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【创新课堂】2012高一物理 竞赛专题系列专题4 曲线运动


曲线运动
一、复习基础知识点 一、考点内容 1.运动的合成与分解。 2.曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向,且必具有加速度。 3.平抛运动;斜抛运动。 4.匀速率圆周运动、线速度和角速度、周期;圆周运动的向心力、向心加速度。 5.离心运动 二、知识结构

? ?曲线运动的速度方向 ?曲线运动? ?做曲线运动的条件 ? ? ? ?合速度 ? ?合运动

? ? ?合位移 ? ? ? ? ?分速度 ? ? ?运动的合成和分解 分运动? ? ?分位移 ? ? ? ? ? ?运动的合成与分解? 平行四边形定则 ? ? ? ?水平方向匀速直线运动 ? 曲线运动?平抛物体运动规律 ? ?竖直方向自由落体运动 ? ? v ?水平方向以初速度 0 x ? v0 cos?做匀速运动 ? ?斜抛运动的规律 ? ? v 动 ?竖直方向以初速度 y ? v0 sin ?做竖直上(或下)抛运 ? ? ? ? ?线速度、角速度 ? ? ? ?基本概念?周期、频率 ? 匀速圆周运动 ? ?向心力、向心加速度 ? ? ? ? 三、复 ?应用实例 ? ? ? ? ? ?
习思路 复习本单元除了掌握基础知识点外,要掌握处理问题的基本方法,如运动合成和分解的方 法、平行四边形定则等;同时要学会应用基本规律处理实际问题,如运动学公式、牛顿第二 定律、万有引力规律的应用;还要掌握主要物体运动形式的规律,如平抛物体运动的规律和 匀速圆周运动的规律。 做好本单元的复习,应注意做好以下几点: 1.运动的合成与分解是本单元的难点,在学习中,要明确合成与分解的定则,以及实际运 动或运动量的合成与分解,并了解运动的独立性和等时性。 2.小船渡河问题和绳拉物体问题都是运动的合成与分解的典型例子,分析这些问题时要搞 清运动分解的根据——效果。通过训练,应熟练掌握。

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3.对于曲线运动要搞清曲线运动瞬时速度的方向、曲线运动的条件,能按照曲线运动的形 状判断合力的大体方向。结合平抛运动和圆周运动弄清曲线运动的条件和性质。 4.在圆周运动中,要明确向心力与物体的合外力的关系。在匀速圆周运动中,合外力就是 向心力,另外对具体问题要会分析什么力提供向心力。

F ?m

v2 ? m? 2 r 是牛顿第二定律 r

在圆周运动中的应用。 5.从近几年高考看,本单元主要考查对平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由 落体运动的合运动的理解。熟练掌握运动的合成与分解,理解并掌握匀速圆周运动及重要公 式,如线速度、角速度、向心力等。考题多为主观性较强的综合性试题,考题知识覆盖面宽, 一题中考查的知识点多,更多的是与电场、磁场、机械能相结合的综合题,以及与实际生活、 新科技、新能源等相结合的应用性题型,在学习过程中要加强本单元知识的综合及应用题训 练。 基础题 1.平抛物体的运动规律可以概括为两点: (1)水平方向做匀速运动; (2)竖直方向做自由 落体运动。为了研究平抛物体的运动,可做下面的实验:如图所示,用小锤打击弹性金属片, A 球就水平飞出,同时 B 球被松开,做自由落体运动,两球同时落到地面。 这个实验: A、只能说明上述规律中的第(1)条 B、只能说明上述规律中的第(2)条 C、不能说明上述规律中的任何一条 D、能同时说明上述两条规律 2.一物体由静止开始自由下落一小段时间后突然受一恒定的水平风力的影响,则其运动轨 迹可能的情况是图中的:

3.甲、乙两物体做匀速圆周运动,其质量之比为 1:2,转动半径之比为 1:2,在相等时 0 0 间里甲转过 60 ,乙转过 45 ,则它们所受合外力之比为: A、1:4 B、2:3 C、4:9 D、9:16 4.排球场总长 18m,网高 2.25 m,如图所示,设对方飞来一球,刚好在 3m 线正上方被我方 运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的,那么可认为排球被击回时做 2 平抛运动。 取 10m/s ) (g (1)若击球的高度 h=2.5m,球击回的水平速度与底线垂直,球既不能触网又不出底线,则 球被击回的水平速度在什么范围内? (2)若运动员仍从 3m 线处起跳,起跳高度 h 满足一定条件 时,会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界,试 求 h 满足的条件。

