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2015届北京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案(已解析)


2015 届北师大附中高三上期中考试理数试卷
一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分.请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中. ) 1、若集合 A ? x y ? 2 x ,集合 B ? x y ? x ,则 A. ? 0, ?? ? 【答案】C B. ?1,?? ? C. ?0,?? ?

?

?

/>?

?

A? B ?





D. ?? ?,?? ?

【解析】因为 A ? x y ? 2

?

x

所以 A ? B ? R ? x x ? 0 ? x x ? 0 , 故答案为:C 【考点】集合的运算 【难度】 1 2、下列有关命题的说法中错误的是 ( ) A.对于命题 P : ? x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 B. “ x ? 1 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C.命题“若“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” D.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 【答案】D 【解析】 A 选项:对于命题 P : ? x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 , 则 ?p : ?x ? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 故 A 为 真 命 题 ; B 选项: “ x ? 1 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件,故 B 为 真 命 题 ; C 选项: 命题 “若 “ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” , 则 x ?1” 的逆否命题为: “若 x ? 1 , 则 x2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” 故 C 为真命题; D 选 项 :若 p ? q 为 假 命 题 ,则 p, q 存 在 至 少 一 个 假 命 题 ,但 p, q 不 一 定 均 为 假 命 题,故 D 为假命题; 故答案为:D 【考点】简单的逻辑联结词;全称量词与存在性量词;充分条件与必要条件 【难度】2 3、曲线 y ? x ? 1 在点 (?1, 0) 处的切线方程为( ) A. 3 x ? y ? 3 ? 0 B. 3 x ? y ? 3 ? 0 C. 3 x ? y ? 0
3

?

? ?

? ? R, B ? ?x y ? x? ? ?x x ? 0?
?

D. 3 x ? y ? 3 ? 0

【答案】B 【解析】? y ? x3 ? 1,? y ' ? 3x 2 ,? y ' | x ?1 ? 3 ,? 曲线 y ? x ? 1 在点 (?1, 0) 处的切线的
3

斜率 k ? 3 ,? 切线方程为 3 x ? y ? 3 ? 0 . 故答案为:B 【考点】导数的概念和几何意义 【难度】 1 4、若 sin 2t ? A.

? 3

B.

? 2

,则 t=( ? cos xdx ,其中 t∈(0,π )
0

t

)

C.

2? 3

D. ?

【答案】C 【解析】? sin 2t ? , ? cos xdx ? ? sin x | ? ? sin t 且 t∈(0,π )
0 t 0 t

所以? sin 2t ? ? sin t ? 2 cos t ? ?1 故答案为:C 【考点】积分 【难度】 1

1 2? ?c o s t ? ? ?t ? . 2 3

5、已知 a ? 6, b ? 3, a ? b ? ?12 ,则向量 a 在 b 方向上的投影为( A. ?4 【答案】A B. 4 C. ?2 D. 2

?

?

? ?

?

?



? ? ? a ? b ?12 【解析】向量 a 在 b 方向上的投影为 a cos ? ? ? ? ? ?4 ,
b 3
故答案为:A 【考点】数量积的定义 【难度】 1

? ?

? ? ? ? ? a 6、设 x, y ? R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b // c ,则 ? b = (
A. 5 【答案】C B. 2 5 C. 10 D.10

)

【解析】 a ? c ? 2 x ? 1? ? ?4 ? ? 0 ? x ? 2 ; b / / c ? 1? ? ?4 ? ? 2 y ? 0 ? y ? ?2 . 则 a ? ? 2,1? , b ? ?1, ?2 ? ? a ? b ? ? 3, ?1? , 所以 a ? b ? 32 ? ? ?1? ? 10 .
2

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

故答案为:C 【考点】平面向量的的坐标运算 【难度】 1

7、 如图, 在△OAB 中, P 为线段 AB 上的一点,OP =x OA +y OB , 且 BP =2 PA , 则( A、x=

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

2 1 ,y= 3 3

B、x=

1 2 ,y= 3 3
??? ?

C、x=

1 3 ,y= 4 4
??? ?

D、x=

3 1 ,y= 4 4

【答案】A 【解析】由题可知 OP = OB + BP ,又 BP =2 PA ,

??? ?

