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高考数学知识点复习题40


高考数学知识点复习题 40 第四十讲 椭圆 x2 y2 1.(2010· 天门)设 P 是椭圆 + =1 上一动点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,则 cos∠F1PF2 的最小值是( ) 9 4 1 1 1 5 A. B. C.- D.- 2 9 9 9 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,由题意 m+n=6, m2+n2-(2c)2 (m+n)2-4c2-2mn 4b2 2×4 1 c= 5,则 cos∠F1PF2= = = -1≥ -1=- . 答案:C 2mn 2mn 2mn 9 ?m+n?2 ? 2 ? 5-1 x2 y2 2.(2010· 新创题)定义:离心率 e= 的椭圆为“黄金椭圆”,已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为 2 a b F(c,0)(c>0),P 为椭圆 E 上的任意一点,若 a,b,c 不是等比数列,则( ) A.E 是“黄金椭圆” B. E 一定不是“黄金椭圆” C. E 不一定是“黄金椭圆” D. 可能不是“黄金椭圆” 5-1 5-1 c 解析:假设 E 为黄金椭圆,则 e= = ,即 c= a, a 2 2 ? 5-1 ?2= 5-1a2=ac. ∴b2=a2-c2=a2-? ? 2 ? 2 a? 即 a,b,c 成等比数列,与已知矛盾,故椭圆 E 一定不是“黄金椭圆”.答案:B x2 y2 3.(2010· 长沙模拟)已知 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 且 a b 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若△ABF2 为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为( ) A.(0, 2-1) B.(0, 3-1) C.( 2-1,1) D.( 3-1,1) b2 解析:由△ABF2 为钝角三角形,得 AF1>F1F2,∴ >2c,化简得 c2+2ac-a2<0,∴e2+2e-1<0,又 0<e<1,解得 a 0<e< 2-1,选 A. 4.B1、B2 是椭圆短轴的两端点,O 为椭圆中心,过左焦点 F1 作长轴的垂线交椭圆于 P,若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的 |PF1| 等比中项,则 的值是( ) |OB2| 2 3 2 A. 2 B. C. D. 2 2 3 x2 y2 解析:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b b2 b4 b2 |PF1| a b 令 x=-c 得 y2= 2,∴|PF1|= ,∴ = = , a a |OB2| b a b 2 又由|F1B2|2=|OF1|· |B1B2|得 a2=2bc,∴a4=4b2(a2-b2),∴(a2-2b2)2=0,∴a2=2b2,∴ = . 答案:B a 2 x2 y2 5.椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆 M 上任一点,且 PF 1 PF 2 最大值的取值范围 a b 2 2 是[c ,3c ],其中 c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是( ) 1 1 1 1 2 2 ? ? A.? B.? , ? C.? ,1? D.? ?4,2? ?2,1? ?2 2 ? ?2 ? 解析:设 PF 1与PF 2 与 PF2 的夹角为 θ,由于 PF 1 PF 2 ?| PF 1 || PF 2 | cosθ≤ | PF 1 || PF 2 |, 时取“=”.所以 PF PF1与PF2 的夹角为 0° 1 PF 2 的最大值为(a+c)(a-c), 1 2 因此 c2≤a2-c2≤3c2,所以 e2≤1-e2≤3e2.又 e∈(0,1), 所以 e∈? , ?.故选 B. ?2 2 ? 一、选择题:

x2 y2 1 6.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个实根分别为 x1 和 x2,则 a b 2 点 P(x1,x2)( ) A.必在圆 x2+y2=2 内 B.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能 b c 解析:∵x1+x2=- ,x1· x2=- , a a 2 b2 2c b +2ac 2 2 ∴x1 +x2 = ( x + x ) - 2 x · x = + = , 2 1 2 1 2 a2 a a2 c 1 1 ∵e= = ,∴c= a, a 2 2

1

1 ?2 3 2 ∴b2=a2-c2=a2-? ?2a? =4a , 3 2 1 a +2a× a 4 2 7 2 ∴x1 +x2 = <2. 2 2= a 4 ∴P(x1,x2)在圆 x2+y2=2 内.故应选 A. 答案:A 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) x2 y2 7.F1、F2 是椭圆 2+ =1 的左、右两焦点,P 为椭圆的一个顶点,若△PF1F2 是等边三角形,则 a2=________. a 9 解析:由题意,因为△PF1F2 是等边三角形,故 2c=a,又 b=3,所以 a2=12. 答案:12 x2 y2 a c 8. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1(-c,0)、 F2(c,0), 若椭圆上存在点 P 使 = , a b sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 则该椭圆的离心率的取值范围为________. c sin∠PF2F1 |PF1| 2a-|PF2| 2a 解析:e= = = = = -1. a sin∠PF1F2 |PF2| |PF2| |PF2| ∵|PF2|<a+c, 2a 2a 2 ∴e= -1> -1,即 e> -1,∴e2+2e-1>0. |PF2| a+c 1+e 又∵0<e<1,∴ 2-1<e<1. 答案:( 2-1,1) 9. 椭圆具有这样的光学性质: 从椭圆的一个焦点出发的光线, 经椭圆反射后, 反射光线经过椭圆的另一个焦点. 今 有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径忽略 不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是________. 解析:设靠近 A 的长轴端点为 M,另一长轴的端点为 N.若小球沿 AM 方向运动,则路程应为 2(a-c);若小球沿 AN 方向运动,则路程为 2(a+c);若小球不沿 AM 与 AN 方向运动,则路程应为 4a. 答案:4a 或 2(a-c)或 2(a+c) x2 y2 10.(2010· 皖南八校)已知 A、B 为椭圆 C: + =1 的长轴的两个端点,P 是椭圆 C 上的动点,且∠APB 的最 m+1 m 2π 大值是 ,则实数 m 的值是________. 3 m+1 π 1 1 解析:由椭圆知识知,当点 P 位于短轴的端点时∠APB 取得最大值,根据题意则有 tan = ?m= . 答案: 3 2 2 m 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) x2 y2 6 11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. a b 3 (1)求椭圆 C 的方程; 3 (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ,求△AOB 面积的最大值. 2

