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空间几何体的表面积与体积1


柱体、锥体、台体的表面积

提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的

几何体,它 们的表面积就是各个面的面积的和. 因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平面 图形求面积的方法,求立体图形的表面积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?

棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

h

正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

正棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开
h'

正棱台的侧面展开图

h'

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求 ?ABC的面积,过点S作 SD ? BC,
A B D C

3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

交BC于点D.

S ?ABC 所以:

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积.

思考
? 求多面体的表面积可以通过求

各个平面多边形的面积和得到, 那么旋转体的面积该如何求呢?

圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2?r

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

r O?

r 'O’

l
O

r ’= r
上底扩大

l

r ’= 0
上底缩小

l

r

O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S台 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l )

典型例题
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm

? 999(cm2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是999 .

3

课堂练习
?

?

? ?

?

1、一个三棱柱的底面是正三角形,边长为4, 侧棱与底面垂直,侧棱长10,求其表面积. 2、一个圆台,上、下底面半径分别为10、20, 母线与底面的夹角为60°,求圆台的表面积. 变式:求切割之前的圆锥的表面积 3、面积为2的菱形,绕其一边旋转一周所得 几何体的表面积是多少? 4、若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面 积为3,求这个圆锥的表面积

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

作业布置
? ?

书本P28 A组1,2 附加题:圆锥的底面半径为2cm,高为4cm, 求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.

柱体、锥体、台体的体积

1、长方体的体积
D1 A1 D A C1

d

B1

c
C

S a

B

b

d ? a ?b ?c
2 2 2

2

等底等高柱体的体积相等吗?

2、柱体的体积 定理:等底等高柱体的体积相等

祖恒原理

将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有 什么关系?它们与三棱柱的体积有什么 关系?
3 2

3
2 1

1

思考4:推广到一般的棱锥和圆锥,你猜 想锥体的体积公式是什么?
1 V ? Sh 3

高h

底面积S

3、锥体的体积 定理:等底等高锥体的体积相等

等底等高的 棱柱和棱锥 体积的关系

4、台体的体积

例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg(铁的密度是7.8g/cm3),已 知螺帽的底面是正六边形,边长为12mm, 内孔直径为10mm,,高为10mm,问这堆 螺帽大约有多少个?

求此棱柱挖去圆 柱后的体积和表 面积

引申:1.圆柱的侧面展开图如下左图所示,求此圆柱的 体积。
侧面展开图 直 观 图 1

直观图2

引申2:已知正四棱台两底面的边长, 和棱台体积, 求棱 台的高.

h??

柱、锥、台体积的关系
s' ? s s' ? 0

知识探究(一):球的体积

思考1:从球的结构特征分析,球的大小 由哪个量所确定? 思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么?

V柱 ? ? R

3

V锥

1 3 ? ?R 3

思考3:如图,对一个半径为R的半球,其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系?

思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积,你 猜想半球的体积是什么? 2 3 V球 ? ? R 3

思考5:由上述猜想可知,半径为R的球的 4 3 体积 V ? ? R ,这是一个正确的结论,你 3 能提出一些证明思路吗?

问题:已知球的半径为 R, 用 R 表示球的体积 . A A

ri
O O.
R 2 r2 ? R ? ( ) , n 2R 2 2 r3 ? R ? ( ) , n
2

Ci C2 O

Bi B2

r1 ? R ? R,
2

R 2 ri ? R ? [ (i ? 1)] , i ? 1,2?, n n
2

问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
R ?R i ?1 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2?, n n n n
2

R 2 ri ? R ? [ (i ? 1)] , i ? 1,2,?, n n 3
2

V半球 ? V1 ? V2 ? ?? Vn ?R 3 12 ? 22 ? ? ? (n ? 1) 2 ? [n ? ] 2 n n
?R 3 1 (n ? 1) ? n ? (2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6 1 ( n ? 1)( 2n ? 1) 3 ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6

知识探究(二):球的表面积

思考1:半径为r的圆面积公式是什么?它 是怎样得出来的?
a4

S圆 ? ?r

2

a3 an
a1

a2

思考2:把球面任意分割成n个“小球面 片”,它们的面积之和等于什么?

o

思考3:以这些“小球面片”为底,球心 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥, 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么?它们的体积之和近似地等于什 么?

o

思考4:你能由此推导出半径为R的球的 表面积公式吗?

S ? 4? R

2

思考5:经过球心的截面圆面积是什么? 它与球的表面积有什么关系?

球的表面积等于球的大圆面积的4倍

4 定理:半径是R的球的体积 V ? ?R 3 3
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.

4 3 4 5 3 125 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 2 6

变式1:一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球 的质量是 7.9 ? [ 4 ? ? ( 5 )3 ? 4 ? x 3 ] ? 142 3 2 3 5 3 142 ? 3 3 x ?( ) ? ? 11 .3 2 7.9 ? 4? 由计算器算得:

x ? 2.24 2 x ? 4.5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体
侧棱长为5cm

S侧 ? 6 ? 5 ? 150cm
2

2

例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上,且正方体的表面积为a2,求 球O的表面积和体积. C′ o
A

变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面

两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切. 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上

1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 4 3 3.一个公式:半径为R的球的体积是 V ? ?R

3

4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面

练习一:

2倍。 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—

4倍。 (2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—
(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是——— 。 1: 2 2
3 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是——— 1 : 4。

课本P29B组习题1(考察球、台体体积公式)

20


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