??? ?

??? ?

? 2 ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? ? ??? 2 ??? 2 ??? BA = OB + ( OA - OB )= OA + OB , 3 3 3 3 2 1 所以 x= ,y= , 3 3
所以 OP = OB + 故答案为:A 【考点】平面向量的线性运算 【难度】 1 8、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?

??? ?

??? ?

?
2

)的图象如图

所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的图像(



? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移 【答案】A

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

【解析】由图可知, A ? 1, T ? 4?

2? ? 7? ? ? ?2, ? ? ? ? ,故 ? ? T ? 12 3 ?

由于 ?

? ? ?? ? ,0 ? 为五点作图的第三点,? 2 ? ? ? ? ? ,解得 ? ? , 3 3 ?3 ?
? ?

所以 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

??

?, 3?

将函数 f ( x) 的图象向右平移 得 y ? sin ?2? x ?

? 个单位长度 6

? ? ? ?

?? ??

? sin 2 x ? g ?x ? , ?? 6 ? 3? ?

故答案为:A 【考点】三角函数图像变换 【难度】 2 9、如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处 出发, 沿北偏东 60°方向进行海面巡逻, 当航行半小时到达 B 处时, 发现北偏西 45°方向有一艘船 C, 若船 C 位于 A 的北偏东 30°方向 上,则缉私艇所在的 B 处与船 C 的距离是( ) km A、5( 6 + 2 ) B、5( 6 - 2 ) C、10( 6 - 2 ) D、10( 6 + 2 ) 【答案】C 【解析】由题意知:∠BAC=60°-30°=30°, ∠ABC=30°+45°=75°, ∠ACB=180°-75°-30°=75°, ∴AC=AB=40×
2 2 2

1 =20(km).由余弦定理, 2

得 BC =AC +AB -2AC·AB·cos∠BAC 2 2 =20 +20 -2×20×20×cos30° =800-400 3 =400(2- 3 ), ∴BC= 400 2 ? 3 = 200

?

?

?

3 ?1

?

2

=10 2 ( 3 -1)=10( 6 - 2 )(km). 故答案为:C 【考点】解斜三角形 【难度】 2

10、若函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? 1 ? 1]上,

1 ,当 x∈[0,1]时, f ( x) ? x ,若在区间(-1, f ( x ? 1)
)

g ( x) ? f ( x) ? mx ? 2m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( 1 1 1 1 A、0<m≤ B、0<m< C、 <m≤l D、 <m<1 3 3 3 3
【答案】A 【解析】 g ( x) ? f ( x) ? mx ? 2m 有两个零点, 即曲线 y ? f ( x), y ? mx ? 2m 有两个交点. 令 x ? (?1, 0) ,则 x ? 1? (0,1) ,

1 1 ? x ? 1, f ( x) ? ?1 . f ( x) ? 1 x ?1 在同一坐标系中,画出 y ? f ( x), y ? mx ? 2m 的图象(如图所示) :
所以 f ( x ? 1) ?

直线 y ? mx ? 2m 过定点 (?2, 0) , 所以, m 满足 0 ? m ?

1 ? (?1) 1 ,即0 ? m ? , 3 1 ? (?2)

故答案为:A 【考点】零点与方程 【难度】 3 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、若 sin ? ? cos ? ? 【答案】 ?

1 ,则 sin 2? 的值是 2

.

3 4
1 得: 2

【解析】由 sin ? ? cos ? ?

? sin ? ? cos ? ?
故答案为: ?

2

?

1 1 3 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ? sin 2? ? ? 4 4 4

3 4

【考点】恒等变换综合 【难度】 1 2 12、若扇形的周长是 8cm,面积 4cm ,则扇形的圆心角为 【答案】2 【解析】设扇形的圆心角为 ? ,半径为 R ,

rad.

