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X 0 1
73

P

1-p

p

则称 X 服从两点分布,并称 p=P(X=1) 为成功概率. 2.超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件 ? X ? k? 发生的概率为:
k n?k CM CN ?M P( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2,3,..., m n CN

则随机变量 X 的概率分布列如下: X P 0
0 n ?0 CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN

… …

m
m n ?m CM CN ?M n CN

其中m ? min ?M , n?, 且n ? N , M ? N , n, M , N ? N * 。
注:超几何分布的模型是不放回抽样 (三)条件概率 一般地,设 A,B 为两个事件,且 P( A) ? 0 ,称 P( B | A) ? 率. 0 ≤ P( B | A) ≤1 如果 B 和 C 互斥,那么 P[( B ? C ) | A] ? P( B | A) ? P(C | A) (四)相互独立事件 设 A,B 两个事件,如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即 P( AB) ? P( A) P( B) ),则称事件 A 与 事件 B 相互独立。 即A、B相互独立 ? P( AB) ? P( A) P( B) 一般地, 如果事件 A1,A2,…,An 两两相互独立, 那么这 n 个事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积, 即 P( A 1A 2 ... A n ) ? P( A 1 ) P( A2 )...P( An ) . 注:(1)互斥事件:指同一次试验中的两个事件不可能同时发生; (2)相互独立事件:指在不同试验下的两个事件互不影响. (五)、n 次独立重复试验 一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中,记 Ai 是―第 i 次试验的结果‖,显然, P( A 1A 2 ??? A n ) ? P( A 1 ) P( A2 ) ??? P( An ) “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一:每次试验是在同样条件下进行; 第二:各次试验中的事件是相互独立的; 第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.
74

P( AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概 P( A)

n 次独立重复试验的公式:

一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次 独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为
k k k k n ?k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ? Cn p q , k ? 0,1, 2,..., n.(其中q ? 1 ? p) ,而称 p 为成功概率.

(六)、二项分布 一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ,k ? 0,1,2, ???, n

X P

0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

… …

k
k k n ?k Cn pq

… …

n
n n 0 Cn pq

此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X ~ B(n, p) ,并称 p 为成功概率. (七)、离散随机变量的均值(数学期望) 一般地,随机变量 X 的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

则称 E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 为 X 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 1.若 Y ? aX ? b ,其中 a,b 为常数,则 Y 也是变量 Y P

ax 1 ?b
p1

ax 2 ?b
p2

… …

axi ? b
pi

… …

ax n ?b
pn

则 EY ? aE ( X ) ? b ,即 E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b 2.一般地,如果随机变量 X 服从两点分布,那么

E ( X )=1? p ? 0 ? (1 ? p) ? p
即若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p 3.若 X ~ B(n, p) ,则 E( X ) ? np (八)、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量 x 的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

则称DX ? ( x1 ? E ( X ))2 p1 ? ( x2 ? E ( X )) 2 p2 ? ??? ? ( xn ? E ( X )) 2 pn为随机变量X 的方差. 并称 DX 为随机变量X 的标准差.
1.若 X 服从两点分布,则 D( X ) ? p(1 ? p)
75

2.若 X ~ B(n, p) ,则 D( X ) ? np(1 ? p) 3. D(aX ? b) ? a D( X )
2

15、正态分布: 若概率密度曲线就是或近似地是函数

f ( x) ?

? 1 e 2? ?

( x?? )2 2? 2

, x ? ( ?? ,?? )

(? ? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差. 的图像,其中解析式中的实数 ?、?
则其分布叫正态分布 记作:N (? , ? ) ,f( x )的图象称为正态曲线。 16、基本性质:

①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x=

? 时位于最高点.

③当时 x ? ? ,曲线上升;当时 x ? ? ,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向 它无限靠近. ④当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定. ? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散; ? 越小,曲线越“瘦 高” ,表示总体的分布越集中. ⑤当σ 相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ 来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于 1. 17、 3 ? 原则: 从上表看到,正态总体在 (? ? 2? , ? ? 2? ) 以外取值的概率 只有 4.6%,在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 以外取值的概

率只有 0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中 几乎是不可能发生的. 1.某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可以继续参加科目 B 的考试。每个科 目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书,现在某同学将要参加这项考试,已知

2 1 ,每次考科目 B 成绩合格的概率均为 。假设他在这项考试中不放弃所 3 2 有的考试机会,且每次的考试成绩互不影响,记他参加考试的次数为 X 。 (1)求 X 的分布列和均值;
他每次考科目 A 成绩合格的概率均为
76

(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。 2.济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4 个旅游景点,一位客人浏览这四个景点的概率分别是 0.3,0.4, 0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之 差的绝对值。 (1)求 ? =0 对应的事件的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望。

3. 袋子中装有 8 个黑球,2 个红球,这些球只有颜色上的区别。 (1)随机从中取出 2 个球, ? 表示其中红球的个数,求 ? 的分布列及均值。 (2)现在规定一种有奖摸球游戏如下:每次取球一个,取后不放回,取到黑球有奖,第一个奖 100 元,第 二个奖 200 元,?,第 k 个奖 k ? 100 元,取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球,按照这种规则,取球多 少次比较适宜?说明理由。

第三章 统计案例 知识点:
第六章 独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:―X 与 Y 有关系‖,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较精确地 给出这种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量 K^2 的值(即 K 的平方) K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中 n=a+b+c+d 为样本容量,K2 的值越大,说明―X 与 Y 有关系‖成立的可能性 越大。 K2≤3.841 时,X 与 Y 无关; K2>3.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K2>6.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关 第七章 回归分析

? ? a ? bx 回归直线方程 y

? xy ? n ? x? y ? ( x ? x )( y ? y ) SP 其中 b ? , ? ? 1 SS ( x ? x ) ? ? x ? n (? x )
2 2 2 x

1

a ? y ? bx

《2012 年高考数学总复习系列》高中数学选修 4-1 知识点总结
平行线等分线段定理 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质
77

相似三角形的判定: 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相 似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分 别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似。 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三 角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等, 那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个 三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形 的第三边。 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这两个直角 三角形相似。 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与 斜边的比例中项。 圆周定理 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1:圆的内接四边形的对角互补。 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段
78

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

《2012 年高考数学总复习系列》选修 4-4 数学知识点
一. 基本理论
(一)极坐标及参数方程知识点 1. 伸缩变换: 设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ? : ?

