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【创新课堂】2012高一物理 竞赛专题系列专题4 曲线运动


曲线运动
一、复习基础知识点 一、考点内容 1.运动的合成与分解。 2.曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向,且必具有加速度。 3.平抛运动;斜抛运动。 4.匀速率圆周运动、线速度和角速度、周期;圆周运动的向心力、向心加速度。 5.离心运动 二、知识结构

? ?曲线运动的速度方向 ?曲线运动? ?做曲线运动的条件 ? ? ? ?合速度 ? ?合运动

? ? ?合位移 ? ? ? ? ?分速度 ? ? ?运动的合成和分解 分运动? ? ?分位移 ? ? ? ? ? ?运动的合成与分解? 平行四边形定则 ? ? ? ?水平方向匀速直线运动 ? 曲线运动?平抛物体运动规律 ? ?竖直方向自由落体运动 ? ? v ?水平方向以初速度 0 x ? v0 cos?做匀速运动 ? ?斜抛运动的规律 ? ? v 动 ?竖直方向以初速度 y ? v0 sin ?做竖直上(或下)抛运 ? ? ? ? ?线速度、角速度 ? ? ? ?基本概念?周期、频率 ? 匀速圆周运动 ? ?向心力、向心加速度 ? ? ? ? 三、复 ?应用实例 ? ? ? ? ? ?
习思路 复习本单元除了掌握基础知识点外,要掌握处理问题的基本方法,如运动合成和分解的方 法、平行四边形定则等;同时要学会应用基本规律处理实际问题,如运动学公式、牛顿第二 定律、万有引力规律的应用;还要掌握主要物体运动形式的规律,如平抛物体运动的规律和 匀速圆周运动的规律。 做好本单元的复习,应注意做好以下几点: 1.运动的合成与分解是本单元的难点,在学习中,要明确合成与分解的定则,以及实际运 动或运动量的合成与分解,并了解运动的独立性和等时性。 2.小船渡河问题和绳拉物体问题都是运动的合成与分解的典型例子,分析这些问题时要搞 清运动分解的根据——效果。通过训练,应熟练掌握。

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3.对于曲线运动要搞清曲线运动瞬时速度的方向、曲线运动的条件,能按照曲线运动的形 状判断合力的大体方向。结合平抛运动和圆周运动弄清曲线运动的条件和性质。 4.在圆周运动中,要明确向心力与物体的合外力的关系。在匀速圆周运动中,合外力就是 向心力,另外对具体问题要会分析什么力提供向心力。

F ?m

v2 ? m? 2 r 是牛顿第二定律 r

在圆周运动中的应用。 5.从近几年高考看,本单元主要考查对平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由 落体运动的合运动的理解。熟练掌握运动的合成与分解,理解并掌握匀速圆周运动及重要公 式,如线速度、角速度、向心力等。考题多为主观性较强的综合性试题,考题知识覆盖面宽, 一题中考查的知识点多,更多的是与电场、磁场、机械能相结合的综合题,以及与实际生活、 新科技、新能源等相结合的应用性题型,在学习过程中要加强本单元知识的综合及应用题训 练。 基础题 1.平抛物体的运动规律可以概括为两点: (1)水平方向做匀速运动; (2)竖直方向做自由 落体运动。为了研究平抛物体的运动,可做下面的实验:如图所示,用小锤打击弹性金属片, A 球就水平飞出,同时 B 球被松开,做自由落体运动,两球同时落到地面。 这个实验: A、只能说明上述规律中的第(1)条 B、只能说明上述规律中的第(2)条 C、不能说明上述规律中的任何一条 D、能同时说明上述两条规律 2.一物体由静止开始自由下落一小段时间后突然受一恒定的水平风力的影响,则其运动轨 迹可能的情况是图中的:

3.甲、乙两物体做匀速圆周运动,其质量之比为 1:2,转动半径之比为 1:2,在相等时 0 0 间里甲转过 60 ,乙转过 45 ,则它们所受合外力之比为: A、1:4 B、2:3 C、4:9 D、9:16 4.排球场总长 18m,网高 2.25 m,如图所示,设对方飞来一球,刚好在 3m 线正上方被我方 运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的,那么可认为排球被击回时做 2 平抛运动。 取 10m/s ) (g (1)若击球的高度 h=2.5m,球击回的水平速度与底线垂直,球既不能触网又不出底线,则 球被击回的水平速度在什么范围内? (2)若运动员仍从 3m 线处起跳,起跳高度 h 满足一定条件 时,会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界,试 求 h 满足的条件。

