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湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


武汉外国语学校 2014—2015 学年度下学期期末考试

高一数学试题
考试时间:2015 年 6 月 日 满分:150 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1. 数列 3,5, 9,17,33,…的通项公式 a n 可以为( A. 2 n
n

B. 2 ? 1 n C. 2 ? 1

) D. 2 n?1 )

2.

已知直线 l1:ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l2:x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0 ,若 l1 // l 2 ,则 a ? ( A.2 B. 2或 ? 1 C. ? 1 D. ?2

3.

给出下列命题: ①平行于同一条直线的两直线互相平行;②平行于同一平面的两条直线互相平行; ③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④垂直于同一平面的两条直线互相平行. 其中真命题的个数是 ( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 已知 a, b, c, d 均为实数,有下列命题①若 ab ? 0 , bc ? ad ? 0 ,则

4.

c d - > 0 ;②若 a b
d

a ? b ? 0 ,c<d<0,则 ac ? bd ;③若 bc ? ad ? 0 , bd ? 0 则 a ? b ? c ? d .其中真命
b

题的个数是( ) A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

5.

? x ? 2y ? 2 变量 x, y 满足约束条件 ? ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z = 3x+y-3 的取值范围是( ) ?4 x ? y ? ?1 ?
A. [ ,9]

3 2

B. [?

3 , 6] 2

C. [?2,3]

D. [1, 6]

6.

点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B (-2,1), 则直线 y= kx +b 在 x 轴上 的截距是 ( ) . .. A. ?

5 6

B.

5 6

C.

1 6

D. ?

1 6
)

7.

已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S 5 ? S 6 且 S 6 ? S 7 ? S 8 ,下列结论错误 的( .. A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值. C.公差 d ? 0 B. a 7 ? 0 D. S 9 ? S 5

8.

过点 P ? 2,1? 的直线 l 与坐标轴分别交 A, B 两点,如果三角形 OAB 的面积为 4,则满足条 件的直线 l 最多有( A. 1 B. 2 )条 C. 3 D. 4

9. 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? a[2 ? ( )

1 2

n ?1

1 ] ? b[2 ? (n ? 1)( ) n ?1 ]( n ? 1,2, ?), 其中 a , b 2


是非零常数,则存在数列{ xn }、{ y n }使得(

A. an ? xn ? yn , 其中 {xn } 为等差数列,{ y n }为等比数列 B. an ? xn ? yn , 其中 {xn } 和{ y n }都为等差数列 C. an ? xn ? y n , 其中 {xn } 为等差数列,{ y n }都为等比数列 D. an ? xn ? y n , 其中 {xn } 和{ y n }都为等比数列 10. 已知点 A(2,?3) 、 B ( ?3,?2) ,直线 l 过点 P (1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的 取值 k 范围是( A. C. ) B. D.

3 或 k ? ?4 4 3 ?4? k ? 4 k?

k?

3 1 或k ? ? 4 4

3 ?k?4 4

11. 下列四个正方体图形中, A , B 为正方体的两个顶点, M , N , P 分别为其所在棱的 中点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是( )
N A P M M M B M M B M N B P P A A M M M B M M M N A N P

① A.①、②

② B.①、③

③ C. ②、③

④ D.②、④

12. 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( ) A.大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13. 设 x, y ? R , a ? 1, b ? 1 ,若 a x ? b y ? 3 , a ? b ? 2 3 ,则

1 1 ? 的最大值是 x y

14. 所有棱长均为 2 的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?A1 AB ? ?A1 AC ? 600 ,则三棱柱 为________________ ABC ? A1 B1C1 的表面积 ...

? x? y?0 ? 2 2 15. 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,若不等式 a x ? y ? x ? y 恒成立,则 a 的最大值为 ? y ?3? 0 ?
16. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体 的各条棱中,最长的棱的长度为

三、解答题:本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.

17. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4. ax ? b

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式: f ( x) ?

(k ? 1) x ? k 2? x

18. (本小题满分 11 分) 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨; 生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨,二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元,每1吨乙种 棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中,要求消耗一级籽棉不超过250吨,二级 籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨,能使利润总额最大?并求出利润总额的 最大值.

19. (本小题满分 11 分)

如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=2,BC= 2 ,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)求异面直线 AD 与 BE 所成角的余弦.

P E
D A C

20. (本小题满分 11 分) 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a1 =1, an ? 0 , an an ?1 ? ? Sn ? 1,其中 ? 为常数. (1) 证明: an? 2 ? an ? ? ; (2) 是否存在 ? ,使得{ a n }为等差数列?并说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, BC 边上的高所在的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,?A 的角平分线所在的 直线方程为 y ? 0 ,点 C 的坐标为 (1, 2) . (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2)又过点 C 作直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 M , N ,求 ?MON 的面积最小 值及此时直线 l 的方程. 22. (本小题满分 14 分)

已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,对任意的 p, q ? N ? ,有 a p?q ? a p ? aq .

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 数列 ?bn ? 满足 an ? 求数列 ?bn ? 的通项公式;

b bn b1 b b n ?1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? ? ?1? ?n ? N ? ? , n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

n ? ? (3) 设 Cn ? 3 ? ? bn n ? N ,是否存在实数 ? ,当 n ? N 时, Cn?1 ? Cn 恒成立,若存

?

?