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二、从高考到初赛要求知识要点分析 一、运动的合成与分解 1、标量和矢量 物理量分为两大类:凡是只须数值就能决定的物理量叫做标量,例如:时间、路程、质量、 温度、功和能量等;另一类,既有大小,也需要方位和指向才能确定的物理量叫做失量,例 如:位移、速度、加速度、力、动量都是矢量。标量和矢量在进行运算时遵守不同的法则, 标量的运算遵守代数法则如加、减、乘、除等。而矢量的运算不能用上述法则。中学常用的 矢量运算是所谓矢量的合成与分解,这种运算都遵守平行四边形定则(或三角形法则) 。当矢 量在一条直线上合成和分解时,规定正方向后,可转化为代数运算。 2.运动的合成 由已知的分运动求其合运动叫运动的合成.这既可能是一个实际问题,即确有一个物体同 时参与几个分运动而存在合运动;又可能是一种思维方法,即可以把一个较为复杂的实际运 动看成是几个基本的运动合成的,通过对简单分运动的处理,来得到对于复杂运动所需的结 果. 描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量,运动的合成应遵循矢量运算的法则: (1)如果分运动都在同一条直线上,需选取正方向,与正方向相同的量取正,相反的量取负, 矢量运算简化为代数运算. (2)如果分运动互成角度,运动合成要遵循平行四边形定则. 3.合运动的性质取决于分运动的情况: ①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动. ②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动,二者共线时,为匀变速直线运动, 二者不共线时,为匀变速曲线运动。 ③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动,当合运动的初速度与合运动的加速度共线时 为匀变速直线运动,当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。 3、运动的分解 1.已知合运动求分运动叫运动的分解. 2.运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则. 3.将速度正交分解为 vx=vcosα 和 vy=vsinα 是常用的处理方法. 4.速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解,常用的思想方法有两种:一种思想 方法是先虚拟合运动的一个位移,看看这个位移产生了什么效果,从中找到运动分解的办法; 另一种思想方法是先确定合运动的速度方向(物体的实际运动方向就是合速度的方向) ,然后 分析由这个合速度所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向. 4、合运动与分运动的特征: (1)等时性:合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等. (2)独立性:一个物体可以同时参与几个不同的分运动,各个分运动独立进行,互不影响. (3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系,不能并存; (4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量,其合成和分解遵循平行四边形定则。 【例1】如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A,小车下装有吊着物体B的吊 钩.在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体B向上吊起, A、B之间的距离以 d ? H ? 2t
2

(SI)(SI表示国际单位制,式中H为

吊臂离地面的高度)规律变化,则物体做 (A)速度大小不变的曲线运动. (B)速度大小增加的曲线运动.

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(C)加速度大小方向均不变的曲线运动. (D)加速度大小方向均变化的曲线运动. 答案:B C 5、物体做曲线运动的条件 1.曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线;曲线运动的速度方向是该点的切线方向;曲线运动 速度方向不断变化,故曲线运动一定是变速运动. 2.物体做一般曲线运动的条件:运动物体所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方向 不在同一直线上(即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π 的夹角) . 说明:当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时,物体做曲线运动速率将增 大,当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时,物体做曲线运动的速率将减小。 3.重点掌握的两种情况:一是加速度大小、方向都不变的曲线运动,叫匀变曲线运动,如平 抛运动;另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动,如匀速圆周运动. 规律方法 1、运动的合成与分解的应用 合运动与分运动的关系:满足等时性与独立性.即各个分运动是独立进行的,不受其他运动 的影响,合运动和各个分运动经历的时间相等,讨论某一运动过程的时间,往往可直接分析 某一分运动得出. 【例 2】小船从甲地顺水到乙地用时 t1,返回时逆水行舟用时 t2,若水不流动完成往返用时 t3,设船速率与水流速率均不变,则( ) A.t3>t1+t2 ; B.t3=t1+t2; C.t3<t1+t2 ; D.条件不足,无法判断 解析:设船的速度为 V,水的速度为 v0, 则 t1 ?
S S 2S , t2 ? , t3 ? , 因此t1 V ? v0 V ? v0 V

? t2 ?

2VS V ? v0
2 2

?

2S v2 V? 0

<
V

2S ,故选 C V
0

【例 3】如图所示,A、B 两直杆交角为 60 ,交点为 M,若两杆各 垂直于自身的速度 V1、V2 沿着纸面运动,V1= V2=1m/s,则交点 M 速度为多大? 解析:如图所示,若 B 杆不动,A 杆以 V1 速度运动,交点将沿 B
/ / 移动,速度为 V 1 ,V 1 =V1/sinθ .若 A 杆不动,B 杆移动时,交

以 的 杆 点 M

/ / 将沿 A 杆移动,速度为 V 2 ,V 2 =V2/sinθ .两杆一起移动时,交点 M 的速度 vM 可看成两个分





V

/ 1



V

/ 2













vM









/ / / / 2 2 vM= v1 2 ? v 2 2 ? 2v1 v 2 cos 1800 ? ? = v1 ? v 2 ? 2v1v 2 cos? / sin? = 3 /2 m/s

?

