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高中数学 第一章《1.3空间几何体的表面积与体积》练习1 新人教A版必修2


高中数学必修二第一章《1.3 空间几何体的表面积与体积》练习 1
1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面 积与侧面积的比是( (A) ).

1 ? 2? 2?

(B)

1 ? 4? 4?

(C)

1 ? 2?

?

(D)

1 ? 4? 2?

2.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去与 8 个顶点 相关的 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( ). (A)

2 3

(B)

3 4

(C)

4 5

(D)

5 6

3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是 6cm 和 8cm,高是 5cm, 则这个直棱柱的全面积是 。 4.已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为 1:2,则它 们的高之比为 。 5 .已知三 棱锥的三 条侧棱两 两互相垂 直,且长度分 别 为 1cm, 2cm, 3cm ,则此棱 锥的体 积 _______________。 6.矩形两邻边的长为 a 、 b ,当它分别绕边 a 、 b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比 为 。 1 7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的 ,经过这三点的小圆周 长为 4π , 6 则这个球的表面积为 。

B组 1.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H,则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面
积的比值是 。 2.半径为 R 的半球,一正方体的四个顶点在半球的底面上,另四个顶点在半球的球面上,则该正方 体的表面积是 。 3.如图,一个棱锥 S-BCD 的侧面积是 Q,在高 SO 上取一点 A,使 SA= 过点 A 作平行于底面的截面得一棱台,求这个棱台 的侧面积.

1 SO, 3

4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,边长 AB=a,且 PD=a,

PA=PC= 2 a,若在这个四棱锥内放一个球,求球的最大半径.

1

参考答案 A 组 1.答案:A 解:设展 开图的正方形边长为 a,圆柱的底面半径为 r,则 2π r=a, r ?

a2 a ,底面圆的面积是 , 4? 2?

a2 ? a2 1 ? 2? 于是全面积与侧面积的比是 2? 2 ,选 A. ? a 2?
2.答案:D 解:正方体的体积为 1,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是

1 1 1 1 1 1 1 5 ,于是 8 个三棱锥的体积是 ,剩余部分的体积是 ,选 D. ?( ? ? )? ? 3 2 2 2 2 48 6 6
3.答案:148 cm 解:底面菱形中,对角线长分别是 6cm 和 8cm,所以底面边长是 5cm, 2 2 侧面面积是 4×5×5=100cm ,两个底面面积是 48cm , 2 所以棱柱的全面积是 148cm . 4.答案:2 2 : 5 解:设圆柱的母线长为 l,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为 1: 2 ,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是
2

2? 4? 和 , 3 3 2? r l 2l 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 ? ? ,得 r1 ? , r2 ? , l 3 3 l l 2 ? ( )2 3 ?2 2. 所以它们的高的比是 2l 5 l 2 ? ( )2 3
3

5.答案:1cm 解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为 1cm,2cm 的两条) 确定的侧面看 作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积是 1 ,高为 3, 则它的体积是 6.答案:

1 3 ×1×3=1c m . 3

b a
2 2

解: 矩形绕 a 边旋转, 所得几何体的体积是 V1=π b a, 矩形绕 b 边旋转, 所得几何体的体积是 V2=π a b, 所以两个几何体的体积的比是

V1 ? b 2 a b ? ? . V2 ? a 2b a

7.答案:48π 解:小圆周长为 4π ,所以小圆的半径为 2,又这三点 A、B、C 之间距离相等, 所以每两点间的距离是 AB=BC=AC=2 3 , 又 A、B 之间的大圆劣弧长等于大圆周长的

1 ,所以 A、B 在大圆中的圆心角是 60°, 6
2

所以大圆的半径 R=2 3 ,于是球的表面积是 4π R =48π .

A

B 组 1.答案:1:9
H B F M E C G D 2 N

解:如图,不难看出四面体 EFGH 与四面体 ABCD 是相似的。所以关键是求出它们的相似比, 连接 AF、AG 并延长与 BC、CD 相交于 M、N, 由于 F、G 分别是三角形的重心,所以 M、N 分别是 BC、CD 的中点,且 AF:AM=AG:AN=2:3, 所以 FG:MN=2:3,又 MN:BD=1:2, 所以 FG:BD=1:3,即两个四面体的相似 比是 1: 3, 所以两个四面体的表面积的比是 1:9. 2.答案: 4R2 解:如图,过正方体的对角面 AC1 作正方体和半球的截面。 则 OC1=R,CC1=a,OC= 所以 a ? (
2

A1

C1

2 a, 2
A O C

2 2 2 a ) ? R 2 ,得 a2= R2, 2 3
2 2

所以正方体的表面积是 6a =4R . 3.解:棱锥 S-BCD 的截面为 B’C’D’,过 S 作 SF⊥B’C’,垂足为 F,延长 SF 交 BC 于点 E, 连结 AF 和 OE, ∵ 平面 BCD//平面 B’C’D’,平面 B’C’D’∩平面 SOE=AF,平面 BCD∩平面 SOE=OE, ∴ AF//OE ,于是

AF SA SF 1 1 ? ? ? ,即 SF ? SE,同理可得 OE SO SE 3 3

1 B ' C ' ? BC , 3 1 1 1 S?SBC , S?SB ' D ' ? S?SBD , S?SC ' D ' ? S?SCD , 9 9 9 1 8 ∴ S 棱锥 S-B’C’D’= Q,∴ S 棱台侧= Q. 9 9
∴ S?SB 'C ' ? 4.解:设放入的球的半径为 R,球心为 S,当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时,球的半径最大, 连结 SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,这些小棱锥的高均 为 R,底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系,得

R ( S?PAB ? S?PBC ? S?PCD ? S?PAD ? S? ABCD ) 3 R 2 2 2 2 1 2 1 2 ? ( a ? a ? a ? a ? a2 ) 3 2 2 2 2 R ? (2 ? 2)a 2 3 R 1 1 1 3 又 VP-ABCD= S 正方形 ABCD·PD= a ,∴ (2 ? 2)a 2 ? a3 , 3 3 3 3 2? 2 a, 解得 R= 2 2? 2 a. 故所放入的球的最大半径为 2 VP ? ABCD ?

3


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