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二、从高考到初赛要求知识要点分析 一、运动的合成与分解 1、标量和矢量 物理量分为两大类:凡是只须数值就能决定的物理量叫做标量,例如:时间、路程、质量、 温度、功和能量等;另一类,既有大小,也需要方位和指向才能确定的物理量叫做失量,例 如:位移、速度、加速度、力、动量都是矢量。标量和矢量在进行运算时遵守不同的法则, 标量的运算遵守代数法则如加、减、乘、除等。而矢量的运算不能用上述法则。中学常用的 矢量运算是所谓矢量的合成与分解,这种运算都遵守平行四边形定则(或三角形法则) 。当矢 量在一条直线上合成和分解时,规定正方向后,可转化为代数运算。 2.运动的合成 由已知的分运动求其合运动叫运动的合成.这既可能是一个实际问题,即确有一个物体同 时参与几个分运动而存在合运动;又可能是一种思维方法,即可以把一个较为复杂的实际运 动看成是几个基本的运动合成的,通过对简单分运动的处理,来得到对于复杂运动所需的结 果. 描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量,运动的合成应遵循矢量运算的法则: (1)如果分运动都在同一条直线上,需选取正方向,与正方向相同的量取正,相反的量取负, 矢量运算简化为代数运算. (2)如果分运动互成角度,运动合成要遵循平行四边形定则. 3.合运动的性质取决于分运动的情况: ①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动. ②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动,二者共线时,为匀变速直线运动, 二者不共线时,为匀变速曲线运动。 ③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动,当合运动的初速度与合运动的加速度共线时 为匀变速直线运动,当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。 3、运动的分解 1.已知合运动求分运动叫运动的分解. 2.运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则. 3.将速度正交分解为 vx=vcosα 和 vy=vsinα 是常用的处理方法. 4.速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解,常用的思想方法有两种:一种思想 方法是先虚拟合运动的一个位移,看看这个位移产生了什么效果,从中找到运动分解的办法; 另一种思想方法是先确定合运动的速度方向(物体的实际运动方向就是合速度的方向) ,然后 分析由这个合速度所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向. 4、合运动与分运动的特征: (1)等时性:合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等. (2)独立性:一个物体可以同时参与几个不同的分运动,各个分运动独立进行,互不影响. (3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系,不能并存; (4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量,其合成和分解遵循平行四边形定则。 【例1】如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A,小车下装有吊着物体B的吊 钩.在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体B向上吊起, A、B之间的距离以 d ? H ? 2t
2

(SI)(SI表示国际单位制,式中H为

吊臂离地面的高度)规律变化,则物体做 (A)速度大小不变的曲线运动. (B)速度大小增加的曲线运动.

-3-

(C)加速度大小方向均不变的曲线运动. (D)加速度大小方向均变化的曲线运动. 答案:B C 5、物体做曲线运动的条件 1.曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线;曲线运动的速度方向是该点的切线方向;曲线运动 速度方向不断变化,故曲线运动一定是变速运动. 2.物体做一般曲线运动的条件:运动物体所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方向 不在同一直线上(即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π 的夹角) . 说明:当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时,物体做曲线运动速率将增 大,当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时,物体做曲线运动的速率将减小。 3.重点掌握的两种情况:一是加速度大小、方向都不变的曲线运动,叫匀变曲线运动,如平 抛运动;另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动,如匀速圆周运动. 规律方法 1、运动的合成与分解的应用 合运动与分运动的关系:满足等时性与独立性.即各个分运动是独立进行的,不受其他运动 的影响,合运动和各个分运动经历的时间相等,讨论某一运动过程的时间,往往可直接分析 某一分运动得出. 【例 2】小船从甲地顺水到乙地用时 t1,返回时逆水行舟用时 t2,若水不流动完成往返用时 t3,设船速率与水流速率均不变,则( ) A.t3>t1+t2 ; B.t3=t1+t2; C.t3<t1+t2 ; D.条件不足,无法判断 解析:设船的速度为 V,水的速度为 v0, 则 t1 ?
S S 2S , t2 ? , t3 ? , 因此t1 V ? v0 V ? v0 V

? t2 ?

2VS V ? v0
2 2

?

2S v2 V? 0

<
V

2S ,故选 C V
0

【例 3】如图所示,A、B 两直杆交角为 60 ,交点为 M,若两杆各 垂直于自身的速度 V1、V2 沿着纸面运动,V1= V2=1m/s,则交点 M 速度为多大? 解析:如图所示,若 B 杆不动,A 杆以 V1 速度运动,交点将沿 B
/ / 移动,速度为 V 1 ,V 1 =V1/sinθ .若 A 杆不动,B 杆移动时,交

以 的 杆 点 M

/ / 将沿 A 杆移动,速度为 V 2 ,V 2 =V2/sinθ .两杆一起移动时,交点 M 的速度 vM 可看成两个分





V

/ 1



V

/ 2













vM









/ / / / 2 2 vM= v1 2 ? v 2 2 ? 2v1 v 2 cos 1800 ? ? = v1 ? v 2 ? 2v1v 2 cos? / sin? = 3 /2 m/s

?

?

【例 4】玻璃板生产线上,宽 9m 的成型玻璃板以 4 3 m/s 的速度连续不断 地向前行进,在切割工序处,金刚钻的走刀速度为 8m/s,为了使割下的玻 璃板都成规定尺寸的矩形, 金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间 多长? 解析:要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直 v,如图

