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2015-2016学年北京市首师大附属育新学校高一(上)期中数学试卷(解析版)


2015-2016 学年北京市首师大附属育新学校高一(上)期中数学 试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分,在后面答题区域的表格内填写正确的答 案) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则 B∩?UA( ) A.{5,6} B.{3,4,5,6} C.{1,2,5,6} D.? 2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=x2+3x B.y=(x﹣1)2 C.g(x)=2﹣x D.y=log0.5(x+1) 3.设 a=( )0.2,b=1.30.7,c=( ) ,则 a,b,c 的大小关系是( )

A.a>c>b B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 4. x∈R}, B={x|x≥a}, 已知集合 A={x|﹣2≤x≤2, 且 A? B, 则实数 a 的取值范围 ( A.a<﹣2 B.a>2 C.a≤﹣2 D.a≥2 5.已知函数 f(x)= 则实数 m 的取值范围是( ) A.[0,1] B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) ∪[1,+∞)



,若函数 g(x)=f(x)﹣m 恰有一个零点,

C. (﹣∞,0]∪(1,+∞) D. (﹣∞,0)

6.函数 y=ax﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

7.已知实数 a,b 满足等式 2014a=2015b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0 <a<b;④b<a<0;⑤a=b,其中不可能成立的关系式有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对任意 x∈(0,+∞) ,都有 f[f (x)﹣ ]=2,则 f( )的值是( A.5 B.6 C.7 D.8 )

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,在后面答题区域的表格内填写正确方为有效 共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 9.若函数 f(x)=﹣x2+4ax 在(﹣∞,﹣2]上单调递增,则实数 a 的取值范围是______. 10. a≠1) 已知函数 y=3+loga (2x+3) (a>0, ) 的图象必经过定点 P, 则 P 点的坐标为______.

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11.若函数 f(x)=

是奇函数,则 a+b=______.

12.函数 f(x)=x2﹣x+a,则 f(m)______f(1﹣m) (填“<”“>”或“=”) 3 13.用“二分法”求函数 f(x)=x ﹣3x+1 的一个零点时,若区间[1,2]作为计算的初始区间, 则下一个区间应取为______. 14.已知函数 f(x)=x5+ax﹣8,且 f(﹣2)=10,则 f(2)=______. 15.函数 f(x)= 的值域是______.

16.函数 f(x)=x2+2ax+a2 在区间[﹣1,2]上的最大值是 4,则实数 a 的值为______. 17.设 2a=5b=m,且 + =2,m=______. 18.已知下表中的对数值有且只有一个是错误的. x 1.5 3 5 6 8 lg x 4a﹣2b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3[1﹣(a+c)] 其中错误的对数值是______.

9 2(2a﹣b)

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 36 分要求写出必要的解题步骤和文字说明) 19.计算下来各式: (1)化简:a? ? ; ﹣log5 ﹣log514+5 .

(2)求值:log535+2log0.5

20.已知函数 f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 f(x)>0,求 x 的取值范围. 21. v km/h) 据气象中心观察和预测: 发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动, 其移动速度 ( 0) 与时间 t (h) 的函数图象如图所示, 过线段 OC 上一点 T (t, 作横轴的垂线 l, 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km) . (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3) 若 N 城位于 M 地正南方向, 且距 M 地 650km, 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

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22.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,a,b,c 是常数且 a≠0,满足条件:f(0)=3,f(3) =6,且对任意的 x∈R 有 f(1+x)=f(1﹣x) . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)问是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别是[m,n],[2m,2n]? 若存在,求出 m,n;若不存在,说明理由.

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2015-2016 学年北京市首师大附属育新学校高一(上)期 中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分,在后面答题区域的表格内填写正确的答 案) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则 B∩?UA( ) A.{5,6} B.{3,4,5,6} C.{1,2,5,6} D.? 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】由全集 U 及 A,求出 A 的补集,找出 B 与 A 补集的交集即可. 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}, ∴?UA={5,6}, 则 B∩?UA={5,6}, 故选:A. 2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=x2+3x B.y=(x﹣1)2 C.g(x)=2﹣x D.y=log0.5(x+1) 【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】根据基本初等函数的图象与性质,对选项中的函数单调性进行分析、判断即可. 【解答】解:对于 A,函数 f(x)=x2+3x 在(0,+∞)上是单调增函数,满足条件; 对于 B,函数 y=(x﹣1)2 在(0,1)是单调减函数,在(1,+∞)上是单调增函数,不满 足条件; 对于 C,函数 g(x)=2﹣x= 在(﹣∞,+∞)上为单调减函数,不满足条件;

对于 D,函数 y=log0.5(x+1)在(﹣1,+∞)上是单调减函数,不满足条件. 故选:A. 3.设 a=( )0.2,b=1.30.7,c=( )