则 ?1

? ?2R ? R? ? 8 ?? ? 2 ?? ?R 2 ? 4 ?R ? 2 ? ?2

故答案为:2 【考点】任意角和弧度制 【难度】 1 13、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 则? ? 【答案】

?
6

)(? ? 0) 在 (0,

4? 4? ) 上单调递增,在 ( , 2? ) 上单调递减, 3 3

1 2

【解析】因为函数 f ( x) ? sin(? x ? 在 (0,

?
6

)(? ? 0)

4? 4? ? 4? ? ) 上单调递增,在 ( , 2? ) 上单调递减,所以 f ? ? ? 1, 3 3 ? 3 ? 4? ? ? 3k 1 所以 ? ? ? ? 2 k? ? ? ? ? ? ,k ?Z , 3 6 2 2 2 1 4? 4? 经检验 ? ? 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , 2? ) 上单调递减. 2 3 3 1 所以 ? ? . 2 1 故答案为: 2
【考点】三角函数的的图像与性质 【难度】 2 14 、 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 0 , 函 数 y ? f ( x ? 1) 关 于 点 (1,0) 对 称 , f (2) ? 4 ,则 f (2014 ) ? _________. 【答案】 ?4 【解析】由于 f ?x ? ? ? f ?x ? 6? ,

? f ?x ? 12? ? f ??x ? 6? ? 6? ? ? f ?x ? 6? ? f ?x? ,
故函数的周期为 12, 把函数 y ? f ?x ? 的图象向右平移 1 个单位,得 y ? f ?x ? 1? , 因此 y ? f ?x ? 的图象关于 ?0,0? 对称,为奇函数,

? f ?2014? ? f ?167?12 ? 10? ? f ?10? ? f ?10 ?12? ? f ?? 2? ? ? f ?2? ? ?4 ,
故答案为: ?4 【考点】函数综合 【难度】 2 15、 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D ,若 函 数 y ? f ( x) 满 足 下 列 两 个 条 件 ,则 称 y ? f ( x)

在 定 义 域 D 上 是 闭 函 数 . ① y ? f ( x ) 在 D 上 是 单 调 函 数 ; ② 存 在 区 间 ? a, b ? ? D , 使 f ( x ) 在 ? a, b ? 上 值 域 为 ? a, b ? . 如 果 函 数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? k 为 闭 函 数 , 则 k 的 取 值 范 围 是 _______ 【答案】 ( ?1, ? ]

1 2

【解析】若函数 f ( x)= 2 x ? 1 ? k 为闭函数,则存在区间 [ a, b] , 在区间 [ a, b] 上,函数 f ( x ) 的值域为 [ a, b] , 即?

? ? a ? 2a ? 1 ? k ? ?b ? 2b ? 1 ? k
2

,? a , b 是方程 x ? 2x ? 1 ? k 的两个实数根,
2

即 a , b S 股方程 x ? (2k ? 2) x ? k ? 1 ? 0( x ?

1 , x ? k ) 的两个不相等的实数根, 2

? ?? ? [?(2k ? 2)]2 ? 4(k 2 ? 1) ? 0 ? 1 1 ? 1 1 1 当 k ? 时, ? f ( ) ? ? (2k ? 2) ? k 2 ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? k ? , 2 2 ? 2 4 2 2 k ? 2 ? ?k ? ? 2 ? ?? ? [?(2k ? 2)]2 ? 4( k 2 ? 1) ? 0 ? 1 2 2 当 k ? 时, ? f (k ) ? k ? (2k ? 2) k ? k ? 1 ? 0 ,无解。 2 ? 2k ? 2 ? ?k ? 2 1 故 k 的取值范围是 ( ?1, ? ] 2 1 故答案为: ( ?1, ? ] 2
【考点】函数综合 【难度】 3 三、解答题(共 75 分)

16、已知 | | a ? 4,|b| ? 3,(2a-3b) ? (2a ? b) ? 61,

?

?

?

?

? ?

| a?b | (1)求 a ? b 的值; (2)求 a与b 的夹角 ? ; (3)求 的值. 【答案】见解析 【解析】
(1)由 | | a ? 4,|b| ? 3,(2a-3b) ? (2a ? b) ? 61得: a ? b = (2) 由 a ? b =

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

-6 。

? ?

-6 且 | | a ? 4,|b| ? 3. 得 cos ? ? ?

?

?