在,求实数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。

解: (1)解法一:
2 由 an ? S2n?1 得,

当 n ? 1 时, a12 ? S1 ,解得 a1 ? 1或a1 ? 0 (舍去)…………(1 分) 当 n ? 2 时, a2 2 ? S3 ,解得 d ? 2或d ? ?1 , 因为 an ? 0 ,所以 d ? ?1 舍去………………(3 分) 所以 a1 ? 1, d ? 2, 解法二:
2 因为 an ? S2n?1 且 S2 n ?1 ?

?an ? 2n ?1, n ? N * ………………(4 分)
a1 ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? (2n ? 1)an ,……………(2 分) 2

所以 an ? (2n ? 1)an ,即 an ? 2n ? 1, n ? N * ………………(4 分)
2

(2) (ⅰ)由(1)得 bn ?

2 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
1 1 3 5 1 1 1 2n ? ] ? 1? ? ……(7 分) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

所以 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? [

1 3

(ⅱ)由(ⅰ)得 ? ? 可知

2n ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立, 2n ? 1

2n ? 1 2n 恒成立,……(9 分) ? 0 ,所以 ? ? [n ? 8 ? (?1) n ] ? 2n 2n ? 1
n

令 f (n) ? [n ? 8 ? (?1) ] ?

2n ? 1 ,则 ? ? f (n)min 2n 2n ? 1 4 17 17 25 ? n? ? ? 4? ? 2n n 2 2 2

当 n 为偶数时, f (n) ? ( n ? 8) ? 当且仅当 n ?

4 25 25 ,即 n ? 2 时, f (n) min ? ,所以 ? ? ;……(11 分) n 2 2
2n ? 1 4 15 ? n? ? 2n n 2

当 n 为奇数时, f (n) ? ( n ? 8) ?

可知 f ( n) 随 n 的增大而增大,所以 f (n) min ? f (1) ? ? 分) 综上所诉, ? 的取值范围是 (??, ?

21 21 ,所以 ? ? ? ;…(13 2 2

21 ) ……(14 分) 2

解答: 设生产甲、乙两种棉纱分别为 x、y 吨,利润总额为 z, 则 z=900x+600y y

?2 x ? y ? 250 ? 且 ? x ? 2 y ? 300 ? x ? 0, y ? 0 ?

M

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图) , 即可行域. 作直线 l:900x+600y=0,即 3x+2y=0, 把直线 l 向右上方平移至过直线 2x+y=250 与 直线 x+2y=300 的交点位置 M(

O

3x+2y=0

x

200 350 , ) , 3 3

此时所求利润总额 z=900x+600y 取最大值 130000 元

19.解: (Ⅰ)因为点 A 在 BC 边上的高 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,又在 ?A 的角平分线 y ? 0 上,所

以解方程组 ?

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? y ? 0,

得 A( ? 1,0) .……………2 分

? BC 边上的高所在的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,? kBC ? ?2 ,

? 点 C 的坐标为 (1, 2) ,所以直线 BC 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,

? k AC ? ?1 , ? k AB ? ?k AC ? 1 ,所以直线 AB 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,
解方程组 ?

?x ? y ?1 ? 0 得 B(5, ? 6) , 2 x ? y ? 4 ? 0 ?
……………6 分

故点 A 和点 B 的坐标分别为 ( ? 1,0) , (5, ? 6) .

( Ⅱ ) 依 题 意 直 线 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 l 的 方 程 为 : y ? 2 ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 则

M(

k ?2 1 k ?2 1 4 , 0 )N , ( 0? ,2 k ,所以 ) S?MON ? ? ? (2 ? k ) ? (4 ? k ? ) k 2 k 2 k

1 1 ? [4 ? 2 ? ? (?4k )] ? 4 ,当且仅当 k ? ?2 时取等号,所以 (S?AOB )min ? 4 , 2 k
此时直线 l 的方程是 2 x ? y ? 4 ? 0 . ……………12

x2 ? x ? 12 ? 0 得 解: (1)将 x1 ? 3, x 2 ? 4分别代入方程 ax ? b

? 9 ? ?9 ? ?a ? ?1 x2 ? 3a ? b 解得? , 所以f ( x) ? ( x ? 2). ? 2? x ?b ? 2 ? 16 ? ?8 ? ? 4a ? b
(2)不等式即为

x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ?0 2? x 2? x 2? x

即 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0. ①当 1 ? k ? 2, 解集为x ? (1, k ) ? (2,??). ②当 k ? 2时, 不等式为 ( x ? 2) 2 ( x ? 1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??); ③ 当k ? 2时, 解集为x ? (1,2) ? (k ,??) 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a1 =1, an ? 0 , an an ?1 ? ? Sn ? 1,其 中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ a n }为等差数列?并说明理由. (Ⅰ)由题设 an an ?1 ? ? Sn ? 1, an?1an? 2 ? ? Sn?1 ? 1,两式相减

an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?

…………6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ a n }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ a n }为等差数列:由 an? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2 m ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2
*

∴ an ? 2n ? 1 ( n ? N ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ a n }为等差数列. ………12 分

证明:因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥BC, 又∠BCD=900,CD⊥BC,所以 BC⊥平面 PCD,故 PC⊥BC。 (2) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 易知 DF=

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2

(方法二)体积法: VA? PBC ? VP? ABC , S? PBC ? h ? S? ABC ? PD ,

1 1 ?1? 2 ? h ? ? 2 ?1?1 ? h ? 2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离 2 2
等于 2 。

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