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数学必修4


平方关系: sin^2α+cos^2α=1 1+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α · 积的关系: sinα=tanα×cosα · 倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 直角三角形 ABC 中,

角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, · [1]三角函数恒等变形公式 · 两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) · 三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) · 辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A?+B?)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A? +B? )^(1/2) cost=A/(A? +B? )^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A?+B?)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B · 倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos?(α)-sin?(α)=2cos?(α)-1=1-2sin?(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan?(α)] · 三倍角公式: sin(3α)=3sinα-4sin?(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos?(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα

· 半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα · 降幂公式 sin?(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos?(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan?(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) · 万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan?(α/2)] cosα=[1-tan?(α/2)]/[1+tan?(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan?(α/2)] · 积化和差公式: sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] · 和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] · 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos?α 1-cos2α=2sin?α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)? · 其他: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n -1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin?(α)+sin?(α-2π/3)+sin?(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx 证明: 左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx (积化和差) =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边 等式得证 sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

证明: 左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx) =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边 等式得证 诱导公式 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上 k∈Z) 正弦定理是指在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R .(其中 R 为外接圆的半径) 余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍,即 a^2=b^2+c^2-2bc cosA 角 A 的对边于斜边的比叫做角 A 的正弦,记作 sinA,即 sinA=角 A 的对边/斜边 斜边与邻边夹角 a sin=y/r 无论 y>x 或 y≤x 无论 a 多大多小可以任意大小 正弦的最大值为 1 最小值为-1 三角恒等式 对于任意非直角三角形中,如三角形 ABC,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明: 已知(A+B)=(π-C) 所以 tan(A+B)=tan(π-C) 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地,我们同样也可以求证:当 α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有 tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ 向量计算 设 a=(x,y),b=(x',y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律:

交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量,记作 λa,且∣λa∣=∣λ∣· ∣a∣。 当 λ>0 时,λa 与 a 同方向; 当 λ<0 时,λa 与 a 反方向; 当 λ=0 时,λa=0,方向任意。 当 a=0 时,对于任意实数 λ,都有 λa=0。 注:按定义知,如果 λa=0,那么 λ=0 或 a=0。 实数 λ 叫做向量 a 的系数,乘数向量 λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:① 如果实数 λ≠0 且 λa=λb,那么 a=b。② 如果 a≠0 且 λa=μa,那么 λ=μ。 3、向量的的数量积 定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作 a· b。若 a、b 不共线,则 a· b=|a|· |b|· cos〈a,b〉;若 a、b 共线,则 a· b=+-∣a∣ ∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:a· b=x· x'+y· y'。 向量的数量积的运算率 a· b=b· a(交换率); (a+b)· c=a· c+b· c(分配率); 向量的数量积的性质 a· a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a· b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。 2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。 3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b 或 a=-b。 记得数量积不能写成 X,否则就错了,那个是差积


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