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高三数学复数知识点


高三数学复数知识点
1. ⑴复数的单位为 i,它的平方等于-1,即 i 2 ? ?1 . ⑵复数及其相关概念:复数—形如 a + bi 的数(其中 a,b ? R ) ; ① 实数—当 b = 0 时的复数 a + bi,即 a; ② 虚数—当 b ? 0 时的复数 a + bi; ③ 纯虚数—当 a = 0 且 b ? 0 时的复数 a + bi,即 bi. ④ 复数

a + bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部,b 叫做虚部(注 意 a,b 都是实数) ⑤ 复数集 C—全体复数的集合,一般用字母 C 表示. ⑥ ⑶两个复数相等的定义:
a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d(其中,a,b,c,d, ? R)特别地a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小. 2、复数加、减、乘、除法的运算法则: 设 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,则 z1 ? z 2 ? (a ? c) ? (b ? d )i ;
z1 ? z 2 ? (ac ? bd) ? (ad ? bc)i ;

z1 ac ? bd bc ? ad ? ? i。 z2 c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

加法的几何意义:设 OZ1 , OZ2 各与复数 z1,z2 对应,以 OZ1 , OZ2 为边 的平行四边形的对角线 OZ 就与 z1+z2 对应。 减法的几何意义:设 OZ1 , OZ2 各与复数 z1,z2 对应,则图中向量 Z1 Z 2 所对应的复数就是 z2-z1。 |z1-z2|的几何意义是分别与 Z1,Z2 对应 的两点间的距离。 3. 共轭复数:两个复数实部相等,虚部互为相反数。即 z=a+bi,则
z =a-bi, (a、b∈R) ,实数的共轭复数是其本身注:两个共轭复数之
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差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的] 4. ⑴ ① 复 数 的 乘 方 : i 2 ? ?1,i 4n?1 ? i,i 4n?2 ? ?1,i 4n?3 ? ?i,i 4n ? 1

i n ?i n?1 ?i n?2 ?i n?3 ? 0, (n ? Z ) (1 ? i) 2 ? ?2i,

若 ? 是 1 的立方虚数根,即 ? ? ? 1 ? 则
? ? 1,? ? ?, ? ?
3 2

1

?

,1 ? ? ?? ? 0,? n ?? n?1?? n?2 ? 0(n ? Z )
2

2

3 i, 2

.

5. 复数集中解一元二次方程: 在复数集内解关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 时, 应注意下 述问题: ①当 a, b, c ? R 时,若 ? >0,则有二不等实数根 x1,2 ? 则有二相等实数根
x1, 2 ? ? b ? | ? |i 2a
x1,2 ? ? b 2a

?b? ? 2a

;若 ? =0,

;若

?

<0,则有二相等复数根

( x1,2 为共轭复数).

②当 a, b, c 不全为实数时,不能用 ? 方程根的情况. ③不论 a, b, c 为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立 6.复数的几何意义: ① 复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对
王新敞
奎屯 新疆

应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是 实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。 ② 复数的模: | z |?| a ? bi |?| OZ |? a2 ? b2 ,两个复数不能比较大小,但它 们的模可以比较大小。
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