,则 a,b,c 的大小关系是(



A.a>c>b B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用指数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵1>a=( )0.2>( ) 则 a,b,c 的大小关系是 b>a>c. 故选:B. 4. x∈R}, B={x|x≥a}, 已知集合 A={x|﹣2≤x≤2, 且 A? B, 则实数 a 的取值范围 ( A.a<﹣2 B.a>2 C.a≤﹣2 D.a≥2 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】根据集合间的包含关系运算,列出不等式,即可求出实数 a 的取值范围.
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,b=1.30.7>1,



【解答】解:∵集合 A={x 丨﹣2≤x≤2,x∈R},B={x 丨 x≥a},且 A? B, ∴a≤﹣2 故选:C.

5.已知函数 f(x)= 则实数 m 的取值范围是( ) A.[0,1] B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) ∪[1,+∞)

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 恰有一个零点,

C. (﹣∞,0]∪(1,+∞) D. (﹣∞,0)

【考点】函数零点的判定定理. 【分析】作出 f(x)的函数图象,根据图象判断 m 的值. 【解答】解:令 g(x)=0 得 f(x)=m, 作出 y=f(x)的函数图象如图所示:

由图象可知当 m<0 或 m≥1 时,f(x)=m 只有一解. 故选 D. 6.函数 y=ax﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】讨论 a 与 1 的大小,根据函数的单调性,以及函数恒过的定点进行判定即可. 【解答】解:函数 y=ax﹣ (a>0,a≠1)的图象可以看成把函数 y=ax 的图象向下平移 个 单位得到的. 当 a>1 时,函数 y=ax﹣ 在 R 上是增函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 A,B.
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当 1>a>0 时,函数 y=ax﹣ 在 R 上是减函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 C, 故选 D. 7.已知实数 a,b 满足等式 2014a=2015b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0 <a<b;④b<a<0;⑤a=b,其中不可能成立的关系式有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】不等式的基本性质. 【分析】分别作出 y=2014x,与 y=2015x 的函数图象.由于 2014a=2015b,可得 a>b>0,或 a<b<0,或 a=b=0,正确,即可得出结论. 【解答】解:分别作出 y=2014x,与 y=2015x 的函数图象. ∵2014a=2015b, ∴a>b>0,或 a<b<0,或 a=b=0,正确; 因此只有:③,④不正确. 故选:B.

8.已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对任意 x∈(0,+∞) ,都有 f[f (x)﹣ ]=2,则 f( )的值是( A.5 B.6 C.7 D.8 )

【考点】函数的值. 【分析】首先,根据函数 f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对任意 x∈(0,+∞) , 都有 f[f(x)﹣ ]=2,得到 f(x)﹣ 为一个常数,令 f(x)﹣ =n,则 f(n)=2,求出 n,可求出函数的解析式,即可得出结论. 【解答】解:根据题意,得若对任意 x∈(0,+∞) ,都有 f[f(x)﹣ ]=2,得到 f(x)﹣ 为一个常数, 令 f(x)﹣ =n, 则 f(n)=2,

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∴2﹣ =n, ∴n=1, ∴f(x)=1+ , ∴f( )=7, 故选:C. 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,在后面答题区域的表格内填写正确方为有效 共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 9. f x) =﹣x2+4ax 在 若函数 ( (﹣∞, ﹣2]上单调递增, 则实数 a 的取值范围是 [﹣1, +∞) . 【考点】二次函数的性质. 【分析】根据 f(x)的对称轴判断 f(x)的单调性,得出(﹣∞,﹣2]与对称轴的关系,从 而解出 a 的范围. 【解答】解:f(x)=﹣(x﹣2a)2+4a2, ∴f(x)的图象开口向下,对称轴为 x=2a, ∴f(x)在(﹣∞,2a]上单调递增,在(2a,+∞)上单调递减, ∵在(﹣∞,﹣2]上单调递增, ∴﹣2≤2a,解得 a≥﹣1, 故答案为:[﹣1,+∞) . 10.已知函数 y=3+loga(2x+3) (a>0,a≠1) )的图象必经过定点 P,则 P 点的坐标为 (﹣ 1,3) . 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】令 2x+3=1,求得 x 的值,从而求得 P 点的坐标. 【解答】解:令 2x+3=1,可得 x=﹣1,此时 y=3. 即函数 y=3+loga(2x+3) (a>0,a≠1) )的图象必经过定点 P 的坐标为(﹣1,3) . 故答案为: (﹣1,3) .

