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山西省晋中市四校(晋商四校)2016届高三上学期期中联考数学(理)试题


2015-2016 学年度“晋商四校”高三联考

数学试卷(理科)
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一.选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项填在答题卡的相应位置上) 1. 已知集合 A.1 2. 设向量 = B.2 , = C.3 ,则“ ,则集合 D.4 ”是“ /

/ ”的( ) 中元素的个数为( )

A.既不充分也不必要条件 C.充分必要条件 3.曲线 y ? e A.
1 x 2

B.必要而不充分条件 D.充分而不必要条件 )

在点 (4, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( B. 4e
2

9 2 e 2

C. 2e

2

D. e

2

4. 下列命题错误的是( A.命题“ B.“ C.命题“ D.命题 ”是”

) ”的逆否命题是“若 ”的充分不必要条件 ”和命题“ ”均为真命题 ,则 :任意 ,都有 或 ,则 ”

或 ”为真命题,则命题“ :存在 ,使得

5. 使 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) 为奇函数, 且在 ? 0, 是( )

? ?? 上是减函数的 ? 的一个值 ? 4? ?

2? ? ? C. D.? 3 3 3 为了得到函数 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图像( 6.
A.

4? 3

B.

)

A .向左平移

?
4

个长度单位 个长度单位

B .向右平移 D .向右平移

?
4

个长度单位 个长度单位

C .向左平移

?
2

?
2

7.已知非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ?

r

r

r

r

r

r

A.

5? 6

B.

?
6

C.

2? 3

r r r r 2 3 r a ,则 a ? b 与 a ? b 的夹角为( 3
D.



?

3

8.已知正实数 a , b 满足不等式 ab ? 1 ? a ? b ,则函数 f ( x) ? log a ? x ? b ? 的图象可能为( )

9. 若 A.1

, , 均为单位向量,且 B. C.

,则

的最大值是( D.



10. 等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若 S 2 n ? 4(a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ), a1a2 a3 ? 27, 则a6 ? ( )

A . 27

B . 81

C . 243

D . 729

11.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? (??,0) 时,

1 1 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立, a ? 2 0.2 f (2 0.2 ) , b ? (ln 2) f (ln 2) , c ? (log 1 ) f (log 1 ) ,则 4 4 2 2
a, b, c 的大小关系是(
A. B. ) C. D.

uur uuu r uuu r r 12.已知点 O 是在△ABC 内部一点, 且满足 2OA ? 3OB ? 4OC ? 0 , 则三角形△AOB, △BOC,
△AOC 的面积之比依次为( ) A.4:2:3 B.2:3:4 C. 4:3:2 D.3:4:5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 a ? b, a ? 2, b ? 3 ,且 a ? 2b 与 ? a ? b 垂直,则实数 ? 的值为 14.已知 sin ? ? cos ? ?

r

r r

r

r

r

r

r

.

1 ? cos 2? , ? ? (0, ), 则 ? ? 2 2 sin(? ? ) 4

.

ln x, x ? 0 ? ? 15.已知 f ( x) ? ? 0 ,则函数 f ( x) 的零点的个数为_______. (2t ? 2 ? et )dt , x ? 0 ? ? ? x
16. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( ? x) ? f ( x), f ( ?2) ? ?3 , 数列 ?an ? 的前 n 项 和为 S n ,且 a1 ? ?1, S n ? 2an ? n(n ? N ) ,则 f (a5 ) ? f (a6 ) ?
2 2

3 2

?

.

三、解答题(本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17 . ( 本 小 题 10 分 ) 已 知 p : 实 数 x 满 足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其 中 a ? 0 ,

? x2 ? x ? 6 ? 0 q:实数x满足 ? 2 ?x ? 2x ? 8 ? 0 (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围.
(2)若 ?p是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题 12 分)已知函数 (1)求函数 (2)求函数 的最小正周期; 在区间 上的最大值和最小值及取得最值时相应的 值. .

19. (本小题 12 分) 已知 m ? (cos x ? 3 sin x,1), n ? (2 cos x, ? y ), 满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的单调递增区间; (2)已知 ?ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 f ( ) ? 3 ,且 a ? 2 , 求 ?ABC 面积的最大值. 20.(本小题 12 分) 已知数列 ?a n ? 满足递推式 a n ? 2a n ?1 ? 1(n ? 2) ,其中 a 4 ? 15 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)已知数列 ?bn ?,有 bn ?

u r

r

u r r

A 2

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 s n . an ? 1
1 ? ln x (其中e为自然对数的底数) . x

21.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ?

