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2012年高一数学竞赛解答18


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 18

──

其它定理介绍之一
姓名:

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将

解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、定理介绍:(所有这些定理均可直接署名使用) 例1. (欧拉定理) 设 ΔABC 的外心、重心、垂心分别为 O、G、H;则 O、G、H 三点共线,并且 OG= 中 O、G、H 的连线称为欧拉线. 证明:设 O 为△ABC 的外心,H 为重心,连结 CO 并延长交外接圆于 E,连结 AE,BE,OH,设中线 AM 交 OH 于 G ∵EC 是直径 ∴∠EAC=∠EBC=90° ∴AE⊥AC,EB⊥BC ∵BH⊥AC,AH⊥BC ∴AE∥BH,EB∥AH ∴四边形 AEBH 是平行四边形 ∴AH=EB ∵M 是 BC 中点,O 是 EC 中点 ∴OM= EB
2 1
A

1 2

GH.其

E O

G H

B

M D

C

∴OM= AH
2

1

∵OM∥AH ∴△OGM∽△HGA ∴
AG MG ? AH OM ? 2

∴G 是△ABC 重心 ∴O,G,H 三点共线 例2. (欧拉公式) 设三角形的外接圆和内切圆半径分别为 R 和 r;则两圆的圆心距:
d ? R (R ? 2r)
A M


O E

证明: 连结 AI 并延长交⊙O 于 F,连结 BO 并延长交⊙O 于 M,连结 BF,MF,BI 作 IE⊥AC 于 E ∵BM 为⊙O 直径 ∴∠BFM=∠IEA=90° 又∵∠BMF=∠BAF=∠IAE

I

B

N I

C

F

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

∴△MBF∽△AIE ∴
MB AI ? BF IE

∴2Rr=AI·BF ∵∠BIF=∠ABI+∠BAI, ∠IBF=∠IBN+∠NBF=∠ABI+∠BAI ∴∠BIF=∠IBF ∴BF=IF ∴2Rr=AI·IF ∵AI·IF=(R+d) · (R-d) ∴2Rr=R ?-d ? ∴ d ? R ( R ? 2r ) 例3.(蝴蝶定理) 点 P 是圆 O 的弦 AB 的中点,弦 CD、EF 过 P;CF、DE 分别交 AB 于 I、J;则:PI=PJ. 证明:作 OG⊥CF 于 G,作 OH⊥ED 于 H,连结 OG,OI,OP,OJ,OH ∵△EDP∽△CFP ∴
EP CP ? ED CF
A I G O P J H B C E

∵EH= ∴
EP CP

1 2

ED,CG= CF
2
EH CG
F

1

?

又∵∠E=∠C ∴△EPH∽△CPG ∴∠PHJ=∠PGI ∵∠OPJ=∠OHJ=90° ∴P,O,H,J 四点共圆,同理 P,O,G,I 四点共圆 ∴∠PGI=∠POI, ∠POJ=∠PHJ ∴∠POJ=∠POI ∵OP⊥IJ ∴PI=PJ 例4. (沙尔蒙定理)

D

从圆 O 上一点引三条弦 PA、PB、PC;以这三条弦为直径画圆;则这三个圆的外三个交点共线. (这条直线叫沙尔蒙线) 证明:连结 PX,XA,AB,AY,CY,PY,BZ,CZ,PZ ∵AP,PC 为各自圆的直径 ∴∠PYA=∠PYC=90° ∴A,Y,C 三点共线 同理可证 X,A,B 三点共线,B,Z,C 三点共线 ∴PY⊥AC,PZ⊥BC,PX⊥AB ∵P 为△ABC 外接圆上一点 由西姆松定理可知 X,Y,Z 三点共线 二、 巩固练习 18 (以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com) 1. 设平面上有四点 A, P, 若 PA2-PB2=QA2-QB2; B, Q; 则有 PQ⊥AB. (可
Q

P

2
A H H' B

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料 作定理直接使用)

教练员 凌彬

作 PH⊥AB 于 H,则 PA ?-PB ?=(PH ?+AH ?)-(PH ?+BH ?)=AH ?-BH ?=(AH+BH)(AH -BH)=AB(AB-2BH) 同理作 QH′⊥AB 于 H′ 则 QA ?-QB ?=AB(AB-2BH′) ∴BH′=BH 即 H 与 H′重合 ∴PQ⊥AB 2.如图,设 ΔABC 不是直角三角形,O 为 ΔABC 的外心,H 为垂心,直线 OH 交 AC 于 K,交 AB 于 L;若 OK=HL,求∠A 的值. 过 O 作 ON⊥BC 于 N,连结 AN,交 OH 于 G,连结 OC,OA ∵OH 是欧拉线 ∴OG=
1 2

HG,易知∠BAC= ∠BOC=∠NOC,AH=2ON
2 1 1

1

同样可知 S△ALH=S△AOK,即 AL·AH·sin∠BAD= AO·AK·sin∠
2 2

OAK
∵∠BAD+∠ABD=90°, ∠AOC=2∠ABD, ∠AOC+2∠OAK=180° ∴∠BAD=∠OAK ∴S△ALO=S△AKH, ∠LAO=∠HAK ∴AL·AO=AK·AH 又 AL·AH=AO·AK 两式相乘,AL=AK ∴∠ALO=∠AKH ∴△ALO≌△AKH ∴AO=AH ∴ON= OC
2 1

∴∠NOC=∠A=60° 3.筝形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD;AC、BD 交于 O,过 O 作两条直线分别交 AD、BC;AD、DC 于 E、F;G、H;又 GF、EH 分别交 BD 于 I、J;求证:OI=OJ. 设∠BOG=∠DOH=α , ∠ BOF=∠DOE=β ,AO=a, BO=DO=b, CO=c,OG=t1,OF=t2,OH=t3,OE=t4
A G B
cos ? b ? cos ? b ? s in ? c

∵ S? AOB ∴ ∴
1 2 ab ? 1 2

? S ? AOG ? S ? BOG
t 1 ?b sin ? ? 1 2 t 1 ?a c o s ?

E D

I F

1 t1

? 1 t2

b s in ? ? a c o s ? ab ? cos ? b ? sin ? c

?

s in ? a

O

J

?

同理



1 t3



1 t4

?

cos ? b

?

sin ? a

H

又∵ S ? F O G ∴ ∴
1 2

? S? FOI ? S ?GOI
1 2 O I ?t 1 sin ? ? 1 2 O I ?t 2 sin ?

t 1 t 2 sin ( ? ? ? ) ?

C
? s in ? s in ? a ? c o s ? s in ? c

s in ( ? ? ? ) OI

?

s in ? t2

?

s in ? t1

?

s in ? c o s ? b

?

s in ? s in ? c

3

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料
s in ( ? ? ? ) OJ s in ? t4
? sin ( ? ? ? ) OJ

教练员 凌彬
s in ? s in ? a c o s ? s in ? b s in ? s in ? c

同理 ∴

?

?

s in ? t3

?

s in ? c o s ? b

?

?

?

sin ( ? ? ? ) OI

即 OI=OJ

4


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