-4-

设 v 刀与 v 玻方向夹角为θ ,cosθ =v 玻/v 刀=4 3 /8,则θ =30 。
2 2 v= v 刀 ? v 玻 = 64? 48 =4m/s。

0

时间 t=s/v=9/4=2.45s 【例 5】如图所示的装置中,物体 A、B 的质量 mA>mB。最初,滑轮 两侧的轻绳都处于竖直方向,若用水平力 F 向右拉 A,起动后,使 B 匀速上升。设水平地面对 A 的摩擦力为 f,绳对 A 的拉力为 T,则 ↑B 力 f,T 及 A 所受合力 F 合的大小( ) A.F 合≠O,f 减小,T 增大; B.F 合≠O,f 增大,T 不变; C. F 合=O,f 增大,T 减小; D. F 合=O,f 减小,T 增大; 分析:显然此题不能整体分析。B 物体匀速上升为平衡状态, 所受的绳拉力 T 恒等于自身的重力,保持不变。A 物体水 其速度可分解为沿绳长方向的速度(大小时刻等于 B 物 和垂直于绳长的速度(与 B 物体的速度无关) ,写出 A 物 物体速度的关系式,可以判断是否匀速,从而判断合力 解:隔离 B 物体:T=mBg,保持不变。隔离 A 物体:受力分 示,设绳与水平线夹角为θ ,则: ①随 A 物体右移,θ 变小,由竖直平衡可以判断支持力变大。 由 f=μ N,得 f 变大。 ②将 A 物体水平运动分解如图所示,有 vB=vAcosθ ,故随θ 变 小,cosθ 变大,VB 不变,VA 变小,A 物体速度时时改变,必有 F ≠O。 所得结论为:F 合≠O,f 变大,T 不变。B 项正确。 【例 6】如图所示,A、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻 绳的两端,当 A 物体以速度 v 向左运动时,系 A,B 的绳分别与 水平方向成 a、β 角,此时 B 物体的速度大小为 ,方向水平向右 解析:根据 A,B 两物体的运动情况,将两物体此时的速度 v 和 vB 分别分解为两个分速度 v1(沿绳的分量) 和 v2(垂直绳的分量)以及 vB1(沿绳的分量) 和 vB2(垂直绳的分量) ,如图,由于两物体沿绳 的速度分量相等,v1=vB1,vcosα =vBcosβ . 则 B 物体的速度方向水平向右,其大小为 vB ?
cos ? v cos ?

A

F

平运动, 体的速度) 体速度与 B 是否为零。 析如图所



【例 7】 一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 V0 匀速运动。在半圆柱体上搁置一根 竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动,如图 7 所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与 竖直方向的夹角为θ ,求竖直杆运动的速度。 解析:设竖直杆运动的速度为 V1,方向竖直向上, 由于弹力方向沿 OP 方向,所以 V0、V1 在 OP 方向的投影相等,即有 V R θ P O
1

V
0

-5-

V0 sin ? ? V1 cos? ,解得 V1=V0.tgθ .

2、小船渡河问题分析 【例 8】一条宽度为 L 的河,水流速度为 vs,已知船在静水中的航速为 vc,那么, (1)怎样渡 河时间最短? (2) vs<vc 怎样渡河位移最小? 若 (3) vs>vc, 若 怎样渡河船漂下的距离最短? 分析与解: (1)如图 2 甲所 B E Vc Vc 示,设船上头斜向上游与河 V1 V V Vc 岸成任意角θ ,这时船速在 Vs Vs A α θ Vs θ θ 垂直于河岸方向的速度分量 V2 图 2 甲 图2乙 图2丙 V1=Vcsin θ , 渡 河 所 需 时 间 为:t ?

L .可以看出: Vc sin ?
0

L、Vc 一定时,t 随 sinθ 增大而减小;当θ =90 时,sinθ =1,所以,当船头与河岸垂直时,渡 河时间最短, t min ?

L . Vc

(2)如图 2 乙所示,渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于 L,必须使船的合速度 V 的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ 。根据三角函数关 系有:Vccosθ ─Vs=0. 所以θ =arccosVs/Vc,因为 0≤cosθ ≤1,所以只有在 Vc>Vs 时,船才有可能垂直于河岸横 渡。 (3)如果水流速度大于船上在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游。 怎样才能使漂下的距离最短呢? 如图 2 丙所示,设船头 Vc 与河岸成θ 角,合速度 V 与河岸成α 角。可以看出:α 角越大,船 漂下的距离 x 越短,那么,在什么条件下α 角最大呢?以 Vs 的矢尖为圆心,以 Vc 为半径画圆, 当 V 与圆相切时,α 角最大,根据 cosθ =Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为:θ =arccosVc/Vs. 船漂的最短距离为: xmin ? (Vs ? Vc cos? )

L . Vc sin ?

此时渡河的最短位移为: s ?

L V ? s L. cos? Vc

思考:①小船渡河过程中参与了哪两种运动?这两种运动有何关系? ②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么? 二、抛体运动 将质点以一定的初速度抛出后,只在重力作用下的运动叫做抛体运动,可分为以下几种: 1.自由落体运动以及竖直上抛运动。 (轨迹为直线,我们在第二部分的讲义中有详尽的 分析,在此不再讲解! )

-6-

2.平抛物体的运动:将物体沿水平方向抛出,其运动为平抛运动. (1)运动特点:a、只受重力;b、初速度与重力垂直.尽管其速度大小和方向时刻在改变, 但其运动的加速度却恒为重力加速度 g,因而平抛运动是一个匀变速曲线运动 (2)平抛运动的处理方法:平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落 体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性,又具有等时性.

(3)平抛运动的规律:以物体的出发点为原点,沿水平和竖直方向建成立坐标。 ax=0??① ay=0??④ 水平方向 vx=v0 ??② 竖直方向 vy=gt??⑤ 2 x=v0t??③ y=?gt ??⑥ ①平抛物体在时间 t 内的位移 S 可由③⑤两式推得 s=

?v0 t ?2 ? ? 1 gt 2 ? ? ?
?2 ?

