tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

7.3 向量的内积


第七章

平面向量

7.3 向量的内积

创设情境

兴趣导入

如图7-21所示,水平地面上有一辆车,某人用100 N的力, 朝着与水平线成 30 ? 角的方向拉小车,使小车前进了100 m. 那么,这个人做了多少功? 做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积.力F是水平方

向的力 与垂直方向的力的和,垂直方向上 没有产生位移,没有做功,水平方向 上产生的位移为s,即
3 10=500 3. W=|F|cos30° · |s|=100×2 ·

F O s

图7—21

动脑思考

探索新知

3 10=500 3. W=|F|cos30° · |s|=100×2 ·

这里,力F与位移s都是向量,而功W是一个数量,它等于由 两个向量F,s的模及它们的夹角的余弦的乘积,W叫做向量F与 向量s的内积,它是一个数量,又叫做数量积.

动脑思考

探索新知
A a O b B

如图,设有两个非零向量a, b,作 OA ? a,
OB ? b, 由射线OA与OB所形成的的角叫做向量

a与向量b的夹角,记作<a,b>.

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b 的内积,记作a· b, 即 a· b=|a||b|cos<a,b> 由内积的定义可知 a· 0=0, 0· a=0. (7.10)

动脑思考

探索新知

由内积的定义可以得到下面几个重要结果:
当<a,b>=0时,a· b=|a||b|;当<a,b>= 180 时,a· b=?|a||b|.
a ?b cos<a,b>=| a || b | .

当a=b时,有<a,a>=0,所以a· a=|a||a|=|a|2,即|a|= a ? a. 对非零向量a,b,有 a· b=0 ? a ? b.

动脑思考

探索新知

可以验证,向量的内积满足下面的运算律: a· b=b· a.

? ?a ? ? b ? ? ?a ? b? ? a ? ??b?.
(a+b)· c=a· c+b· c. 一般地,向量的 内积不满足结合律, 即 a· (b· c)≠(a· b)· c.

巩固知识

典型例题

例1

已知|a|=3,|b|=2, <a,b>=60°,求a· b.

解 a· b=|a||b| cos <a,b> =3×2×cos 60°=3.

巩固知识

典型例题

例2 已知|a|=|b|= 2 ,a· b=? 2 ,求<a,b>.

a ?b ? 2 2 ? ? ? . 解 cos<a,b>= | a || b | 2 2? 2
由于 所以 0≤<a,b>≤180°, <a,b>=135 .

运用知识

强化练习

1. 已知|a|=7,|b|=4,a和b的夹角为60°,求a· b.

14.
2. 已知a· a=9,求|a|.

3.
3. 已知|a|=2,|b|=3, <a,b>=30°,求(2a+b)· b.

6 3 +9.

动脑思考
又| i |=|j|=1,所以 a· b=(x1 i+y1j)· (x2 i+y2j)

探索新知

设平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),由于i⊥j,故i· j =0,

= x1 x2 i ?i+ x1 y2 i ?j+ x2 y1 i ?j + y1 y2 j ?j = x1 x2 |j|2+ y1 y2 |j|2 = x1 x2+ y1 y2. 这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和, 即 a· b= x1 x2+ y1 y2
2 y2 设a=(x,y),则 a ? a a ? x ?,即

(7.11)

a?

x2 ? y 2

(7.12)

动脑思考
a ?b ? cos<a,b>= | a || b |

探索新知

由平面向量内积的定义可以得到,当a,b是非零向量时,

x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 x2 ? y2
2 2

. (7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a⊥ b
?

a· b=0,由公式(7.11)可知

a· b=0 ? x1 x2+ y1 y2=0. 因此 a⊥b ? x1 x2+ y1 y2=0. (7.14)

巩固知识
例3 求下列向量的内积:

典型例题

(1) a= (2, ?3), b=(1,3); (2) a= (2, ?1), b=(1,2); (3) a= (4,2), b=(?2, ?3) . 解 (1) a· b=2×1+(?3)×3=?7; (2) a· b=2×1+(?1)×2=0; (3) a· b=2×(?2)+2×(?3)=?14.

巩固知识
例4

典型例题

已知a=(?1,2),b=(?3,1).求a· b, |a|,|b|, <a,b>.



a· b=(?1)(?3)+2×1=5. |a|= a ? a ? (?1)2 ? 22 ? 5. |b|= b ? b ? (?3)2 ? 12 ? 10. cos<a,b>= 所以
a ?b 5 2 ? ? . | a || b | 2 10 5

45 . <a,b>=

巩固知识
例5

典型例题

判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a=(?2, 3), (2) a=(0, ?1), b=(6, 4); b=(1, ?2).

解 (1) 因为a· b=(?2)×6+3×4=0,所以a⊥ b. (2) 因为a· b=0×1+(?1)×(?2)=2, 所以a与b不垂直.

运用知识

强化练习

1.已知a=(5,?4),b=(2,3),求a· b.

-2.

2.已知a=(2, ?3),b=(3, ?4),c=( ?1,3),求a· (b+c).

7.

自我反思

目标检测

平面向量内积的概念?
两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之

积叫做向量a与向量b的内积,记作a· b.

继续探索

活动探究

读书部分:阅读教材相关章节 书面作业:教材习题7.3A组(必做) 教材习题7.3B组(选做) 实践调查:试着编写一道关于向量 内积的问题并解答.

作业


推荐相关:

7.4.1向量的内积教学设计

7.4.1向量的内积教学设计_数学_高中教育_教育专区。第七章 平面向量 7.4.1...掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题. 3....


7.4.2向量内积的坐标运算与距离公式

7.4.2向量内积的坐标运算与距离公式_数学_高中教育_教育专区。科目:数学 班级...b ? ; (3) | a | 与 a·a有何关系___ 2、已知 e1,e2 是直角坐标...


向量的内积

向量的内积_高三数学_数学_高中教育_教育专区。向量的内积 【课题 7.3 平面向量的内积 课题】7.3 课题 【教学目标】 教学目标】知识目标: 知识目标: (1)了解...


向量的内积

向量的内积_数学_高中教育_教育专区。【课题】7.3 平面向量的内积 【教学目标】知识目标: (1)了解平面向量内积的概念及其几何意义. (2)了解平面向量内积的计算...


平面向量的内积教案

所成角的公式的基 | a || b | 【教学备品】教学课件. 【课时安排】 2 课时.(80 分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣...


向量的内积_图文

【课题】 【教材】 【教材分析】 向量的内积中等职业教育规划教材《数学》第二...2,| b |? 7, a ? b ? ?14; ? ? ? ? (3) | a |? 14,| b ...


向量的内积

掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题. 3. 通过教学,渗透...a,b?,求 a· b: (1) | a |=7, | b |=12,?a,b?= 120° ; (...


平面向量内积测试题

平面向量内积测试题班级: 一、选择题 1、已知平面向量 a ? (3,1) , b ?...?3e1 ? 2e2 ,则 a ? b ? ( 3 7 7 A.1 B. ?4 C. ? D. 2 ...


内积的特征向量与分解

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高等教育 ...12 第 3 页共 11 页 1 引言 考虑两向量的内积的非标量化的几何意义,或者任...


平面向量的内积练习

平面向量的内积练习_职高对口_职业教育_教育专区。第 9—10 课时 2014.11.5 ...3 D、 ? 6 3、向量 a ? ? 3, ?4 ? 的长度是( A、 5 B、 7 C...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com