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吉林省实验中学2018届高三下学期第九次模拟考试数学(文)试题+Word版含答案


吉林省实验中学 2017-2018 学年下学期高三第九次月考 数学文科
2018.5.15

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A= x x ? 1? , B ? x x(x ? 3) ? 0 ,则 A ? B ? ( A. (?1, 0) 2.已知复数 z ? A. 1 B. (0,1) C. (?1,3)

?

?

?



D. (1,3) )

2i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为( 1? i
B. ?1 C. i D. ?i

2 2 3.“ b ? 2 ”是“直线 y ? x ? b 与圆 x ? y ? 1有公共点”的(

) D. 既

A. 充分而不必要条件 不充分也不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题: “三百七十八里关,出行健步不为难, 次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一 个人走了 378 里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走 了 6 天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为( A. 24 里 B. 48 里 C. 96 里 D. 192 里 )

5. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物.根据某地某 日早 7 点到晚 8 点甲、乙两个 PM 2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶 图如图所示,则甲、乙两地 PM 2.5 的方差较小的是( )

A.甲

B.乙

C. 甲、乙相等

D.无法确定 )

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

1

A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

7. .执行下面的程序框图,若输入 S , a 的值分别为 1,2,输出的 n 值为 4,则 m 的取值范围为 ( )

A. 3 ? m ? 7

B. 7 ? m ? 15

C. 15 ? m ? 31

D. 31 ? m ? 63 )

8.已知 x ? 0, y ? 0,lg 2x ? lg8 y ? lg 4 ,则

1 1 ? 的最小值是( x 3y
D. 2 3

A. 4

B. 2 2

C. 2

?3x ? y ? 3 ? x ? 2 y ? ?4 ? 9.设不等式组 ? 表示的平面区域为 M , 在 M 内任取一点 P(x, y) ,x ? y ? 1 的 ?x ? 0 ? ?y ? 0
概率是( A. ) B.

1 7

2 7
4

C.

3 7

D.

4 7

10.已知向量 a ? (sin ( )

x x , cos 4 ) ,向量 b ? (1,1) ,函数 f (x) ? a b ,则下列说法正确的是 2 2

2

A. f (x) 是奇函数 C. f (x) 的最小正周期为 2?

B. f (x) 的一条对称轴为直线 x ?

?

4 ? ? D. f (x) 在 ( , ) 上为减函数 4 2

11.抛物线 C : y 2 ? 2 px(p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 且倾斜角为 60 的直线为 l , M (?3,0) , 若抛物线 C 上存在一点 N ,使 M , N 关于直线 l 对称,则 p ? ( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 )

12.定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x ? 1) ? ? f(x) ,当 x ??0,1? 时, f (x) ? ?2 x ? 1 ,设 函数 g(x) ? ? ? A. 3

?1? ?2?

x ?1

(?1 ? x ? 3) ,则函数 f (x) 与 g(x) 的图象交点个数为(
C. 5 D. 6



B. 4

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科 A, B, C, 已知: ①甲不在哈尔滨工作,乙不在长春工作;②在哈尔滨工作的教师不教 C 学科; ③在长春工作的教师教 A 学科;④乙不教 B 学科. 可以判断乙教的学科是 .

14.设直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有顶点都在一个球面上,且球的表面积是

40?,AB ? AC ? AA1, ?BAC ? 120 ,则此直三棱柱的高是
15.已知点 F 1 (? c,0), F 2 (c,0)(c ? 0) 是椭圆