2

=

t 4 4v0 ? g 2 t 2 , 2

②位移的方向与水平方向的夹角α 由下式决定 2 tgα =y/x=?gt /v0t=gt/2v0
2 ③平抛物体经时间 t 时的瞬时速度 vt 可由②⑤两式推得 vt= v 0 ? ?gt?2 ,

④速度 vt 的方向与水平方向的夹角β 可由下式决定 tgβ =vy/vx=gt/v0 ⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间 t 而推得:y= 运动的轨迹是一条抛物线. ⑥运动时间由高度决定,与 v0 无关,所以 t= 2h / g ,水平距离 x=v0t=v0 2h / g ⑦Δ t 时间内速度改变量相等,即△v=gΔ t,Δ V 方向是竖直向下的.说明平抛运动是匀变 速曲线运动. (4)处理平抛物体的运动时应注意: ① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的,其中每个分运动都不会因另一个分运 动的存在而受到影响——即垂直不相干关系; ② 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性,运动时间由高度决定,与 v0 无关; ③ 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹 角,由上证明可知 tgβ =2tgα 【例 1】 物块从光滑曲面上的 P 点自由滑下,通过粗糙的 静止水平传送带以后落到地面上的 Q 点,若传送带的皮带 轮沿逆时针方向转动起来,使传送带随之运动,如图 1-16 所示,再把物块放到 P 点自由滑 下则 A.物块将仍落在 Q 点 B.物块将会落在 Q 点的左边 C.物块将会落在 Q 点的右边 D.物块有可能落不到地面上 解答:物块从斜面滑下来,当传送带静止时,在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力,物块 将做匀减速运动。离开传送带时做平抛运动。当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向 前运动,受到滑动摩擦力方向与运动方向相反。 物体做匀减速运动,离开传送带时,也做平
-7-

g
2 2v 0

·x , 可见,平抛物体

2

抛运动,且与传送带不动时的抛出速度相同,故落在 Q 点,所以 A 选项正确。 【小结】若此题中传送带顺时针转动,物块相对传送带的运动情况就应讨论了。 (1)当 v0=vB 物块滑到底的速度等于传送带速度,没有摩擦力作用,物块做匀速运动,离开传 送带做平抛的初速度比传送带不动时的大,水平位移也大,所以落在 Q 点的右边。 (2)当 v0>vB 物块滑到底速度小于传送带的速度,有两种情况,一是物块始终做匀加速运动, 二是物块先做加速运动,当物块速度等于传送带的速度时,物体做匀速运动。这两种情况落 点都在 Q 点右边。 (3)v0<vB 当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度,有两种情况,一是物块一直减速, 二是先减速后匀速。第一种落在 Q 点,第二种落在 Q 点的右边。 规律方法 1、平抛运动的分析方法 用运动合成和分解方法研究平抛运动,要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动,即水 平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动. 其运动规律 V0 有两部分:一部分是速度规律,一部分是位移规律.对具体的平 V0 A 抛运动, 关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律 Vy1 有关 B θ 【例 2】如图在倾角为 θ 的斜面顶端 A 处以速度 V0 水平抛出一 小球,落在斜面上的某一点 B 处,设空气阻力不计,求 图8 (1)小球从 A 运动到 B 处所需的时间; (2)从抛出开始计时,经过多长时间小球离斜面的距离达到最大? 解析: (1)小球做平抛运动,同时受到斜面体的限制,设从球从 A 运动到 B 处所需的时 间为 t,则:水平位移为 x=V0t

竖直位移为 y=

2V tan? 1 2 1 gt , 由数学关系得到: gt 2 ? (V0 t ) tan? , t ? 0 2 2 g

(2)从抛出开始计时,经过 t1 时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时, 小球离斜面的距离达到最大。因 Vy1=gt1=V0tanθ ,所以 t1 ?

V0 tan? g

【例 3】 已知方格边长 a 和闪光照相的频闪间隔 T,求:v0、g、

vc
解:水平方向: v 0 ?
2a T

竖直方向: ?s ? gT 2 ,? g ? a2 T

先求 C 点的水平分速度 vx 和竖直分速度 vy,再求合速度 vC:

A

B C D

v x ? v0 ?

2a 5a a ,vy ? ,? vc ? T 2T 2T

41

【例 4】如图所示,一高度为 h=0.2m 的水平面在 A 点处与一倾角 为θ =30°的斜面连接,一小球以 V0=5m/s 的速度在平面上向右运动。求小球从 A 点运动到地 2 E 面所需的时间(平面与斜面均光滑,取 g=10m/s ) 。 某同学对此题的解法为:小球沿斜面运动,则 A B A h 1 问: h ? V t ? g sin ? ? t , 由此可求得落地的时间 t。 sin ? 2 θ
2 0

-8-

你同意上述解法吗?若同意, 求出所需的时间; 若不同意, 由并求出你认为正确的结果。 解析:不同意。小球应在 A 点离开平面做平抛运动,而不 下滑。 正 确 做 法 为 : 落 地 点 与 A 点 的 水 平 距 离
s ? V0 t ? V0 2h 2 ? 0.2 ? 5? ? 1(m) g 10

则说明理 是沿斜面

斜面底宽

l ? hctg? ? 0.2 ? 3 ? 0.35(m)