1 2

所以 ? =

2? 。 3

| a?b | (3) = a ? 2a ? b ? b ? 16 ? 12 ? 9 ? 13
【考点】平面向量的线性运算 【难度】2 17、已知 a ? (sin x,1) , b ? (cos x, ? ) ,若 f ( x) ? a ? (a ? b) ,求: (1) f ( x ) 的最小正周期及对称轴方程. (3)当 x ? [0, (2) f ( x ) 的单调递增区间.

? ?

?2

? ? ?2

?

?

1 2

? ? ?

?
2

] 时,函数 f ( x) 的值域.

【答案】见解析 【解析】

(1)? a ? (sin x,1) , b ? (cos x, ? ) ,? a ? b ? (sin x ? cos x, )

?

?

? ? ? 3 3 ? f ( x) ? a ? (a ? b) ? sin x(sin x ? cos x) ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 2 2 1 ? cos 2 x 1 3 1 2 ? ? ? sin 2 x ? ? 2 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 4 2? 2? ? ? ? ? ? ,令 2 x ? ? ? k? (k ? Z ) , 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? w 2 4 2 ? k? ? k? (k ? Z ) ,所以函数 f ( x) 对称轴方程为 x ? ? (k ? Z ) 解得 x ? ? 8 2 8 2 2 ? (2)因为 f ( x) ? 2 ? sin(2 x ? ) , 2 4
所以函数 f ( x ) 的单调增区间为函数 y ? sin(2 x ? 令

1 2

? ?

3 2

?

?
2

4 5? ? k? ( k ? Z ) , 即得 ? k? ? x ? 8 8

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

?

3? ? 2 k? ( k ? Z ) , 2

4

) 的单调减区间,

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 [ (3)令 2 x ?

?

8

? k? ,

5? ? k? ](k ? Z ) 8

? 5? 2 ? 5? ? t ? [ , ] ,所以原式化为 f (t ) ? 2 ? sin t ( ? t ? ) , 4 4 4 2 4 4 ? 5? 2 2 5 ] ,所以 ? 当 t ?[ , ? sin t ? 1 ,即得 2 ? ? f (t ) ? , 4 4 2 2 2 ? 2 5 所以函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 的值域为 [2 ? , ]. 2 2 2 ?
【考点】三角函数综合 【难度】3 18、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ?

? . 3

(1)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (2)若 sin B ? 2 sin A ,求 △ ABC 的面积. 【答案】见解析 【解析】
2 2 (Ⅰ)由余弦定理得, a ? b ? ab ? 4 ,

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 .

(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b ? 2a , 联立方程组 ?

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . ab sin C ? 2 3

【考点】正弦定理;余弦定理;解斜三角形. 【难度】3 19、某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为 60 海里/小时, 甲地至乙地之间的海上航行距离为 600 海里,每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成, 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比,比例系数为 0.5,其它费用为每小时 1250 元. (1)请把全程运输成本 y (元)表示为速度 x (海里/小时)的函数,并指明定义域; (2)为使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶? 【答案】见解析 【解析】 (1)由题意得: y ? 600 (1250 ? 0.5 x 2 ) ? 750000 ? 300 x , x x 750000 即: y ? ? 300 x (0 ? x ? 60) x (2)由(1)知, y ' ? ? 750000 ? 300, x2 令 y ' ? 0 ,解得 x ? 50 ,或 x ? ?50 (舍去) . 当 0 ? x ? 50 时, y ' ? 0 ,当 50 ? x ? 60 时, y ' ? 0 , 因此,函数 y ? 750000 ? 300 x ,在 x ? 50 处取得极小值,也是最小值. x 故为使全程运输成本最小,轮船应以 50 海里/小时的速度行驶. 【考点】函数模型及其应用 【难度】4
x 20、已知函数 f ( x) ? ?( x ? 2)( x ? m) (其中 m ? ?2 ) . g ( x) ? 2 ? 2 .

(1) 命题 p : f ( x) ? 0 , 命题 q : g ( x) ? 0 , 若 p 是 q 的充分非必要条件, 求 m 的取值范围; (2)设命题 p :?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;命题 q :?x ? (?1,0) , f ( x) ? g ( x) ? 0 . 若 p ? q 是真命题,求 m 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】
(1)略 (2)因为

p ? q 是真命题,则 p 和 q 都为真命题. 法一:因为 p 是真命题,则 g ( x) ? 0 的解集的补集是 f ( x) ? 0 解集的子集; q 是真命题,则 f ( x) ? 0 的解集与 (?1, 0) 的交集非空.

