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2011年广东省广州市高二数学竞赛试卷问卷


2011 年广东省广州市高二数学竞赛试卷
一、选择题: 3 1. (2008?福建)函数 f(x)=x +sinx+1(x∈ ,若 f(a)=2,则 f(﹣a)的值为( R) A.3 B.0 C.﹣1 D.﹣2 2. 已知数列{an}的通项公式 A.最大值 15 B.最小值 15 )

, 设其前 n 项和为 Sn, 则使 Sn<﹣4 成立的自然数

n 有 ( C.最大值 16 D.最小值 16 )



3. (2011?广州)如图所示的程序框图,若输入 n=5,则输出的 n 值为(

A.3

B.1

C.﹣1

D.﹣3 )

4. (2011?广州)设 a=sin(sin2011°) ,b=sin(cos2011°) ,c=cos(sin2011°) ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 二、填空题:

5. (2011?广州)若过定点 M(﹣1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+y ﹣5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是 _________ . 6. (2011?广州)在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离不大于 1 的概率为 _________ .

2

2

7.在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足

=2

,则

?(

+

)= _________ .

8.在△ ABC 中,若 tanAtanB=1,则

=

_________ .

9.在 R 上定义运算△ :x△ y=x(1﹣y) 若不等式(x﹣a)△ (x+a)<1,对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范 围是 _________ . 10.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai(i=1,2,3,4) 是该四边形内一点,点 P 到第 i 条边的距 ,P 离记为 ,类比上述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积

记为 Si(i=1,2,3,4) 是该三棱锥内的一点,点 Q 到第 i 个面的距离记为 di,若 ,Q 等于 _________ .

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11. (2011?广州)已知向量 =(sinx,cosx) =(6sinx+cosx,7sinx﹣2cosx) , ,设函数 f(x)= ? ﹣ 2. (1)求函数 f(x)的最大值,并求取得最大值时 x 的值; (2)在 A 为锐角的△ ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f(A)=4 且△ ABC 的面积为 3, ,求 a 的值. 12.已知多面体 ABCDE 中,AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为 CD 的中点. (Ⅰ )求证:AF⊥ 平面 CDE; (Ⅱ )求异面直线 AC,BE 所成角余弦值; (Ⅲ )求面 ACD 和面 BCE 所成二面角的大小.

13.已知椭圆 (Ⅰ )若

(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0) ,离心率为 e.

,求椭圆的方程;

(Ⅱ )设直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2 的中点.若坐标原点 O 在 以 MN 为直径的圆上,且 ,求 k 的取值范围.

14. (2011?广州)设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切 正整数 k 都有 成立.

15. (2011?广州)定义在 R 上的函数

(a,b∈ 且 a≠0)是奇函数,当 x=1 时,f(x) R

取得最大值. (1)求 a、b 的值; (2)设曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线 l 与 y 轴的交点为(0,t) ,求实数 t 的取值范围.

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