因为 s ? l ,所以小球离开 A 点后不会落到斜面,因此落地时间即为平抛运动时间。 ∴
t? 2h ? g 2 ? 0.2 ? 0.2( s) 10

2、平抛运动的速度变化和重要推论 ①水平方向分速度保持 vx=v0.竖直方向,加速度恒为 g,速度 vy =gt,从抛出点起,每隔Δ t 时间的速度的矢量关系 如图所示.这一矢量关系有两个特点: (1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度 v0; (2)任意相等时间间隔Δ t 内的速度改变量均竖直向下, 且Δ v=Δ vy=gΔ t. ②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的 反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点 的距离都等于水平位移的一半。 证明:设时间 t 内物体的水平位移为 s, 竖直位移为 h,则末速度的水平分量 vx=v0=s/t, 而竖直分量 vy=2h/t,
tan? ? vy vx ? 2h , s

v0

α

s/

h s vy α vx vt

所以有 s ? ?

h s ? tan ? 2

【例 5】从倾角为θ =30°的斜面顶端以初动能 E=6J 向下坡方向平抛出一个小球,则小球落到 / 斜面上时的动能 E 为______J。 解:以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形 ABCD,可以证明末速度 vt 的反向延长线必然交

AB 于其中点 O,由图中可知 AD∶AO=2∶ 3 ,由相似形可知 vt∶v0= 7 ∶ 3 ,因此很容易可
以得出结论:E =14J。 3、平抛运动的拓展(类平抛运动) 【例 7】如图所示,光滑斜面长为 a,宽为 b,倾角为θ ,一物块沿斜面左上方顶点 P 水平射 入,而从右下方顶点 Q 离开斜面,求入射初速度.
/

-9-

解析:物块在垂直于斜面方向没有运动,物块沿斜面方向上的曲线运动可分解为水平方向上 初速度 v0 的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀 加速运动. 在沿斜面方向上 mgsinθ =ma 加 a 加=gsinθ ???①, 水平方向上的位移 s=a=v0t??②, 2 沿斜面向下的位移 y=b=? a 加 t ??③, 由①②③得 v0=a·
g sin ? 2b

说明:运用运动分解的方法来解决曲线运动问题,就是分 个分运动,根据分运动的运动性质,选择合适的运动学公

析好两 式求解

【例 8】从高 H 处的 A 点水平抛出一个物体,其水平射程 为 2s。 若在 A 点正上方高 H 的 B 点抛出另一个物体, 其水平射程 为 s。 已知两物体的运动轨迹在同一竖直平面内, 且都从同一竖 屏M的 顶端擦过,如图所示,求屏 M 的高度 h? 分析:思路 1:平抛运动水平位移与两个因素有关:初速 大小和 抛出高度,分别写出水平位移公式,相比可得初速之比,设出屏 M 的顶端到各抛出点的高度, 分别写出与之相应的竖直位移公式,将各自时间用水平位移和初速表示,解方程即可。 思路 2:两点水平抛出,轨迹均为抛物线,将“都从同一竖屏 M 的顶端擦过”转化为数学 条件:两条抛物线均过同一点。按解析几何方法求解。 解析:画出各自轨迹示意图 法一:由平抛运动规律根据题意得 2 2 2s=VAtA?①,s=VBtB??②,H=?gtA ?③, 2H=?gtB ??④
2 tB , vA ? 2 2vB ,又设各自经过时间 t1、t2 从屏 M 2 2 2 的顶端擦过,则在竖直方向上有 H-h=?gt1 ,2H-h=?gt2 ,

可得: t ?
A

在水平方向上有 x=vAt1=vBt2,由以上三式解得 h=6H/7。 法二:由平抛运动规律可得抛物线方程 y ?
g 2 x ,依题意有 2v0

yA=H-h,yB=2H-h 时所对应的 x 值相同,将(x,yA) (x,yB)分别代入各自的抛物线方程联 立求出 h=6H/7。 三、圆周运动的应用 知识简析 (一) 圆周运动的临界问题 1.圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程,对研究对象进行正确的受力分析,然后确定向心力,根据向心力公 式列出方程,由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系,从而分析找到临界值. 2.特例(1)如图所示,没有物体支撑的小球,在竖 直平面做圆周运动过最高点的情况: 注意:绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 ①临界条件:绳子或轨道对小球没有力的作用:

- 10 -

mg=mv /R→v 临界= Rg (可理解为恰好转过或恰好转不过的速度) 注意:杆与绳不同,杆对球既能产生拉力,也能对球产生支持力. ①当 v=0 时,N=mg(N 为支持力) ②当 0<v< Rg 时, N 随 v 增大而减小,且 mg>N>0,N 为支持力. ③当 v= Rg 时,N=0 ④ 当 v> Rg 时,N 为拉力,N 随 v 的增大而增大(此时 N 为拉力,方 向指向圆心) 注意:管壁支撑情况与杆子一样 若是图(b)的小球,此时将脱离轨道做平抛运动.因为轨道对小球不能产生拉力.