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 是这 a 2 b2

个椭圆上位于 x 轴上方的点,点 G 是 ?PF1F2 的外心,若存在实数 ? ,使得

GF1 ? GF2 ? ?GP ? 0 ,则当 ?PF1F2 的面积为 8 时, a 的最小值为



3 16.已知 y ? f (x)(x ? R) 的导函数为 f '(x) ,若 f (x) ? f (? x) ? 2 x 且当 x ? 0 时

f '(x) ? 3x2 ,则不等式 f (x) ? f (x?1) ? 3x2 ? 3x ? 1 的解集是



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

3

算步骤.)
17.已知 ?ABC 三个内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若

(a ? c)(sinA? sinC) ? b(sinA? sinB) .
(1)求角 C ; (2)若 ?ABC 的外接圆半径为 2 ,求 ?ABC 周长的最大值. 18. 近年电子商务蓬勃发展,2011 年某网购平台“双 11”一天的销售业绩高达亿元人民币, 平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统,从该评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为 0.70 ,对快递的满意率为

0.60 ,其中对商品和快递都满意的交易为 80 次.
(1)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并回答是否有 99% 的把握认为“网购者对商 品满意与对快递满意之间有关系”? 对快递满意 对商品满意 对商品不满意 合计 对快递不满意 合计

80

200

(2)为进一步提高购物者的满意度,平台按分层抽样方法从中抽取 5 次交易进行问卷调查, 详细了解满意与否的具体原因,并在这 5 次交易中再随机抽取 2 次进行电话回访,听取购物 者意见.求电话回访的 2 次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率. 附: K =
2

n(ad? bc)2 (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量) (a ? b)(c? d)(a ? c)(b? d)
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010

P(K 2 ? k )
k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

19.如图,边长为 2 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,其中

AB / / CD, AB ? BC , DC ? BC ?

1 AB ? 1 ,点 M 在线段 EC 上. 2

4

(1)证明:平面 BDM ? 平面 ADEF ; (2)判断点 M 的位置,使得三棱锥 B ? CDM 的体积为

2 . 18

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 y ? x 交椭圆 C 于 A、B 两 2 a b 2

点,椭圆 C 的右顶点为 P ,且满足 PA ? PB ? 4 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) 与椭圆 C 交于 M 、N 不同两点,且定点 Q(0, ? ) 满 足 MQ ? NQ ,求实数 m 的取值范围. 21.已知函数 f (x) ?

1 2

ln x . x

(1)求函数 f (x) 的极值点; (2)设 g (x) ? xf (x) ? ax ?
2

ln 2 a (a ? 0) ,若 g (x) 的最大值大于 ? 1 ,求 a 的取值范围. 2 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为: ?

? ? x ? ? 6 ? 2t ? ? y ? 2 6 ? 2t

( t 为参数).在极坐标

系(与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且原点为极点,以轴 x 正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 ? ? 4 6 cos ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,求 AB 的大小.

5

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x) ? log2 ( x ? 2 ? x ? 2 ? m) . (1)当 m ? 8 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f (x) ? 1 的解集是,求 m 的取值范围.

6

吉林省实验中学 2017-2018 学年下学期高三第九次月考 数学文科答案
1. C 2.B 3. C. 4. C. 5. A 6. D 7. A 8. C 9. B 10. D 11. A 12. B 13. C 一、解答题 17(1)由正弦定理得 ? a ? c ?? a ? c ? ? b ? a ? b ? ,
2 2 2 ∴ a ? c ? ab ? b ,∴

14. 2 2

15. 4 16. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

a 2 ? b2 ? c2 1 1 ? ,即 cosC ? 2 2ab 2

因为 0 ? C ? ? ,则 C ?

?

3 c b a ? ? ?4 (2)由正弦定理 2r ? sinC sinB sinA
∴ a ? 4sinA , b ? 4sinB , c ? 4sinC ? 2 3 , ∴周长 l ? a ? b ? c

.

? 2? ? ? 4sinA ? 4sinB ? 2 3 ? 4sinA ? 4sin ? ? A? ? 2 3 ? 3 ? ? 4sinA ? 4 ? 3 1 cosA ? 4 ? sinA ? 2 3 ? 6sinA ? 2 3cosA ? 2 3 2 2

?? ? ? 4 3sin ? A ? ? ? 2 3 6? ?
∵ A ? ? 0, ∴当 A ?