11.若函数 f(x)=

是奇函数,则 a+b= 1 .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】由题意,a=f(0)=0,f(﹣1)=﹣f(1) ,求出 a,b,即可得出结论. 【解答】解:由题意,a=f(0)=0. f(﹣1)=﹣f(1) ,∴﹣1+b=﹣(1﹣1) ,∴b=1, a b=1 ∴ + . 故答案为:1. 12.函数 f(x)=x2﹣x+a,则 f(m) = f(1﹣m) (填“<”“>”或“=”) 【考点】二次函数的性质.
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【分析】方法一、运用作差法,化简整理,即可得到结论; 方法二、求出二次函数的对称轴方程,即可所求结论. 【解答】解法一、函数 f(x)=x2﹣x+a, 可得 f(1﹣m)﹣f(m)=(1﹣m)2﹣(1﹣m)+a﹣(m2﹣m+a) =(1﹣m) (﹣m)﹣m(m﹣1)=m(m﹣1)﹣m(m﹣1)=0, 则 f(m)=f(1﹣m) . 解法二、函数 f(x)=x2﹣x+a 的对称轴为 x= , 由 m+(1﹣m)=1, 可得 f(m)=f(1﹣m) . 故答案为:=. 13.用“二分法”求函数 f(x)=x3﹣3x+1 的一个零点时,若区间[1,2]作为计算的初始区间, 则下一个区间应取为 (1.5,2) . 【考点】二分法求方程的近似解. 【分析】函数 f(x)=x3﹣2x﹣1,确定 f(1) ,f(2) ,f(1.5)的符号,根据零点存在定理, 即可得到结论. 【解答】解:由二分法由 f(1)=1﹣3+1<0,f(2)=8﹣6+1>0, 取区间[1,2]作为计算的初始区间 取 x1=1.5, 这时 f(1.5)=1.53﹣3×1.5+1=﹣0.125<0, 故 x0∈(1.5,2) . 故答案为: (1.5,2) . 14.已知函数 f(x)=x5+ax﹣8,且 f(﹣2)=10,则 f(2)= ﹣26 . 【考点】函数的值. 【分析】求出 2a 的值,代入 f(2) ,求出 f(2)的值即可. 5 【解答】解:f(﹣2)=(﹣2) ﹣2a﹣8=10,则 2a=﹣25﹣18, 则 f(2)=25+2a﹣8=25﹣25﹣18﹣8=﹣26, 故答案为:﹣26.

15.函数 f(x)=

的值域是 [0,2) .

【考点】函数的值域. 【分析】先求出函数的定义域,进而结合指数函数的图象和性质分析被开方数的取值范围, 进而得到答案 【解答】解:若使函数 则 4﹣2x≥0,解得 x≤2 此时 0<2x≤4 则 0≤4﹣2x<4 0≤ 故函数 <2 的值域是[0,2)
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的解析式有意义

故答案为:[0,2) 16.函数 f(x)=x2+2ax+a2 在区间[﹣1,2]上的最大值是 4,则实数 a 的值为 0 或﹣1 . 【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【分析】分二次函数 f(x)的图象的对称轴比较靠近所给的闭区间的左侧、比较靠近所给 的闭区间的右侧两种情况, 分别利用二次函数的性质, 结合函数的最大值为 4, 求得 a 的值, 综合可得结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=x2+2ax+a2=(x+a)2 在区间[﹣1,2]上的最大值是 4,区间[﹣ 1,2]的中点为 , 二次函数 f(x)的图象的图象的对称轴为 x=﹣a, 当﹣a< 时,即 a>﹣ 时,f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值为 f(2)=4+4a+a2=4,a=0. 当﹣a≥ 时,即 a≤﹣ 时,f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值为 f(﹣1)=1﹣2a+a2=4, 求得 a=﹣1, 综上可得,a=0 或 a=﹣1, 故答案为:0 或﹣1. 17.设 2a=5b=m,且 + =2,m=



【考点】指数函数与对数函数的关系;对数的运算性质. 【分析】先解出 a,b,再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到 m 的等式, 求 m. 【解答】解:∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,由换底公式得 ,∴m2=10,∵m>0,∴ 故应填 18.已知下表中的对数值有且只有一个是错误的. x 1.5 3 5 6 8 9 lg x 4a﹣2b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3[1﹣(a+c)] 2(2a﹣b) 其中错误的对数值是 lg1.5 . 【考点】对数的运算性质. 【分析】利用对数的运算性质即可判断出. 【解答】解∵lg9=2lg3,适合,故二者不可能错误, 同理:lg8=3lg2=3(1﹣lg5) ,∴lg8,lg5 正确. lg6=lg2+lg3=(1﹣lg5)+lg3=1﹣(a+c)+(2a﹣b)=1+a﹣b﹣c,故 lg6 也正确. 故答案为:lg1.5. 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 36 分要求写出必要的解题步骤和文字说明) 19.计算下来各式: (1)化简:a? ? ;
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(2)求值:log535+2log0.5

