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2016年宁波职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年宁波职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.定义 A ? B ? ?x | x ? A, 且x ? B?,若 A ? ?1,3,5,7,9? , B ? ?2,3,5? ,则 A ? B =

D A. A B. B
2

C. ?1,2,7,9?
2

D. ?1,7,9?

2.点 P(2,-1)为圆 (x-1) +y =25 内弦 AB 中点,则直线 AB 的方程是 A

A、x-y-3=0

B、2x+y-3=0

C、x+y-1=0

D、2x-y-5=0

3.命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的必要条件。命题 q:函数

?1? y ?1? ? ? ? 2?

x2

?x ? 0? 的值域是 [0,1) ,则 C
B.p 且 q 为假 D.非 p 或非 q 为真

A.p 或 q 为假 C.p 且 q 为真

3?? 1 ? 4.已知 sin 2? ? ? ? 2? ? ? ?, tan ?? ? ? ? ? , 则 tan ?? ? ? ? ? A 5? 2 2 ?

A. ? 2

B. ?1

C. ?

2 11

D.

2 11

5.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差 数列,每一纵列成等比数列,则 a ? b ? c 的值为 A A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知 y ? log 2 [ax 2 ? ( a ? 1) x ? 1 ] 的定义域是一切实数,则实数 a 的
4

取值范围是 D A. (0, 3 ? 5 )
2

B. ( 3 ? 5 ,1)
2

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C. (??, 3 ? 5 ) ? ( 3 ? 5 , ??)
2 2

D. ( 3 ? 5 , 3 ? 5 )
2 2

1 7.球面上有三个点,其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的 ,经过这三个点 6 的小圆周长为 4? ,那么这个球的半径为 B A.4 3 B.2 3 C.2 D. 3

8.将正方体 AC 1 的 6 个面涂色,任何相邻两个面不同色,现在有 5 种不同的颜色,并 且涂好了过顶点 A 的 3 个面的颜色,那么余下 3 个面的涂色方案共有 C
A. 15 种

9.已知集合 A ? ?z z ? 1 ? i ? i ? ? ? i , n ? N
2 n

B.14 种

C.13 种

D.12 种

? , B ? ??

? ? z1 ? z2 ,

z1 , z2 ? A? ,

( z1 可以等于 z 2 ),从集合 B 中任取一元素,则该元素的模为 2 的概率为 D
A.

1 3

B.

1 4

C.

3 7

D.

2 7

10.设 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 、 a2 9 F2 分别是双曲线的左、右焦点。若 | PF1 |? 3 ,则 | PF2 |? A

A.7

B.6

C. 5 或 1

D.9

11. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f (2 ? x ) ? f (2 ? x ) ,在区间[-2,0]上单调递减, 设 a ? f (?1.5), b ? f ( 2), c ? f (5) ,则 a , b, c 的大小顺序为 A A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c

12.空间有四个不共面的点,它们能确定的平面数为 m,而与这四点距离相等的平面 有 n 个,则|m-n|=D A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

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13.设集合 A ? ( x, y) | y ? ? 1 ? x2 ,若点 ( a , b ) ? A ,则 a ? b 的取值范围为:
? 2 ? y ? 1.。

?

?

14. (tan 2? +cot 2? ? 2)5 展开式中,不含 ? 的项是: ? 252 。 15.一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是 y ?
x2 ?0 ? y ? 20? , 2

在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的取值范围是:
0 ? r ? 1. 。

16、定义域和值域均为 ?? a, a? (常数
a ? 0 )的函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 的

图像如图所示,给出下列四个命题: ( 1 )方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; ( 2 )方程 g ? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (3)方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解; (4)方程 g ?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是: (1), (4) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分 12 分)
??? ? ??? ? ??? ? 如图圆内接四边形 ABCD 中, AB = 6 ? 2 , BD ? BC ? 2 3 ,角 C 为锐角,圆

的半径是 2 ,O 是圆心。 (1)求角 ?BAD 和 ?AOD ;
D

C

(2)求 AC ? BD .
A

O

B

解:(1)由正弦定理

3 BD ,又由题意知 ? 2R ,得 sin ?BAD ? 2 sin ?BAD

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?BAD ? ?BCD ? ? , ?BCD 是锐角,∴ ?BAD ?