? ?

2? 3
?

? ? ? 5? ? ? ? ,∴ A ? ? ? , ? 6 ?6 6 ? ?
? ?
2
即A?

?
6

?
3

时 lmax ? 4 3 ? 2 3 ? 6 3

∴当 A ? B ?

3

时, ?ABC 周长的最大值为 6 3 .

18. (1) 2 ? 2 列联表: 对快递满意 对商品满意 对快递不满意 合计

80

60

140
7

对商品不满意 合计

40
120

20
80
2

60
200

K ?
2

200 ? ?80 ? 20 ? 40 ? 60 ? 140 ? 60 ?120 ? 80

?

100 ? 1.587 , 63

由于 1.59 ? 6.635 ,所以没有 99% 的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关 系”. (2)根据题意,抽取的 5 次交易中,对商品和快递都满意的交易有 2 次记为 AB,其余 3 次 不是都满意的交易记为 123.那么抽取 2 次交易一共有 10 种可能,其中 2 次交易对商品和快 递不是都满意的有 3 种:.所以,在抽取的 2 次交易中,至少一次对商品和快递都满意的概 率是 P ?

10 ? 3 7 ? . 10 10

19.(Ⅰ)由题意结合勾股定理可得 AD⊥BD,由面面垂直的性质可得 BD⊥ED,据此可得 BD⊥平面 ADEF,故平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)在平面 DMC 内,过 M 作 MN⊥DC,垂足为 N,转换顶点,VB﹣CDM=VM﹣CDB,据此可得

MN ?

1 2 ,利用相似三角形的性质可得 CM ? CE ,即点 M 在线段 CE 的三等分点且靠 3 3

近 C 处. 试题解析: (Ⅰ)∵DC=BC=1,DC⊥BC, ∴BD= ,∵AD= ,AB=2,∴AD2+BD2=AB2 ,∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BD,∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,ED⊥AD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, ∴ED⊥平面 ABCD,∴BD⊥ED,∵AD∩DE=D,∴BD⊥平面 ADEF, ∵BD?平面 BDM,∴平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)如图,在平面 DMC 内,过 M 作 MN⊥DC,垂足为 N,则 MN∥ED, ∵ED⊥平面 ABCD,∴MN⊥平面 ABCD,

∵VB﹣CDM=VM﹣CDB=



∴ × ×1×1×MN= ,∴MN= ,∴ ∴点 M 在线段 CE 的三等分点且靠近 C 处.

= ,∴CM= CE,

8

20. (1)∵ PA ? PB ? 2 PO ? 2a ? 4 , ∴ a ? 2 ,又

c 3 ? a 2

∴ c ? 3 ,∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

y ? kx ? m
(2)由 { x 2

4

? y ?1
2

消去 y 整理得:

? 4k

2

? 1 x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ,

?

∵直线与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,
2 2 2 2 ∴ ? ? 64k m ? 4 4k ? 1 4m ? 4 ? 0 ,

?

??

?

2 2 整理得 4k ? m ? 1 . 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

?8km , 4k 2 ? 1

又设 MN 中点 D 的坐标为 ? xD , yD ? ,

?4k 2 m m x1 ? x2 ?4km ? 2 ?m? 2 ∴ xD ? , yD ? kxD ? m ? . 2 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1
yD ? 1 2 ??1, xD k

∵ MQ ? NQ ,∴ DQ ? MN ,即

∴ 6m ? 1 ? 4k ,∴ {
2

6m ? 1 ? 0 1 ?1 ? ,解得 ? m ? 6 .∴实数 m 的取值范围 ? , 6 ? . 2 6 6m ? 1 ? m ? 1 ?6 ?
f ?? x? ? 1 ? lnx ,令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? e x2

? ?) 21. (1) 定义域为(0,

? x ? ? 0, e? , f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增;x ? ? e, ??? , f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减 ? f ? x ?的极大值点为x ? e, 无极小值点
2 (2) g ? x ? ? lnx ? ax ?

