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高考二轮复习 数列专题


高考二轮复习
用源。. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 未找到引用源。的前 n 项和.

数列专题

2 1.(2015 全国卷理 17) Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.已知 an >0, an ? an =错误!未找到引

1 错误!未找到引用源。 ,求数列 ?bn ? 错

误! an an ?1

2.(2014 年全国新课标Ⅰ理 17)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 ,

an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.
(Ⅰ)证明: an?2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

3.(2013 课标全国Ⅰ理 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sm-1=-2, Sm=0,Sm+1=3, 则 m=( ). A.3 B.4 C. 5 D.6 4.(2013 课标全国Ⅰ理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn, n=1,2,3,?.若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

cn ? a n b ? an ,cn+1= n ,则( 2 2

).

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

5.(2013 课标全国Ⅰ理 14)若数列{an}的前 n 项和 S n ?

2 1 an ? ,则{an}的通项公式是 an=_ 3 3

6.(2012 全国卷理科 5)已知 ?an 为等比 数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?

?

( A) 7

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

7.(2012 全国卷理科 16)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1) an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为
n

8(2011 年全国卷理科 17)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .
2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1

?1? (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?

高考二轮复习
到引用源。. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 误!未找到引用源。的前 n 项和.

数列专题

2 1.(2015 全国卷理 17) Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.已知 an >0, an ? an =错误!未找

1 错误!未找到引用源。 ,求数列 ?bn ? 错 an an ?1

2 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 +3 ,因为 an ? 0 ,所以 a1 =3, 2 2 当 n ? 2 时, an ? an ? an ?1 ? an?1 = 4Sn ? 3 ? 4Sn ?1 ? 3 = 4 an ,即

(an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) ,因为 an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2 ,
所以数列{ an }是首项为 3 ,公差为 2 的等差数列,且 an = 2n ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =

1 1 1 1 ? ( ? ) ,则数列{ bn }前 n 项和 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
1 5 1 7 1 1 1 1 ? )] = ? . 2n ? 1 2n ? 3 6 4n ? 6

为 b1 ? b2 ? ? ? bn = [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 1 1 2 3 5

点评:本题考查由 an 和 Sn 的关系作差法求通项、等差数列的通项公式以及裂项相消法 求和,考查转化与化归思想及运算求解能力,应属于常规的数列求通项和求和问题,感觉形 式和条件应该有所创新.而且, 命题人再一次在数列这个点上命制解答题, 没有完全按照 “数 列与三角轮流坐庄”的“规则”出牌,出乎诸多行家预测之外. 2.(2014 年全国新课标Ⅰ理 17)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 ,

an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.
(Ⅰ)证明: an?2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 ,两式相减

an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?
2

????6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2 m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2 m ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n * ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) ∴ an ? 2n ? 1( n ? N ) , an?1 ? an ? 2 2
???12 分

因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列.

3.(2013 课标全国Ⅰ理 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, 则 m=( ). A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C 解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. ∴d=am+1-am=3-2=1.∵Sm=ma1+ 又∵am+1=a1+m×1=3,∴ ?

m ?1 ? m ? 3 .∴m=5.故选 C. 2

m? m ? 1? m ?1 ×1=0,∴ a1 ? ? . 2 2

4.(2013 课标全国Ⅰ理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn, n=1,2,3,?.若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 答案:B

cn ? a n b ? an ,cn+1= n ,则( 2 2

).

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

5. (2013 课标全国Ⅰ理 14)若数列{an}的前 n 项和 S n ? 答案:(-2)n
-1

2 1 an ? , 则{an}的通项公式是 an=_ 3 3

2 1 an ? ,① 3 3 2 1 ∴当 n≥2 时, S n ?1 ? an ?1 ? .② 3 3 2 2 a ①-②,得 an ? an ? an ?1 ,即 n =-2. 3 3 an ?1 2 1 ∵a1=S1= a1 ? ,∴a1=1. 3 3
解析:∵ S n ?

∴{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,an=(-2)n 1.


6.(2012 全国卷理科 5)已知 ?an 为等比 数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? 3

?

( A) 7
【解析】选 D

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
[来源:Zxxk.Com]

7.(2012 全国卷理科 16)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 【解析】 {a n } 的前 60 项和为

1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2

1 ?6 ? 1830
2

8(2011 年全国卷理科 17)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数

?1? 列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?
2 2 3 2 解析: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

4

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

5


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