﹣log5

﹣log514+5



【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【分析】 (1)根据指数幂的运算法则计算即可, (2)根据对数的运算法则计算即可. 【解答】解: (1)a? (2)log535+2log0.5 ? ﹣log5 = = ﹣log514+5 ;

=1+log57﹣log0.50.5+log550﹣log57﹣log52+3 =1+log57﹣1+2+log52﹣log57﹣log52+3 =1﹣1+2+3 =5. 20.已知函数 f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 f(x)>0,求 x 的取值范围. 【考点】对数函数的图象与性质;对数的运算性质. 【分析】 (1) 求解函数 f(x)的定义域

(2)利用好定义 f(x)=lg(1﹣x)﹣lg(1+x)=﹣f(x) .判断即可 (3)利用单调性转化 求解得出范围即可.

【解答】解:函数 f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x) . (1)∵ ﹣1<x<1 ∴函数 f(x)的定义域(﹣1,1) (2)函数 f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x) . ∵f(﹣x)=lg(1﹣x)﹣lg(1+x)=﹣f(x) . ∴f(x)为奇函数 (3)∵f(x)>0, ∴ 求解得出:0<x<1

故 x 的取值范围: (0,1) 21. v km/h) 据气象中心观察和预测: 发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动, 其移动速度 ( 0) 与时间 t (h) 的函数图象如图所示, 过线段 OC 上一点 T (t, 作横轴的垂线 l, 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km) .
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(1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3) 若 N 城位于 M 地正南方向, 且距 M 地 650km, 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】 (1)设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点.由图象知,点 A 的坐标为(10,30) , 故直线 OA 的解析式为 v=3t,当 t=4 时,D 点坐标为(4,12) ,OT=4,TD=12,S= ×4× 12=24(km) ; (2)分类讨论:当 0≤t≤10 时;当 10<t≤20 时;当 20<t≤35 时; (3)根据 t 的值对应求 S,然后解答. 【解答】解:设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点, (1)由图象知,点 A 的坐标为(10,30) ,故直线 OA 的解析式为 v=3t, 当 t=4 时,D 点坐标为(4,12) , ∴OT=4,TD=12, ∴S= ×4×12=24(km) ;

(2)当 0≤t≤10 时,此时 OT=t,TD=3t(如图 1) ∴S= ?t?3t= 当 10<t≤20 时,此时 OT=t,AD=ET=t﹣10,TD=30(如图 2) ∴S=S△AOE+S 矩形 ADTE= ×10×30+30(t﹣10)=30t﹣150 当 20<t≤35 时,∵B,C 的坐标分别为(20,30) , (35,0) ∴直线 BC 的解析式为 v=﹣2t+70 ∴D 点坐标为(t,﹣2t+70) ∴TC=35﹣t,TD=﹣2t+70(如图 3)
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∴S=S 梯形 OABC﹣S△DCT= (10+35)×30﹣ (35﹣t) (﹣2t+70)=﹣(35﹣t)2+675; (3)∵当 t=20 时,S=30×20﹣150=450(km) , 2 当 t=35 时,S=﹣(35﹣35) +675=675(km) ,而 450<650<675, ∴N 城会受到侵袭,且侵袭时间 t 应在 20h 至 35h 之间, 由﹣(35﹣t)2+675=650,解得 t=30 或 t=40(不合题意,舍去) . ∴在沙尘暴发生后 30h 它将侵袭到 N 城. 22.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,a,b,c 是常数且 a≠0,满足条件:f(0)=3,f(3) =6,且对任意的 x∈R 有 f(1+x)=f(1﹣x) . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)问是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别是[m,n],[2m,2n]? 若存在,求出 m,n;若不存在,说明理由. 【考点】二次函数的性质. 【分析】 (1)先求出函数的对称轴,得到关于 a,b,c 的方程组,解出即可; (2)根据函数 的单调性得到关于 m,n 的方程组,解出即可. 【解答】解: (1)∵对任意的 x∈R 有 f(1+x)=f(1﹣x) , ∴函数的对称轴是 x=﹣ =1①,

又 f(0)=3,f(3)=6, ∴f(0)=c=3②,f(3)=9a+3b+c=6③, 由①②③组成方程组解得:a=1,b=﹣2,c=3, ∴f(x)=x2﹣2x+3; (2)f(x)=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2, 对称轴 x=1,函数的最小值是 2, 由于函数 f(x)的定义域为[m,n],值域为[2m,2n],m<n, . ∴函数 f(x)在定义域为[m,n]上是增函数, ∴f(m)=2m,f(n)=2n, 即 ∴m=1,n=3. ,解得:m=1,n=3,

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