2

(二) “质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系 (1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动,所以质点在做变速运动,处于非平衡状态。 (2)物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不在转动轴上 的任意微小质量团(可说成质点) ,则均在做匀速圆周运动。 规律方法 1.圃周运动中临界问题分析,应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态,然后分析该状态 下物体的受力特点.结合圆周运动的知识,列出相应的动力学方程 / 【例 1】在图中,一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 OO 旋转,现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中 心,另一端系住一个质量为 m 的物块 A,设弹簧劲度系数为 k,弹簧原长为 L。将物块置于离 圆心 R 处,R>L,圆盘不动,物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动,并使转速ω 逐渐增 大,物块 A 相对圆盘始终未惰动。当ω 增大到 ? ?
5k ? R ? l ? 4mR

时,物块 A 是否受到圆盘的静摩 O R

擦力,如果受到静摩擦力,试确定其方向。 【解析]对物块 A,设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω 0,此时向心 力仅为弹簧弹力;若ω >ω 0,则需要较大的向心力,故需添加指向圆心 的静摩擦力;若ω <ω 0,则需要较小的向心力,物体受到的静摩擦力必 背离圆心。 依向心力公式有 mω 0 R=k(R-L), 所以 ? ?
2
0

k ?R ?l? mR

, ?? 故

5k R l ? ? 4mR

?

O
/

时,得ω >ω 0。可见物块所受静摩擦力指向圆心。 0 【例 2】如图所示,赛车在水平赛道上作 90 转弯,其内、外车道转弯处的半径分别为 r1 和 r2, 车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ .试问:竞赛中车手应选图中的内道转弯还是 外道转弯?在上述两条弯转路径中,车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少? 分析:赛车在平直道路上行驶时,其速度值为其所能达到的最大值,设为 vm。转弯时,车做圆 周运动,其向心力由地面的静摩擦力提供,则车速受到轨道半径和向心加速度的限制,只能 达到一定的大小.为此,车在进入弯道前必须有一段减速过程,以使其速度大小减小到车在 弯道上运行时所允许的速度的最大值,走完弯路后,又要加速直至达到 vm。车道的选择,正 是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定.

- 11 -

对于外车道,设其走弯路时所允许的最大 车速为 v2, 则应有 mv2 /r2=μ mg 解得 v2= ?r2 g
2

如图所示,设车自 M 点开始减速,至 N 点其速度减为 v2,且刚好由此点进入弯道, 此减速过程中加速度的大小为 a=μ mg/m=μ g 此减速过程中行驶的路径长度 (即 MN 的长度) 为 x2=
2 2 vm ? v2 v2 r = m - 2 2a 2 ?g 2

车沿弯道到达 A 点后,由对称关系不难看出,它又要在一段长为 x2 的路程上加速,才能达到 速度 vm。上述过程所用的总时间为 t2=t 减速+t 圆弧+t 加速=
2v ?r r vm ? v2 v ?v ? + 2 + m 2 = m -(2- ) 2 2v 2 ?g ?g 2 a a 2v m r ? -(2- ) 1 ?g ?g 2

同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为 t1=

另一方面,对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较,由图可见,车往内车道多 走了长度 Δ L= r2- rl

同时,在直线道上车用于加速和减速的行程中,车往内道也多走了长度 Δ x=2x1-2x2= r2- rl 由于上述的Δ L 和Δ x 刚好相等,可见车在直道上以 vm 匀速行驶的路程长度对于内外两道来说 是相等的.这样,为决定对内外道的选择,只需比较上述的 t1 和 t2 即可由于 t2<t1,显然, 车手应选择走外道,由此赢得的时间为

? r ? r1 Δ t=t1 一 t2= (2 ? ) 2 2 ?g
2.求解范围类极值问题,应注意分析两个极端状态,以确定变化范围 【例 3】如图,直杆上 0102 两点间距为 L,细线 O1A 长为 3L ,O2A 长为 L,A 端小球质量为 m, 要使两根细线均被拉直,杆应以多大的角速度ω 转动? 解析:当ω 较小时线 O1A 拉直,O2A 松弛,而当ω 太大时 O2A 拉直, O1A 将松弛. 设 O2A 刚好拉直,但 FO2A 仍为零时角速度为ω 1,此时∠O2O1A =30 ,对小球: 在竖直方向 FO1A·cos30 =mg??① O 在水平方向:FO1A·sin30 = m?
0
2 1

0

0

B a L ω

A

3L ? sin 30 ?②
0

由①②得 ? ? 2 g 3L
1

- 12 -

设 O1A 由拉紧转到刚被拉直, FO1A 变为零时角速度为ω 2 对小球:FO2A·cos60 =mg??③ FO2A·sin60 =mω 2 L·sin60 ???④ 由③④得 ? ? 2g L ,故 2 g 3L ?? ? 2 g L
2

0

0

2

0

处理曲线运动的科学方法 一、微元法 例 1:一质量为 M 、均匀分布的圆环,其半径为 r ,几何轴与水平面垂直,若它能经受 的最大张力为 T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。 解析:因为向心力 F = mrω ,当 ω 一定时,r 越大, 向心力越大,所以要想求最大张力 T 所对应的角速度 ω ,r 应取最大值。 如图 3—6 所示,在圆环上取一小段 Δ L ,对应的圆心 角为 Δ θ ,其质量可表示为 Δ m = 力为 T ,则同上例分析可得: 2Tsin
?? 2 = Δ mrω 2 ?? ?? ?? ?? 2 ≈ ,即:2T ? = M rω 2 2 2 2?
2

?? M ,受圆环对它的张 2?