?c 6 ? ? 解:(1)设椭圆的半焦距为 c,依题意 ? a 3 , ?a? 3 ?
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ①当 AB⊥x 轴时,|AB|= 3,

x2 ∴b=1.∴所求椭圆方程为 +y2=1. 3

②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m.由已知 椭圆方程,整理得 (3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0 -6km 3(m2-1) ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)? =3+ 12k2 =3+ 9k +6k2+1
4

|m| 3 2 3 2 2= 2 ,得 m =4(k +1),把 y=kx+m 代入 1+k

? 36k m -12(m -1)?=12(k +1)(3k +1-m )=3(k +1)(9k +1) 3k2+1 ? (3k2+1)2 (3k2+1)2 ?(3k2+1)2 ?

2

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2

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2

2

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2

12 12 (k≠0)≤3+ =4. 1 2 × 3+6 9k2+ 2+6 k 1 3 当且仅当 9k2= 2,即 k=± 时等号成立|AB|=2. k 3 当 k=0 时,|AB|= 3,
2

综上所述,|AB|max=2. ∴当|AB|最大时,△AOB 面积取最大值, 1 3 3 S= ×|AB|max× = . 2 2 2 点评:一般地,在涉及直线与曲线交点的问题时,先设出交点的坐标,再由方程组转化的一元二次方程中,利用 根与系数的关系转化为待求的系数方程,像这种设交点坐标但不具体求出的方法称为“设而不求”. 12 .如图,已知 A 、 B 、 C 是长轴为 4 的椭圆上三点,点 A 是长轴的一个顶点, BC 过椭圆中心 O ,且 (1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;(2)如果椭圆上两点 P、Q 使直线 CP、CQ 与 x 轴围 AC BC ? 0,| BC |? 2 | AC | . 成底边在 x 轴上的等腰三角形,是否总存在实数 λ 使 PQ ? ? AB ?请给出证明. x2 y2 解: (1)以 O 为原点, OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系, 则 A(2,0), 椭圆方程可设为 + 2=1(0<b<2). 4 b 而 O 为椭圆中心,由对称性知|OC|=|OB|. 又 AC BC ? 0, ,所以 AC⊥BC. 又 | BC |? 2 | AC | ,所以|OC|=|AC|, 所以△AOC 为等腰直角三角形,所以点 C 的坐标为(1,1). 4 将(1,1)代入椭圆方程得 b2= , 3 x2 3y2 则椭圆方程为 + =1. 4 4 (2)由直线 CP、CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形,设直线 CP 的斜率为 k,则直线 CQ 的斜率为-k,直 线 CP 的方程为 y-1=k(x-1),直线 CQ 的方程为 y-1=-k(x-1).由椭圆方程与直线 CP 的方程联立,消去 y 得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0.① 因为 C(1,1)在椭圆上,所以 x=1 是方程①的一个根,于是 3k2-6k-1 3k2+6k-1 yP-yQ 1 xP= 这样,kPQ= = . 2 ,同理 xQ= 2 . 1+3k 1+3k xP-xQ 3 1 又 B(-1,-1),所以 kAB= ,即 kAB=kPQ.所以 PQ∥AB,即存在实数 λ 使 PQ ? ? AB. . 3 评析:利用斜率互为相反数关系,采用整体替换,简化了解题过程. x2 y2 13.设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点. a b 3 (1)若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2 (2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时. 求证:kPM· kPN 是与点 P 位置无关的定值. 解:(1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2. ?3?2 ?2? 3 1 1, ?在椭圆上,因此 2+ 2 =1 得 b2=3,于是 c2=1. 又点 A? ? 2? 2 b x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1,焦点 F1(-1,0),F2(1,0). 4 3 -1+x1 y1 (2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1),线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足:x= ,y= , 2 2 2 (2x+1)2 (2y)2 1 4y ?2 即 x1=2x+1,y1=2y.因此 + =1. 即? ?x+2? + 3 =1 为所求的轨迹方程. 4 3 x2 y2 (3)设点 M(m,n)是椭圆 2 + 2=1① a b m2 n2 上的任一点,N(-m,-n)是 M 关于原点的中心对称点,则 2 + 2=1② a b y-n y+n y-n y+n y2-n2 又设 P(x,y)是椭圆上任一点,且 kPM· kPN 存在.则 kPM= ,kPN= ,∴kPM· kPN= · = . x-m x+m x-m x+m x2-m2 x2-m2 y2-n2 y2-n2 b2 ①-②得 + 2 =0, 2 =- , 2 a b a2 x -m2 b2 ∴ kPM· kPN=- . 故 kPM· kPN 与 P 的取值无关. a2

3


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