?

【例 4】玻璃板生产线上,宽 9m 的成型玻璃板以 4 3 m/s 的速度连续不断 地向前行进,在切割工序处,金刚钻的走刀速度为 8m/s,为了使割下的玻 璃板都成规定尺寸的矩形, 金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间 多长? 解析:要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直 v,如图

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设 v 刀与 v 玻方向夹角为θ ,cosθ =v 玻/v 刀=4 3 /8,则θ =30 。
2 2 v= v 刀 ? v 玻 = 64? 48 =4m/s。

0

时间 t=s/v=9/4=2.45s 【例 5】如图所示的装置中,物体 A、B 的质量 mA>mB。最初,滑轮 两侧的轻绳都处于竖直方向,若用水平力 F 向右拉 A,起动后,使 B 匀速上升。设水平地面对 A 的摩擦力为 f,绳对 A 的拉力为 T,则 ↑B 力 f,T 及 A 所受合力 F 合的大小( ) A.F 合≠O,f 减小,T 增大; B.F 合≠O,f 增大,T 不变; C. F 合=O,f 增大,T 减小; D. F 合=O,f 减小,T 增大; 分析:显然此题不能整体分析。B 物体匀速上升为平衡状态, 所受的绳拉力 T 恒等于自身的重力,保持不变。A 物体水 其速度可分解为沿绳长方向的速度(大小时刻等于 B 物 和垂直于绳长的速度(与 B 物体的速度无关) ,写出 A 物 物体速度的关系式,可以判断是否匀速,从而判断合力 解:隔离 B 物体:T=mBg,保持不变。隔离 A 物体:受力分 示,设绳与水平线夹角为θ ,则: ①随 A 物体右移,θ 变小,由竖直平衡可以判断支持力变大。 由 f=μ N,得 f 变大。 ②将 A 物体水平运动分解如图所示,有 vB=vAcosθ ,故随θ 变 小,cosθ 变大,VB 不变,VA 变小,A 物体速度时时改变,必有 F ≠O。 所得结论为:F 合≠O,f 变大,T 不变。B 项正确。 【例 6】如图所示,A、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻 绳的两端,当 A 物体以速度 v 向左运动时,系 A,B 的绳分别与 水平方向成 a、β 角,此时 B 物体的速度大小为 ,方向水平向右 解析:根据 A,B 两物体的运动情况,将两物体此时的速度 v 和 vB 分别分解为两个分速度 v1(沿绳的分量) 和 v2(垂直绳的分量)以及 vB1(沿绳的分量) 和 vB2(垂直绳的分量) ,如图,由于两物体沿绳 的速度分量相等,v1=vB1,vcosα =vBcosβ . 则 B 物体的速度方向水平向右,其大小为 vB ?
cos ? v cos ?

A

F

平运动, 体的速度) 体速度与 B 是否为零。 析如图所



【例 7】 一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 V0 匀速运动。在半圆柱体上搁置一根 竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动,如图 7 所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与 竖直方向的夹角为θ ,求竖直杆运动的速度。 解析:设竖直杆运动的速度为 V1,方向竖直向上, 由于弹力方向沿 OP 方向,所以 V0、V1 在 OP 方向的投影相等,即有 V R θ P O
1

V
0

-5-

V0 sin ? ? V1 cos? ,解得 V1=V0.tgθ .

2、小船渡河问题分析 【例 8】一条宽度为 L 的河,水流速度为 vs,已知船在静水中的航速为 vc,那么, (1)怎样渡 河时间最短? (2) vs<vc 怎样渡河位移最小? 若 (3) vs>vc, 若 怎样渡河船漂下的距离最短? 分析与解: (1)如图 2 甲所 B E Vc Vc 示,设船上头斜向上游与河 V1 V V Vc 岸成任意角θ ,这时船速在 Vs Vs A α θ Vs θ θ 垂直于河岸方向的速度分量 V2 图 2 甲 图2乙 图2丙 V1=Vcsin θ , 渡 河 所 需 时 间 为:t ?

L .可以看出: Vc sin ?
0

L、Vc 一定时,t 随 sinθ 增大而减小;当θ =90 时,sinθ =1,所以,当船头与河岸垂直时,渡 河时间最短, t min ?