因为 Δ θ 很小,所以:sin 解得最大角速度:ω =

2?T Mr

例 2:如图 3—11 所示,小环 O 和 O′分别套在不动的竖直杆 AB 和 A′B′上,一根不可 伸长的绳子穿过环 O′,绳的两端分别系在 A′点和 O 环上,设环 O′以恒定速度 v 向下运动, 求当∠AOO′= α 时,环 O 的速度。 解析:O 、O′之间的速度关系与 O 、O′的位置有关,即与α 角有关,因此要用微元法 找它们之间的速度关系。 设经历一段极短时间 Δ t ,O′环移到 C′,O 环移到 C ,自 C′与 C 分别作为 O′O 的垂 线 C′D′和 CD ,从图中看出。 OD O?D? OC = ,O′C′= ,因此: cos ? cos ? OC + O′C′=
OD ? O?D? cos ?



因 Δ α 极小,所以 EC′≈ED′,EC≈ED ,从而: OD + O′D′≈OO′-CC′ ② 由于绳子总长度不变,故:OO′- CC′= O′C′ ③ O?C? 由以上三式可得:OC + O′C′= , cos ? 即:OC = O′C′(
1 -1) cos ?
- 13 -

等式两边同除以 Δ t 得环 O 的速度为:v0 = v(

1 -1) cos ?

等效法 在一些物理问题中,一个过程的发展、一个状态的确定,往往是由多个因素决定的,在这一决 定中, 若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同, 则前一些因素与后一些因素是等效的, 它们便可以互相代替,而对过程的发展或状态的确定,最后结果并不影响,这种以等效为前提而使 某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。 等效思维的实质是在效果相同的情况下,将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题,以便 突出主要因素,抓住它的本质,找出其中规律。因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复 杂的因素,以使问题得到简化而便于求解。 例:如图 4—1 所示,水平面上,有两个竖直的光滑墙壁 A 和 B ,相距为 d =2.5m,一个 小球以初速度 v0=10m/s 从两墙之间的 O 点斜向上抛出,与 A 和 B 各发生一次碰撞后,每次碰 撞时速度大小保持不变,正好落回抛出点,求小球的抛射角 θ 。g=10m/s 解析:将弹性小球在两墙之间的反弹运动,可等效 为一个完整的斜抛运动(见图) 。所以可用解斜抛运动 的方法求解。 由题意得:2d = v0cosθ ? t = v0cosθ ? 可解得抛射角: sin2θ = 对称法 由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性,从而使对称现象 普遍存在于各种物理现象和物理规律中。应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质 世界的某些基本规律,而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题,这种思维方法在物理 学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓 住问题的实质,出奇制胜,快速简便地求解问题。 例 1:沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球 A ,抛出点离水平地面的高 度为 h ,距离墙壁的水平距离为 s ,小球与墙壁发生弹性碰撞(碰撞后速度大小保持不变) 后,落在水平地面上,落地点距墙壁的水平距离为 2s ,如图 7—1 所示。求小球抛出时的初 速度。
- 14 2

2v 0 sin ? g

2gd 0 ,代入数据, θ =15 得 2 v0

解析: 因小球与墙壁发生弹性碰撞, 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性, 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称,如图 7—1—甲所示,所 以小球的运动可以转换为平抛运动处理, 效果上相当于小球从 A′点水平抛出所做的运动。 根据平抛运动的规律: ?
? x ? v0 t ? 1 2 ? y ? 2 gt ?

因为抛出点到落地点的距离为 3s ,抛出点的高度为 h ,代入后可解得: v0 = x
g g = 3s 2h 2y

例 2:A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形,每只猎犬追捕猎物 的速度均为 v ,A 犬想追捕 B 犬,B 犬想追捕 C 犬,C 犬想追捕 A 犬,为追捕到猎物,猎犬不 断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可捕捉到猎物? 解析:以地面为参考系,三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线,但根据对称性,三只 猎犬最后相交于三角形的中心点,在追捕过程中,三只猎犬的位置构成三角形的形状不变, 以绕点旋转的参考系来描述,可认为三角形不转动,而是三个顶点向中心靠近,所以只要求 出顶点到中心运动的时间即可。 由题意作图 7—3 ,设顶点到中心的距离为 s ,则由已知条件得:s =
3 a 3

由运动合成与分解的知识可知,在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为: v′= vcos30°=
3 v 2
s 2a = v? 3v

由此可知三角形收缩到中心的时间为:t =

(此题也可以用递推法求解,读者可自己试解。 )

近似法 近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问 题时,为了分析认识所研究问题的本质属性,往往突出实际问题的主要方面,忽略某些次要 因素, 进行近似处理.在求解物理问题时, 采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法. 近似法是研究物理问题的基本思想方法之一,具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近 似处理,是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题,越来越 多地注重这种能力的考查.
- 15 -

例 1:一只狐狸以不变的速度 ?1 沿着直线 AB 逃跑,一只猎犬以不变的速率 ? 2 追击,其运 动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在 F 处,猎犬在 D 处,FD⊥AB,且 FD=L,如图 14—1 所示, 求猎犬的加速度的大小. 解析:猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变,故猎 犬做匀速率曲线运动,根据向心加速度 a ?
2 ?2

r

, r 为猎犬所在处

的曲率半径,因为 r 不断变化,故猎犬的加速度的大小、方向都 在不断变化,题目要求猎犬在 D 处的加速度大小,由于 ? 2 大小 不变,如果求出 D 点的曲率半径,此时猎犬的加速度大小也就求 得了. 猎犬做匀速率曲线运动, 其加速度的大小和方向都在不断改 变.在所求时刻开始的一段很短的时间 ?t 内,猎犬运动的轨迹可 近似看做是一段圆弧,设其半径为 R,则加速度 图 14—1

a?

