tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2012年高一数学竞赛解答18


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 18

──

其它定理介绍之一
姓名:

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、定理介绍:(所有这些定理均可直接署名使用) 例1. (欧拉定理) 设 ΔABC 的外心、重心、垂心分别为 O、G、H;则 O、G、H 三点共线,并且 OG= 中 O、G、H 的连线称为欧拉线. 证明:设 O 为△ABC 的外心,H 为重心,连结 CO 并延长交外接圆于 E,连结 AE,BE,OH,设中线 AM 交 OH 于 G ∵EC 是直径 ∴∠EAC=∠EBC=90° ∴AE⊥AC,EB⊥BC ∵BH⊥AC,AH⊥BC ∴AE∥BH,EB∥AH ∴四边形 AEBH 是平行四边形 ∴AH=EB ∵M 是 BC 中点,O 是 EC 中点 ∴OM= EB
2 1
A

1 2

GH.其

E O

G H

B

M D

C

∴OM= AH
2

1

∵OM∥AH ∴△OGM∽△HGA ∴
AG MG ? AH OM ? 2

∴G 是△ABC 重心 ∴O,G,H 三点共线 例2. (欧拉公式) 设三角形的外接圆和内切圆半径分别为 R 和 r;则两圆的圆心距:
d ? R (R ? 2r)
A M


O E

证明: 连结 AI 并延长交⊙O 于 F,连结 BO 并延长交⊙O 于 M,连结 BF,MF,BI 作 IE⊥AC 于 E ∵BM 为⊙O 直径 ∴∠BFM=∠IEA=90° 又∵∠BMF=∠BAF=∠IAE

I

B

N I

C

F

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

∴△MBF∽△AIE ∴
MB AI ? BF IE

∴2Rr=AI·BF ∵∠BIF=∠ABI+∠BAI, ∠IBF=∠IBN+∠NBF=∠ABI+∠BAI ∴∠BIF=∠IBF ∴BF=IF ∴2Rr=AI·IF ∵AI·IF=(R+d) · (R-d) ∴2Rr=R ?-d ? ∴ d ? R ( R ? 2r ) 例3.(蝴蝶定理) 点 P 是圆 O 的弦 AB 的中点,弦 CD、EF 过 P;CF、DE 分别交 AB 于 I、J;则:PI=PJ. 证明:作 OG⊥CF 于 G,作 OH⊥ED 于 H,连结 OG,OI,OP,OJ,OH ∵△EDP∽△CFP ∴
EP CP ? ED CF
A I G O P J H B C E

∵EH= ∴
EP CP

1 2

ED,CG= CF
2
EH CG
F

1

?

又∵∠E=∠C ∴△EPH∽△CPG ∴∠PHJ=∠PGI ∵∠OPJ=∠OHJ=90° ∴P,O,H,J 四点共圆,同理 P,O,G,I 四点共圆 ∴∠PGI=∠POI, ∠POJ=∠PHJ ∴∠POJ=∠POI ∵OP⊥IJ ∴PI=PJ 例4. (沙尔蒙定理)

D

从圆 O 上一点引三条弦 PA、PB、PC;以这三条弦为直径画圆;则这三个圆的外三个交点共线. (这条直线叫沙尔蒙线) 证明:连结 PX,XA,AB,AY,CY,PY,BZ,CZ,PZ ∵AP,PC 为各自圆的直径 ∴∠PYA=∠PYC=90° ∴A,Y,C 三点共线 同理可证 X,A,B 三点共线,B,Z,C 三点共线 ∴PY⊥AC,PZ⊥BC,PX⊥AB ∵P 为△ABC 外接圆上一点 由西姆松定理可知 X,Y,Z 三点共线 二、 巩固练习 18 (以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com) 1. 设平面上有四点 A, P, 若 PA2-PB2=QA2-QB2; B, Q; 则有 PQ⊥AB. (可
Q

P

2
A H H' B

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料 作定理直接使用)

教练员 凌彬

作 PH⊥AB 于 H,则 PA ?-PB ?=(PH ?+AH ?)-(PH ?+BH ?)=AH ?-BH ?=(AH+BH)(AH -BH)=AB(AB-2BH) 同理作 QH′⊥AB 于 H′ 则 QA ?-QB ?=AB(AB-2BH′) ∴BH′=BH 即 H 与 H′重合 ∴PQ⊥AB 2.如图,设 ΔABC 不是直角三角形,O 为 ΔABC 的外心,H 为垂心,直线 OH 交 AC 于 K,交 AB 于 L;若 OK=HL,求∠A 的值. 过 O 作 ON⊥BC 于 N,连结 AN,交 OH 于 G,连结 OC,OA ∵OH 是欧拉线 ∴OG=
1 2

HG,易知∠BAC= ∠BOC=∠NOC,AH=2ON
2 1 1

1

同样可知 S△ALH=S△AOK,即 AL·AH·sin∠BAD= AO·AK·sin∠
2 2

OAK
∵∠BAD+∠ABD=90°, ∠AOC=2∠ABD, ∠AOC+2∠OAK=180° ∴∠BAD=∠OAK ∴S△ALO=S△AKH, ∠LAO=∠HAK ∴AL·AO=AK·AH 又 AL·AH=AO·AK 两式相乘,AL=AK ∴∠ALO=∠AKH ∴△ALO≌△AKH ∴AO=AH ∴ON= OC
2 1

∴∠NOC=∠A=60° 3.筝形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD;AC、BD 交于 O,过 O 作两条直线分别交 AD、BC;AD、DC 于 E、F;G、H;又 GF、EH 分别交 BD 于 I、J;求证:OI=OJ. 设∠BOG=∠DOH=α , ∠ BOF=∠DOE=β ,AO=a, BO=DO=b, CO=c,OG=t1,OF=t2,OH=t3,OE=t4
A G B
cos ? b ? cos ? b ? s in ? c

∵ S? AOB ∴ ∴
1 2 ab ? 1 2

? S ? AOG ? S ? BOG
t 1 ?b sin ? ? 1 2 t 1 ?a c o s ?

E D

I F

1 t1

? 1 t2

b s in ? ? a c o s ? ab ? cos ? b ? sin ? c

?

s in ? a

O

J

?

同理



1 t3



1 t4

?

cos ? b

?

sin ? a

H

又∵ S ? F O G ∴ ∴
1 2

? S? FOI ? S ?GOI
1 2 O I ?t 1 sin ? ? 1 2 O I ?t 2 sin ?

t 1 t 2 sin ( ? ? ? ) ?

C
? s in ? s in ? a ? c o s ? s in ? c

s in ( ? ? ? ) OI

?

s in ? t2

?

s in ? t1

?

s in ? c o s ? b

?

s in ? s in ? c

3

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料
s in ( ? ? ? ) OJ s in ? t4
? sin ( ? ? ? ) OJ

教练员 凌彬
s in ? s in ? a c o s ? s in ? b s in ? s in ? c

同理 ∴

?

?

s in ? t3

?

s in ? c o s ? b

?

?

?

sin ( ? ? ? ) OI

即 OI=OJ

4


推荐相关:

2012年高一数学竞赛解答20

2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答14

2012年高一数学竞赛解答11 2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答01

2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答03

2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答02

2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答07

2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答19

2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答15

2012年高一数学竞赛解答11 2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答09

2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...


2012年高一数学竞赛解答05

2012年高一数学竞赛解答12 2012年高一数学竞赛解答13 2012年高一数学竞赛解答14 2012年高一数学竞赛解答15 2012年高一数学竞赛解答17 2012年高一数学竞赛解答18 2012年...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com