L . Vc

(2)如图 2 乙所示,渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于 L,必须使船的合速度 V 的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ 。根据三角函数关 系有:Vccosθ ─Vs=0. 所以θ =arccosVs/Vc,因为 0≤cosθ ≤1,所以只有在 Vc>Vs 时,船才有可能垂直于河岸横 渡。 (3)如果水流速度大于船上在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游。 怎样才能使漂下的距离最短呢? 如图 2 丙所示,设船头 Vc 与河岸成θ 角,合速度 V 与河岸成α 角。可以看出:α 角越大,船 漂下的距离 x 越短,那么,在什么条件下α 角最大呢?以 Vs 的矢尖为圆心,以 Vc 为半径画圆, 当 V 与圆相切时,α 角最大,根据 cosθ =Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为:θ =arccosVc/Vs. 船漂的最短距离为: xmin ? (Vs ? Vc cos? )

L . Vc sin ?

此时渡河的最短位移为: s ?

L V ? s L. cos? Vc

思考:①小船渡河过程中参与了哪两种运动?这两种运动有何关系? ②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么? 二、抛体运动 将质点以一定的初速度抛出后,只在重力作用下的运动叫做抛体运动,可分为以下几种: 1.自由落体运动以及竖直上抛运动。 (轨迹为直线,我们在第二部分的讲义中有详尽的 分析,在此不再讲解! )

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2.平抛物体的运动:将物体沿水平方向抛出,其运动为平抛运动. (1)运动特点:a、只受重力;b、初速度与重力垂直.尽管其速度大小和方向时刻在改变, 但其运动的加速度却恒为重力加速度 g,因而平抛运动是一个匀变速曲线运动 (2)平抛运动的处理方法:平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落 体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性,又具有等时性.

(3)平抛运动的规律:以物体的出发点为原点,沿水平和竖直方向建成立坐标。 ax=0??① ay=0??④ 水平方向 vx=v0 ??② 竖直方向 vy=gt??⑤ 2 x=v0t??③ y=?gt ??⑥ ①平抛物体在时间 t 内的位移 S 可由③⑤两式推得 s=

?v0 t ?2 ? ? 1 gt 2 ? ? ?
?2 ?

2

=

t 4 4v0 ? g 2 t 2 , 2

②位移的方向与水平方向的夹角α 由下式决定 2 tgα =y/x=?gt /v0t=gt/2v0
2 ③平抛物体经时间 t 时的瞬时速度 vt 可由②⑤两式推得 vt= v 0 ? ?gt?2 ,

④速度 vt 的方向与水平方向的夹角β 可由下式决定 tgβ =vy/vx=gt/v0 ⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间 t 而推得:y= 运动的轨迹是一条抛物线. ⑥运动时间由高度决定,与 v0 无关,所以 t= 2h / g ,水平距离 x=v0t=v0 2h / g ⑦Δ t 时间内速度改变量相等,即△v=gΔ t,Δ V 方向是竖直向下的.说明平抛运动是匀变 速曲线运动. (4)处理平抛物体的运动时应注意: ① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的,其中每个分运动都不会因另一个分运 动的存在而受到影响——即垂直不相干关系; ② 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性,运动时间由高度决定,与 v0 无关; ③ 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹 角,由上证明可知 tgβ =2tgα 【例 1】 物块从光滑曲面上的 P 点自由滑下,通过粗糙的 静止水平传送带以后落到地面上的 Q 点,若传送带的皮带 轮沿逆时针方向转动起来,使传送带随之运动,如图 1-16 所示,再把物块放到 P 点自由滑 下则 A.物块将仍落在 Q 点 B.物块将会落在 Q 点的左边 C.物块将会落在 Q 点的右边 D.物块有可能落不到地面上 解答:物块从斜面滑下来,当传送带静止时,在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力,物块 将做匀减速运动。离开传送带时做平抛运动。当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向 前运动,受到滑动摩擦力方向与运动方向相反。 物体做匀减速运动,离开传送带时,也做平
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g
2 2v 0