2 ?2 R

其方向与速度方向垂直,如图 14—1—甲所示.在 ?t 时间内, 设狐狸与猎犬分别 到达 F ?与D? ,猎犬的速度方向转过的角度为

? ? ? 2 ?t /R
而狐狸跑过的距离是: ?1 ?t ≈ ?L 因而 ? 2 ?t /R≈ ?1 ?t /L,R=L ? 2 / ?1
2 ?2 所以猎犬的加速度大小为 a ? = ?1 ? 2 /L R

图 14—2—甲

提高题: 1.降落伞在下落一定时间以后的运动是匀速的.设无风时某跳伞员着地的速度是 5.0m/s.现 有正东风,风速大小是 4.0m/s,跳伞员将以多大的速度着地?这个速度的方向怎样?

- 16 -

2.如图所示,实线为某质点平抛轨迹的一部分,测得 AB、BC 间水平距离△s1=△s2=0.4m, 高度差△h1=0.25m,△h2=0.35m,问: (1)质点平抛的初速度 v0 为多大? (2)抛出点到 A 点的水平距离和竖直距离各为多少?

3.如图所示,在离地高为 h、离竖直光滑墙的水平距离为 s1 处有一小球以 v0 的速度向墙 水平抛出,与墙碰后落地,不考虑碰撞的时间及能量损失,则落地点到墙的距离 s2 为多大?

4.如图所示,M、N 是两个共轴的圆筒,外筒半径为 R,内筒半径比 R 小很多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两筒之间抽成真空,两筒以 相同的角速度 ω 绕其中心轴线(图中垂直于纸面)作匀速转动.设从 M 筒内 部可以通过平行于轴线的窄缝 S,不断地向外射出两种不同速率 v1 和 v2 的

- 17 -

微粒.微粒从 S 处射出时的初速度的方向沿筒的半径方向,微粒到达 N 筒后就附着在 N 筒上, 如果 R、v1 和 v2 都不变,而 ω 取某一合适的值,则( ) (A)有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在 a 处一条与 S 缝平行的窄条上 (B)有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在某处如 b 处一条与 S 缝平行的窄条上 (C)有可能使微粒落在 N 筒上的位置分别在某两处如 b 和 c 处与 S 缝平行的窄条上 (D)只要时间足够长,N 筒上将到处落有微粒 5.如图所示,直径为 d 的纸筒以角速度 ω 绕轴 O 匀速转动,从枪口发射的子弹沿直径穿过 圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下 a、b 两个弹孔,已知 aO 和 b0 夹角为 φ , 则子弹的速度大小为______.

6.如图,一个大轮通过皮带拉着小轮转动,皮带和两轮之间无滑动,大轮的半径是小轮的 2 倍,大轮上的一点 s 离转动轴的距离是半径的 5,20,当大轮边缘上 P 点的向心加速度是 10m 2 2 。 /s 时,大轮上的 S 点和小轮上的 Q 点的向心加速度为 aS=______m/s ,aQ=______m/s

7.如图所示,半径为 r 的圆筒绕竖直中心轴 OO′转动,小物块 A 靠在圆筒的内壁上,它与圆 筒的静摩擦因数为 μ ,现要使 A 不下落,则圆筒转动的角速度 ω 至少应为______.

8、放映电影时,看到影片中的一辆马车从静止起动,逐渐加快。在某一时刻车轮开始倒转。 已知电影放映机的速率是每秒 30 幅画面,车轮的半径是 0.6 米,有 12 根辐条。车轮开始倒 转时马车的瞬时速度是 米/秒。(第十二届全国中学生物理竞赛预赛试题) 曲线运动答案 基础题:

- 18 -

1.B; 2.B; 3.C 4、 【解析】 (1)球以 vl 速度被击回,球正好落在底线上,则 t1= 2h / g ,vl=s/t1 将 s=12m,h=2.5m 代入得 v1= 12 2m / s ; 球以 v2 速度被击回,球正好触网,t2= 2h / / g ,v2=s /t2 将 h =(2.5-2.25)m=0.25m,s =3m 代入得 v2= 3 10m / s 。故球被击目的速度范围是 3 10m / s <v≤ 12 2m / s 。 (2)若 h 较小,如果击球速度大,会出界,如果击球速度小则会触网,临界情况是球刚好从 球网上过去,落地时又刚好压底线,则
s 2h / g
/ / / /

=

s/ 2h / / g


/

s、s 的数值同(1)中的值,h = h-2.25(m) ,由此得 故若 h<2.4m,无论击球的速度多大,球总是触网或出界。 提高题: 1. 41m / s ,与竖直方向成 ? 角, tan ? ? 0.8 2.(1)4m/s;(2)水平距离 0.8m,竖直距离 0.2 提示:△h2-△h1=gT , s2=△s1=v0T, v By ?
2

h=2.4m

?h 1 ? ?h 2 , 2T

v Ay ? v By ? gT, v Ay
3. v 0 4.ABC 5.

gt 2 ? gt , x A ? v 0 t, y A ? 2

2h ? s1 g

d? ? ??

6.5,20 7.

g r?

- 19 -

8.

- 20 -


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