2? ? , ?BCD ? …………3 分 3 3
3 2

由余弦定理 AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2OAOB cos ?AOB 得 cos ?AOB ? 显然 ?AOB 是锐角,∴ ?AOB ? ∴ ?AOD ? ?BOD ? AOB ?

?
6

,又圆心角 ?BOD ? 2?BCD ? …………6 分

2? 3

?
2

(2)易见三角形 BCD 是正三角形 ∴ ?BOC ? ?COD ? ∴ AC ? BD ? OC ? OA OD ? OB …………10 分

2? …………8 分 3

?

??

?

? OC ? 0D ? OC ? OB ? OA ? OD ? OA ? OB
? 4 cos
? ?2 3

2? 2? ? ? ? 4 cos ? 4 cos ? 4 cos 3 3 2 6
…………12 分

18.(本小题满分 12 分) 设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周 5 个工作日里均无故障,可获利润 10 万元;发生一次故障可获利润 5 万元,只发生两次故障 可获利润 0 万元,发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润是多少? (精确到 0.001)
P

.以 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数,则 X-B (5,0.2),于是 X
k 有概率分布 P(X=k)=C 5 0.2k0.85-k,k=0,1,2,3,4,5. …………4 分

E

以 Y 表示一周内所获利润,则
F D A B C

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?10 ? ?5 Y=g(X)= ? ?0 ?? 2 ? 若X ? 0 若X ? 1 若X ? 2 若X ? 3

…………6 分

Y 的概率分布为: P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328 P(Y=5)=P(X=1)=C 1 0.84=0.410 5 0.2·
2 P(Y=0)=P(X=2)=C 5 · 0.22· 0.83=0.205

P(Y=-2)=P(X≥3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.057…………10 分 故一周内的期望利润为:

EY=10× 0.328+5× 0.410+0× 0.205-2× 0.057=5.216(万元) …………12 分
19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是平行四边形,侧棱 PD ? 底面 ABCD,PD=DC=2, BD= 3 ,BC=1, E,F 分别是 PC,PB 的中点,点 Q 在直线 AB 上. (1)求点 A 到直线 EF 的距离; (2)若 QF ? BD,试求二面角 D—EF—Q 的平面角的余弦值. 解:(1)∵BD= 3 ,BC=1,CD=2 ∴CB⊥BD,又 PD⊥平面 BCD ∴PD⊥CB …………2 分 ∴CB⊥平面 PBD,显然 EF∥BC∥AD ∴EF⊥平面 PBD,∴EF⊥DF …………4 分

1 7 即 DF 是点 A 到直线 EF 的距离,易见 DF= PB ? …………6 分 2 2

(2)取 BD 的中点 O,则 OF∥PD,

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故 OF⊥平面 BCD,∴OQ 为 FQ 在平面 BCD 的射影, ∵FQ⊥BD∴ OQ ⊥BD …………8 分

∴OQ∥BC∥EF,又 DF⊥EF,而 OF⊥EF ∴ ?DFO 是所求二面角的平面角 ∴所以所求二面角的余弦值是
20.(本小题满分 12 分)

…………10 分

FO 2 2 ? FD 7

…………12 分

已知函数 f ( x) ? 2n 1 ? x 2 ? x 在 [0, ??) 上最小值是 an (1)求 an ; (2)若 Tn ? cos

(n ? N * ) ,

?
an

? sin

?
an

,试比较 Tn 与 Tn ?1 的大小.

解:1)由 f ( x ) ? 2n 1 ? x 2 ? x ,得 f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 显然当 x ? (0, 当 x?(
1 4n ? 1
2

2nx 1 ? x2

? 1 ,…………2 分

1 4n 2 ? 1



' ) 时, f ( x) ? 0 ,

1 4n ? 1
2

' , ??) 时, f ( x) ? 0 ,…………4 分

因而 f ( x) 在 x ? [0, ??) 上当 x ? 即 an ? 4n 2 ? 1 …………6 分
(2)由题设: Tn ? cos

1 4n 2 ? 1

取得最小值 4n2 ? 1 ,

?
an

? sin

?
an

? 2 cos(

? ) ,…………8 分 an 4

?

?