·x , 可见,平抛物体

2

抛运动,且与传送带不动时的抛出速度相同,故落在 Q 点,所以 A 选项正确。 【小结】若此题中传送带顺时针转动,物块相对传送带的运动情况就应讨论了。 (1)当 v0=vB 物块滑到底的速度等于传送带速度,没有摩擦力作用,物块做匀速运动,离开传 送带做平抛的初速度比传送带不动时的大,水平位移也大,所以落在 Q 点的右边。 (2)当 v0>vB 物块滑到底速度小于传送带的速度,有两种情况,一是物块始终做匀加速运动, 二是物块先做加速运动,当物块速度等于传送带的速度时,物体做匀速运动。这两种情况落 点都在 Q 点右边。 (3)v0<vB 当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度,有两种情况,一是物块一直减速, 二是先减速后匀速。第一种落在 Q 点,第二种落在 Q 点的右边。 规律方法 1、平抛运动的分析方法 用运动合成和分解方法研究平抛运动,要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动,即水 平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动. 其运动规律 V0 有两部分:一部分是速度规律,一部分是位移规律.对具体的平 V0 A 抛运动, 关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律 Vy1 有关 B θ 【例 2】如图在倾角为 θ 的斜面顶端 A 处以速度 V0 水平抛出一 小球,落在斜面上的某一点 B 处,设空气阻力不计,求 图8 (1)小球从 A 运动到 B 处所需的时间; (2)从抛出开始计时,经过多长时间小球离斜面的距离达到最大? 解析: (1)小球做平抛运动,同时受到斜面体的限制,设从球从 A 运动到 B 处所需的时 间为 t,则:水平位移为 x=V0t

竖直位移为 y=

2V tan? 1 2 1 gt , 由数学关系得到: gt 2 ? (V0 t ) tan? , t ? 0 2 2 g

(2)从抛出开始计时,经过 t1 时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时, 小球离斜面的距离达到最大。因 Vy1=gt1=V0tanθ ,所以 t1 ?

V0 tan? g

【例 3】 已知方格边长 a 和闪光照相的频闪间隔 T,求:v0、g、

vc
解:水平方向: v 0 ?
2a T

竖直方向: ?s ? gT 2 ,? g ? a2 T

先求 C 点的水平分速度 vx 和竖直分速度 vy,再求合速度 vC:

A

B C D

v x ? v0 ?

2a 5a a ,vy ? ,? vc ? T 2T 2T

41

【例 4】如图所示,一高度为 h=0.2m 的水平面在 A 点处与一倾角 为θ =30°的斜面连接,一小球以 V0=5m/s 的速度在平面上向右运动。求小球从 A 点运动到地 2 E 面所需的时间(平面与斜面均光滑,取 g=10m/s ) 。 某同学对此题的解法为:小球沿斜面运动,则 A B A h 1 问: h ? V t ? g sin ? ? t , 由此可求得落地的时间 t。 sin ? 2 θ
2 0

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你同意上述解法吗?若同意, 求出所需的时间; 若不同意, 由并求出你认为正确的结果。 解析:不同意。小球应在 A 点离开平面做平抛运动,而不 下滑。 正 确 做 法 为 : 落 地 点 与 A 点 的 水 平 距 离
s ? V0 t ? V0 2h 2 ? 0.2 ? 5? ? 1(m) g 10

则说明理 是沿斜面

斜面底宽

l ? hctg? ? 0.2 ? 3 ? 0.35(m)

因为 s ? l ,所以小球离开 A 点后不会落到斜面,因此落地时间即为平抛运动时间。 ∴
t? 2h ? g 2 ? 0.2 ? 0.2( s) 10

2、平抛运动的速度变化和重要推论 ①水平方向分速度保持 vx=v0.竖直方向,加速度恒为 g,速度 vy =gt,从抛出点起,每隔Δ t 时间的速度的矢量关系 如图所示.这一矢量关系有两个特点: (1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度 v0; (2)任意相等时间间隔Δ t 内的速度改变量均竖直向下, 且Δ v=Δ vy=gΔ t. ②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的 反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点 的距离都等于水平位移的一半。 证明:设时间 t 内物体的水平位移为 s, 竖直位移为 h,则末速度的水平分量 vx=v0=s/t, 而竖直分量 vy=2h/t,
tan? ? vy vx ? 2h , s

v0

α

s/

h s vy α vx vt

所以有 s ? ?

h s ? tan ? 2

【例 5】从倾角为θ =30°的斜面顶端以初动能 E=6J 向下坡方向平抛出一个小球,则小球落到 / 斜面上时的动能 E 为______J。 解:以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形 ABCD,可以证明末速度 vt 的反向延长线必然交

AB 于其中点 O,由图中可知 AD∶AO=2∶ 3 ,由相似形可知 vt∶v0= 7 ∶ 3 ,因此很容易可
以得出结论:E =14J。 3、平抛运动的拓展(类平抛运动) 【例 7】如图所示,光滑斜面长为 a,宽为 b,倾角为θ ,一物块沿斜面左上方顶点 P 水平射 入,而从右下方顶点 Q 离开斜面,求入射初速度.
/

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