1 1 ? 2ax 2 ln2 ( x ? 0, a ? 0) ? a ? 0 ? , g ? ? x ? ? ? 2ax ? 2 x x

令 g? ? x ? ? 0 ,得 x ?

1 2a

1 ? ? ? 1 ? x ? ? 0, , ?? ? , g ? ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递减 ? , g ? ? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增;x ? ? 2a ? ? ? 2a ?
9

1 ln2 1 ? 1 ? ? 1 ? ? g ? x ?max ? g ? ? ? ln ? ? ? a ? 2a ? 2 ? ? 2 ? lna ? 1? ? 2a ? ? 2a ?
1 a ? lna ? 1? ? ? 1 ,得 lna ? a ? 1 ? 0 2 2 1 令 h ? a ? ? lna ? a ? 1, h? ? a ? ? ? 1 ? 0, h ? a ? 单调递增 , a
由 g ? x ?max ? ? 而 h ?1? ? 0 ?h ? a ? ? 0时,a ? ? 0,1?

22. (1)等式两边同时乘以 ,根据

即可得圆 的直角坐标方程; (2)将直线 的 结合韦达定理可得

参数方程代入圆 的方程,根据参数方程的几何意义 结果. 试题解析: (1)由 ,得圆 的直角坐标方程为:

.

(2)将直线 的参数方程代入圆 的方程可得:

整理得:



根据参数方程的几何意义,由题可得: . 23: (1)由题意 ,

令 解得 x ? 4或x ? ?4 , ∴函数的定义域为 {x | x ? 4 或 x ? ?4? . (2) f ? x ? ? 1 ,∴ 即



, 解集是 R ;则 ,故 .

1.北京市海淀区 2018 届高三第一学期期末数学试题(理科) 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中:

10

①三棱锥的体积为 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是 所有正确的说法是
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③

(

)

2.吉林省实验中学 2018 届高三年级第五次模拟考试数学试题(理科)
如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接 球的表面积是

A.

B.

C.

D.

3.2018 学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数学(理)
一个直三棱柱的三视图如图所示,其中俯视图是一个顶角为 柱外接球的体积为( )

2? 的等腰三角形,则该直三棱 3

11

A.

20 5 ? 3

B.

20 ? 3

C.

25?

D. 25 5?

4.哈尔滨市第六中学校 2017-2018 学年度下学期模拟考试高三理科数学
如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的表面积为( A.96 C. 80 ? 4 2? ) B. 96 ? 4

? 2 ?1?? D. 96 ? 4 ? 2 2 ? 1? ?

5. 师大附中 2018 届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学
一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

A.

32 3 16? + 3 3

B. 8 3 ?

16 ? 3

C.

32 3 ? 6? 3

D. 8

3 ? 6?

12

6.

7. 东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)
2018 届高三第二次模拟考试数学(理)试题
《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ,已知某“堑堵”的三视 图如图所示,则该“堑堵”的外接球的表面积为( )

A.

8 3? 3

B. 8?

C. 6?

D.

4 3? 3

8. 2018 年江西师大附中高三年级数学(理)模拟试卷
如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积 为( )

16 π 3 17 π C. 3
A.

11 π 2 35 π D. 6
B.

13

9.淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试试题数
一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体 的体积为 A.

学(理)2018.5

28 3

B.

28 2 3

C. 28

D. 22 ? 6 3

10.陕西师大附中 2018 届高考模拟联考试题数学(理)
某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,其俯视图为等边三角形,则该几何体的体 积(单位: cm )是(
3



A. 4 3

B.

10 3 3

C. 2 3

D.

8 3 3

11.石家庄市 2018 届高中毕业班模拟考试理科数学 2018.5.14
正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为棱 BB1 的中点,用过点A、E、C1的平面截去该正方体 的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是
A D B

C

E

A1 D1 C1

B1

14



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