对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下, 点 P( x, y) ?y? ? ? ? y, (? ? 0).

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一个长度 单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示; 同时, 极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。

5.极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

6.直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴? ? ? 0 ⑵? ?

a cos ?

⑶? ? ?

a a ⑷? ? cos ? sin ?

⑸? ? ?

a sin ?



??
M(? , ?
?


a cos(? ? ? )

M

?
?

M

?
?

0

O

x

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?


M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
79

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

O

a ?? sin ?

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

7.圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a ? 0) : ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? )

a ?
?

M
?

M

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?
8.极坐标系中的点对称:

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

9. 极坐标系中的两点距离公式和三角形面积公式:

(二)参数方程 1. 参数方程的概念: 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

? x ? f (t ), ? y ? g (t ),

并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲 线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。
80

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2.圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? .

? x ? acos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
抛物线 y 2 ? 2 px 的参数方程可表示为 ?

? x ? 2 pt2 , (t为参数) . y ? 2 pt . ?
? x ? x o ? tcos ? , ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

3. 在建立曲线的参数方程时, 要注明参数及参数的取值范围。 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致. 4.过定点(x0,y0),倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)(此为标准式)

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. ①.设 A、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB,则 AB = t B ?t A =

(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .
②.线段 AB 的中点所对应的参数值等于

t A ? tB . 2

③ OA ? OB ? t A ? tB ④ OA ? OB ? t A ? tB (再用韦达定理判断 t A , tB 是否同号)

《2012 年高考数学总复习系列》高中数学选修 4--5 知识点
1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a
81

②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc
a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性)
a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b ? c d

n n ⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1)

n n ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1)

a?b?0?
⑧(倒数法则) 2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b



a ? b ? 2ab ? a,b ? R ?
2 2

,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
?

ab ?
变形公式:

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
2

变形公式:

a ? b? 2

ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3 ③(三个正数的算术—几何平均不等式)


a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a 若ab ? 0, 则 ? ? 2 a b ⑥ (当仅当 a=b 时取等号)
82

b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 a b (当仅当 a=b 时取等号) b b?m a?n a ? ?1? ? a a ? m b ? n b, ⑦ (其中 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0)
规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧
当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式

a ? b ? a ?b ? a ? b .

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? ?1 ?1 (a, b ? R? ,当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). 2 2 , ①平均不等式: a ? b
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式:
2 2 2 ? a?b ? a ?b ab ? ? ; a 2 ? b 2 ? ( a ? b) . ? ? 2 ? 2 ? 2 2

②幂平均不等式:

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式:

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? , ? ? ? ? k ? k 设 是两个向量,则 当且仅当 是零向量,或存在实数 ,使 时,等号成立.
⑧排序不等式(排序原理) : 设

a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为 两 组 实 数 . c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的 任 一 排 列 , 则

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和) ,当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和.
83

⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x ) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 则称 f(x)为凸(或凹)函数.

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法:

1 3 1 (a ? ) 2 ? ? (a ? ) 2 ; 2 4 2 ①舍去或加上一些项,如
②将分子或分母放大(缩小) ,

1 1 ? , 2 k k ( k ? 1) 如

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 2 k

?

2 1 2 ? ? , k? k k k ? k ?1

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) k k ? k ?1 等.
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) “? 或 ?” ? g ( x) ? 0 ( 时同理)
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解

?

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
84

?

?

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

?

?

规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ?当 a ? 1 时, a
f ( x)

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
f ( x)

?当 0 ? a ? 1 时, a

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

?当 a ? 1 时,

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

?当 0 ? a ? 1 时,

规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:

?a (a ? 0) a ?? . ??a (a ? 0) ?定义法:
?平方法:

f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x).

?同解变形法,其同解定理有: ① ② ③

x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0)

④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.
85

13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
2

?讨论 a 与 0 的大小; ?讨论 ? 与 0 的大小; ?讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ?不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ?? ?? ? 0. ②当 a ? 0 时
?不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ?? ?? ? 0. ②当 a ? 0 时
? f ( x)max ? a; ? f ( x) ? a 恒成立
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

? f ( x)min ? a; ? f ( x) ? a 恒成立
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
15、线性规划问题 ?二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所以,在实际判 断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点

Ax0 ? By0 ? C 的 正 负 即 可 判 断 出 ( x0 , y0 ) ( 如 原 点 ) ,由

Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区域.
即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的符号与不等式开口的符号,若同号, Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域.即:同号上方,异号下方. ?二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ?利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值:
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法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都在该公共 区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为目标函数 z 的最 大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线

l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域,将直线

l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即
可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法:

利用 z 的几何意义:

y??

A z z x? B B , B 为直线的纵截距.

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的纵截距最小 的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的纵截距最小 的角点处, z 取得最大值. ?常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;

z?
②“斜率”型:

y y ?b z? ; x或 x?a
x2 ? y 2 ;

2 2 z? ③“距离”型: z ? x ? y 或

2 2 z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) ? ( y ? b) .

在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.

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