? 2 ? 0 ,则 x ? 1 .又∵ ?x ? R , g ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0 , ∴ [1, ??) 是 f ( x) ? 0 的解集的子集. 又由 f ( x) ? ?( x ? 2)( x ? m) ? 0 (其中 m ? ?2 ), 解得得 x ? ?2 或 x ? m , 因此 m ? 1 . x ②∵当 x ? (?1, 0) 时, g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 , ∴问题转化为 ?x ? (?1,0) ,使得 f ( x) ? 0 , 即 f ( x) ? 0 的解集与 (?1, 0) 的交集非空. 即 (?2, m) ? (?1, 0) ? ? ,则 m ? ?1 ,
①若 g ( x) ? 2
x

综合①②可知满足条件的 m 的取值范围是 ?1 ? 法二:当 x 当 ?1 ?
x

m ?1

? 1 时, g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,因为 p 是真命题,则 f ( x) ? 0 , ? f (1) ? ?(1 ? 2)(1 ? m) ? 0 ,即 m ? 1 ,

x ? 0 时, g ( x) ? 2x ? 2 ? 0 , 因为 q 是真命题,则 ?x ? (?1,0) ,使 f ( x) ? 0 , ? f (?1) ? ?(?1 ? 2)(?1 ? m) ? 0 ,即 m ? ?1 综上所述, ?1 ? m ? 1 .
【考点】函数综合 【难度】 21、设函数 f ( x ) 定义在 (0, ?? ) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ?( x) ? (Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (Ⅲ)是否存在 x0 ? 0 ,使得 g ( x ) ? g ( x0 ) ? 值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】见解析 【解析】
(Ⅰ)由题知

1 , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x). x

1 x

1 对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x0 的取 x

f ( x) ? ln x , g ( x) ? ln x ?

? g '( x ) ?

x ?1 ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , x2 当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 ,故(0,1)是 g ( x ) 的单调减区间, 当 x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0 ,故 (1, ??) 是 g ( x ) 的单调增区间, 因此, x ? 1 是 g ( x ) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以最小值为 g (1) ? 1 .
(Ⅱ) g ( 1 ) ? ? ln x ? x ,设 h( x) ? g ( x) ? g ( 1 ) ? 2 ln x ? x ? 1 , x x x 则 h '( x) ? ? ( x ? 1) ,
2

1 , x

x

2

1 ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) ,当 x x ? (0,1) ? (1, ??) 时 h '( x) ? 0 , h '(1) ? 0 , 因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减,
当x

1 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , x 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( 1 ) .
当0 ? (Ⅲ)满足条件的 x0 不存在.证明如下: 证法一 假设存在 x0
x

即对任意 x

?

,使 | g ( x ) ? g ( x ) |? 1 对任意 x 0 x 0 ,有 Inx ? g ( x0 ) ? Inx ? 2 (*) x

?0

?0

成立,

但对上述 x0 ,取 x1

? eg ( x0 ) 时,有 Inx1 ? g ( x0 ) ,这与(*)左边不等式矛盾,

因此,不存在 x0 证法二

?0

,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

1 对任意 x ? 0 成立。 x

假设存在 x0
g ( x0 )

? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |?
的最小值为 g ( x) ? 1 。

1 x

对任意的 x

? 0 成立。

由(Ⅰ)知, e

1 又 g ( x) ? Inx ? ? I nx ,而 x ? 1 时, Inx 的值域为 (0, ??) , x


x ?1

时, g ( x ) 的值域为 [1, ??) ,

? 1 ,使 g ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 1 , 即 g ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 1 , 故 | g ( x1 ) ? g ( x0 ) |? 1 ? 1 ,与假设矛盾。
从而可取一个 x1

x1

∴ 不存在 x0

?0

,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

1 对任意 x ? 0 成立。 x

【考点】导数的综合运用 【难度】4


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