? ? ? ? ? ? 易知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 …………10 分 2 2 an 4 4n ? 1 4 4(n ? 1) ? 1 4 an?1 4
而函数 y ? cos x 在 (0, ? ) 上是减函数, Tn?1 ? Tn (n ? N * ) …………12 分 21.(本小题满分 12 分)

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已知函数 f ( x) ? ? x3 ? bx2 ? 5cx ? 2d 在 (??, 0] 上单调递减,在 [0, 6] 上单调递增,且方 程 f ( x) ? 0 有 3 个实根: m , n ,1 (1)求 f (4) 的取值范围;

(2) m2 ? 4mn ? n2 是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.
f ' ( x) ? ?3x2 ? 2bx ? 5c …………1 分

? f ( x) 是 (??, 0] 单调递减,且在 [0, 6] 上单调递增, ? f ' (0) ? 0 c ? 0 ? f ( x) ? ? x3 ? bx2 ? 2d …………2 分 ? f (1) ? ?1 ? b ? 2d =0? d ? ? b ? 1 …………3 分
2

f ' ( x) ? ?3x2 ? 2bx ? 0 的两根为 x1 ? 0 , x2 ? ? 2b
3

又 f ( x) 在 [0, 6] 上单调递增,则 ?

2b ? 6 即 b ? ?9 …………5 分 3

f (4) ? ?43 ? b ? 42 ? 2d ? ?64 ? 16 ? b ? 2d ? ?63 ? 15 ? b ? 72

f (4) 的取值范围是 [72, ??) …………6 分
(2)由于 m , n ,1 是方程 f ( x) ? 0 的三个根,所以可设

f ( x) ? ?( x ? m)( x ? n)( x ? 1) …………8 分
3 2 ? ? x3 ? (m ? n ? 1) x2 ? (m ? n ? mn) x ? mn ? ? x ? bx ? 2d

? ?b ? m ? n ? 1 ? ?0 ? m ? n ? mn …………10 分 ? ?2d ? mn ?
m2 ? 4mn ? n2 ? (m ? n)2 ? 6mn ? (?1 ? b)2 ? 12d ? (b ? 2)2 ? 9 ? (?9 ? 2)2 ? 9 ? 112
所以 m2 ? 4mn ? n2 有最小值 112 …………12 分 22.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,一条经过点(3,- 5 )且方向向量 为 V ? (?2, 5 ) 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 x 轴于 M 点,又 AM ? 2MB . (1)求直线 l 方程;

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(2)求椭圆 C 长轴长取值的范围. 解:(1)直线 l 过点(3,- 5 )且方向向量为 V ? (?2, 5 )
? l方程为 x ?3 y ? 5 ? ?2 5
5 ( x ? 1) …………(4 分) 2

化简为: y ? ?

(2)设直线 y ? ?

5 x2 y2 ( x ? 1)和椭圆 2 ? 2 ? 1 2 a b

交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),和 x 轴交于 M (1,0) 由 AM ? 2MB知y1 ? ?2 y2 …………………(7 分) 将 x ? ? 2 y ? 1代入b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2中得( 4 b 2 ? a 2 ) y 2 ? 4 b 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 ……①
5 5 5

4 2 ? b ? 5 ? y1 ? y2 ? ? ? y2 4 2 2 ? b ?a ? 由韦达定理知: ? 5 ? b 2 (1 ? a 2 ) 2 ? y1 ? y2 ? ? ?2 y 2 4 ? b2 ? a 2 ? 5 ?

………………②

………………③ 由②2/③ 知:32b2=(4b2+5a2)(a2-1)…………………………………………(10 分) 化为 4b 2 ?
5a 2 (a 2 ? 1) ………………………………………………④ 9 ? a2

对方程①求判别式,且由△>0 即? ? (
4 4 b 2 )2 ? 4( b2 ? a 2 ) ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 5 5

化简为: 5a 2 ? 4b 2 ? 5 ………………………………………………⑤ 由④式代入⑤可知: 5a 2 ?

12 分

5a 2 (a 2 ? 1) ? 5, 求得1 ? a 2 ? 9, 又椭圆的焦点在 x 轴上, 9 ? a2

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则 a 2 ? b 2 , 由④知:
4b 2 ? 5a 2 (a 2 ? 1) 41 ? 4a 2 , 结合1 ? a ? 3, 求得1 ? a ? . 2 3 9?a
2 14 ). 3

因此所求椭圆长轴长 2a 范围为( 2,


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