(1)若 f ( x)在区间(a, a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

1 3

k 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1
2

22. (本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? ln x , a ? R. (1)若函数 f ( x ) 在 ?1,2?上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ( x ) ? f ( x ) ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e]( e 是自然常数)时,函数 g ( x )
2

的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x ? (0, e] 时,证明: e 2 x 2 ?

5 x ? ( x ? 1) ln x 2

2015—2016 学年度“晋商四校”高三联考

数学参考答案与评分标准(理科)
一.选择题

B DDC B
二、填空题 13.

A DBBC

BA

9 2

14. ?

14 2

15.

3

16. 3

三、解答题(本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17. (本小题 10 分) 解: (1)由 x ? 4ax ? 3a ? 0得( x ? 3a )( x ? a ) ? 0,又a ? 0,所以a ? x ? 3a
2 2

1 ? x ? 3,即p为真时,实数x的取值范围是1 ? x ? 3 ??2 分 当 a ? 1时,
? x2 ? x ? 6 ? 0 得2 ? x ? 3,即q为真时,实数x的取值范围是2 ? x ? 3 ?4 分 由? 2 ?x ? 2x ? 8 ? 0 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 ???? 6 分
(2) ?p : x ? a或x ? 3a,?q : x ? 2或x ? 3 ??????9 分 由 ?p是?q 的充分不必要条件,有 ?

?0 ? a ? 2 ,得1 ? a ? 2 ? 3a ? 3

2? 故实数 a 的取值范围是 ?1,
18(本小题 12 分) (1)

??????12 分

??4 分 ∴ ( 2 ) ∵ ??????6 分 , ∴ , ∴ , ∴

??????8 分 当 当 ,即 ,即 时, 时, ??????10 分 ??????12 分

19. (本小题 12 分) 解: (1) m ? n ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? y

?? ?

? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? y ? 0, 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,?????3 分 6 6
令 2x ?

?

?

?

6

? [2k? ?

?

, 2k? ? ] ,得 x ? [k? ? , k? ? ], (k ? Z ) 2 2 3 6

?

?

?

, k? ? ], (k ? Z ) ??????6 分 3 6 A ? ? ? ? 7? ? ? (2) f ( ) ? 2sin( A ? ) ? 1 ? 3,? sin( A ? ) ? 1, 又 A ? ? ( , ),? A ? ? , 2 6 6 6 6 6 6 2 ?A?

f ( x) 的单调递增区间是 [k? ?

?

?

?

3

.

?????8 分

在 ?ABC 中由余弦定理有, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc 可知 bc ? 4 (当且仅当 b ? c 时取等号),? S ?ABC ? 即 ?ABC 面积的最大值为 3. 20. (本小题 12 分) (1)∵ ∴且 ,∴数列{ ,∴ ???2 分,

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? ? 3, 2 2 2

??????12 分

}是公比为 2 的等比数列??????4 分∴ ,∴ 即数列 的通项公式为

??????6 分

(2)由(1)知

, ∴

=

??????8 分



① , ②

①-②得





,整理得

.??????12 分

21.(本小题 12 分)

1 ? x ? (1 ? ln x) ?1 ln x 解: (1)当 x ? 0 时,有 f ?( x) ? x ?? 2 x x

??????2 分

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ; f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? x ? 1 ,
所以 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极 值.

1 2 ,解得实数 a 的取值范围为 ( ,1) ??? 5 分 3 3 k 1 ? ln x k ( x ? 1)(1 ? ln x) (2)当 x ? 1时,f ( x) ? ? ? ?k? x ?1 x x ?1 x (1 ? x)(1 ? ln x) ? ? ? 恒成立, 令 g ( x) ? ( x ? 1) , 由题意, k ? g ( x)在 ?1, x ?( x ? 1)(1 ? ln x)?? ? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x? ? x ? ln x ????9 分 g ?( x) ? x2 x2 1 令 h( x) ? x ? ln x( x ? 1),则h?( x) ? 1 ? ? 0,当且仅当x ? 1时取等号 . x
由题意得 a ? 0, 且a ? 1 ? a ? 所以 h( x) ? x ? ln x在 ?1, ?? ? 上单调递增 , 因此, g ?( x) ?

h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 ,

h( x ) ? 0, g ( x)在 ?1, ?? ? 上单调递增,g ( x) min ? g (1) ? 2 , x2 所以 k ? 2, 所求实数k的取值范围为 ? ??, 2? ?????12 分

22.(本小题 12 分)

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