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7.3(4)等比数列的前n项和(2)


资源信息表
标 题: 关键词: 7.3(4)等比数列的前 n 项和(2) 求和、归纳、推广、应用. 教学目标 1.准确、熟练、灵活运用等比数列前 n 项和的公式,并 能运用公式解决实际问题; 2. 形 成 观 察 、 归 纳 、 推 广 的 意 识 , 提 高 运 用 知 识 解 决 问 描 述: 题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法; 3.营造探究的气氛,激发求

知的欲望,逐步养成严谨的思 维习惯. 教学重点及难点 等比数列前 n 项和公式的应用 实际问题数学化 高 中 二 年 级 >数 学 第 学 科: 语 种: 一册>>7.3(4) 媒体格式: 教学设计.doc 学习者:

汉语

学生 高中教育>高中二年 资源类型: 文本类素材 教育类型: 级 作 者: 王升平 单 位: 上海市建平中学 地 址: 浦东新区崮山路 517 号(200135) Email: wang_sh_p@126.com

7.3(4)等比数列的前 n 项和(2)
上海市建平中学 王升平

一、教学内容分析 7.3(3)主讲等比数列求和公式的推导方法及基本应用,7.3(4) 重点讲公式的应用,突出求和公式在生活实际中的应用. 公式的回顾,从等比数列定义出发,挖掘等比数列的特点,强化 错位相减的目的性, 渗透 “类比” 、 “方程” 等数学思想方法;补充例 1, 加强公式的灵活运用,引导学生探究题目内在的特征,并进行归纳、 推广;补充例 2 把握准阅读理解,实施文字语言向数学语言的转化, 突破数学建模这一难关,使学生认识到数学源于实际,用于实际,不 断提高学习数学的兴趣. 二、教学目标设计 1.准确、熟练、灵活运用等比数列前 n 项和的公式,并能运用公式解 决实际问题; 2.形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗 透分类讨论、方程等数学思想方法; 3.营造探究的气氛,激发求知的欲望,逐步养成严谨的思维习惯. 三、教学重点及难点
等比数列前 n 项和公式的应用

实际问题数学化 四、教学用具准备 多媒体 五、教学流程设计

公式再现 (突出推导方法) 确 定 基 本 量 求 和 性质的 归纳、类 比推广

公式应用 (准确、熟练、灵 活)

运用公式解决实际问题 (突出数学建模方法)

课堂小结, 布置作业

六、教学过程设计

1.公式回顾
(1)等比数列前 n 项公式推导方法 ① 错位相减(突出错项相减的目的性) ② 方程思想 Sn ? a1 ? qSn?1 ? a1 ? q(Sn ? an ) (突出构造方程的思想) ③ 定义出发运用等比定理(突出转化思想) (2)公式的再认识
q ?1 ?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) q ?1 ? 1? q ?

①公式的形式(分类思想) ②公式的应用(方程思想) (3)巩固练习

①求和 1 ? ? ? ? ?

1 3

1 9

1 (突出项数变化) 3n

②求和 x ? 3x2 ? 5x3 ? ?(2n ?1) xn (培养观察的意识,突出分类思 想)

2.公式应用
例 1.已知等比数列 ?an ? 中, S4 ? ?20, S8 ? ?1640 ,求 S12 . 设问 1:能否根据条件求 a1 和 q ? 如何求? 一定要求 q 吗?(基 本量的确定) 设问 2:等比数列中每隔 4 项的和组成什么数列? (探究等比数列 内在的联系) 设问 3:若题变: 数列 ?an ? 是等比数列,且 Sn ? a, S2n ? b,(ab ? 0) 求 S3n
S2 n ? Sn b?a b ? a a 2 ? ab ? b2 n n ?q ? , S3n ? S2 n ? (S2 n ? Sn )q ? b ? (b ? a) ? Sn a a a

引导学生归纳:若 ?an ? 是等比数列,公比为 q,则每隔 n 项的和组成 一个首项为 Sn ,公比为 qn 的等比数列.(学生类比等差数列相关结 论) [说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量 a1 , q 然后再求和,其 次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推 广,注意培养学生思维的严谨性. 例 2.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为 6000 元的 电脑.商店规定,购买时先支付货款的 ,剩余部分在三年内按每 月底等额还款的方式支付欠款, 且结算欠款的利息.已知欠款的月 利率为 0.5% (1) 到第一个月底, 货主在第一次还款之前, 他欠商店多少 元? (2) 假设货主每月还商店 a 元,写出在第 i(i=1,2, ? 36)个 月末还款后,货主对商店欠款数的表达式. (3) 每月的还款额为多少元(精确到 0.01)? 引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样, 第 i 个月底还款后的欠款数 yi 与第 i-1 个月底还款后的欠款数 yi ?1 的关系是 yi ? yi ?1 (1 ? 0.05%) ? a ,(学生分析) 三年内还清转化为数学语言是: y36 ? 0 解 (1) 因 为 购 买 电 脑 时 , 货 主 欠 商 店
2 的货款,即 3 1 3

6000 ? =4000(元),又按月利率 0.5%到第一个月底的欠款数应为 4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为 4020 元. (2)设第 i 个月底还款后的欠款数为 y i ,则有 y 1 =4000(1+0.5%)- a y 2 =y 1 (1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) 2 - a (1+0.5%)- a y 3 =y 2 (1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) 3 - a (1+0.5%) 2 - a (1+0.5%)- a
??

2 3

y i =y i?1 (1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) i - a (1+0.5%) i ?1
- a (1+0.5%)
i ?2

- ? -a,

整理得 y i =4000(1+0.5%) i - a (3)因为 y 36 =0,所以 4000(1+0.5%) 36 - a 即每月还款数
a=
4000 1 ? 0.5%)36 ? 0.5% ( ? 121.69(元) (1 ? 0.5%)36 ? 1
(1 ? 0.5%) 36 ? 1 =0 0.5%
(1 ? 0.5%)i ? 1 .( i =1,2, ?, 36) 0.5%

所以每月的款额为 121.69 元. [说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准 确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第 i 个月末还款后欠款表达式”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型, 再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答.

3.课堂练习 1.如果将例 4 的还款期限从三年改为一年,其他条件不变, 那么每次付款额 a 将是多少? 2.一套住房的建筑面积为 100 平方米,房价为 9000 元/平方 米.买房者若先付房价的 ,其余款进行商业贷款,次月开始还贷 款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是 0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元)
数学建模的方法; 关注学生解题的规范性,准确度及速度.
1 3

4.课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)

(1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题; (2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.

5.作业 习题 7.3 习题 7.3

A 组 11 B组 9

12 10

七、教学设计思想 数列求和问题中,蕴涵着许多重要数学思想方法.如方程思想, 函数思想,递推,归纳,分类讨论等.数学教学既要使学生获得知识, 更重要的是通过知识获得的过程来发展学生的思维能力.等比数列 前 n 项和公式第(1)节课主要是公式的推导和基本应用,第(2)节课 侧重于公式的灵活应用及应用公式解决实际问题,该节内容是发展 学生应用能力、渗透数学思想方法的很好素材. 公式的回顾主要再现公式推导思路,强化方法,巩固练习突出项数 变化,分类讨论思想,补充的例 1 可以用通法先确定基本量再求和, 但根据该题的结构特点,教师为学生探究学习创设平台,鼓励学生发 现规律,推广结论,严格推理,使学生的思维向深层次发展;例 2 较 抽象, 教师设计了三个设问,教学生如何理解题意,把文字语言转 化为数学语言,把实际问题抽象成数学问题,把复杂问题转化成简单 问题,强化学生应用的意识.


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