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河南省太康三高2010届高三第三次月考数学试题


届高三第三次月考数学 数学试题 河南省太康三高 2010 届高三第三次月考数学试题
说明:本试卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 试题中注明文科做的,理科考生不做;注明理科做的,文科考生不做;未作注明,文理科考生都做. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) P (A·B) = P(A)·P(B)

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率

Pn (k ) = Cn k P k (1 ? P ) n ? k
球的表面积公式 S = 4π R 球的体积公式
2

其中 R 表示球的半径 其中 R 表示球的半径

4 V = π R3 3

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的. 目要求的. 1.如果全集 S={1,2,3,4,5},M={1,3,4},N={2,4,5},那么 (CsM ) ∩ (CsN ) 等于 A. ? 2. 文科)已知 α ∈ ( (文科) A. B.{1,3} C.{4} D.{2,5}

π
2

, π ) , sin α =
B.7

3 π ,则 tan(α + ) 等于 5 4
C. ?

1 7

1 7

D. ?7

(理科)复数 理科) A. ?i
2

1 ? 2i 的虚部是 i
B.-1 C.1 D.

3.命题“若 x <1,则-1<<1”的逆否命题是 A.若 x >1,则>1 或<-1 C.若>1 或<-1,则 x >1
2 2

B.若-1<≤1,则 x <1 D.若≥1 或≤-1,则 x ≥1
2

2

4.设, b 是非零实数,若< b ,则下列不等式成立的是 A. < b
2 2

B. b < a b

2

2

C.

1 1 < 2 2 ab ab

D.

b a < a b

5. 文科)抛物线 y = ax 2 的准线方程是 y = 2 ,则的值为 (文科) A.

1 8

B. ?

1 8

C. 8

D. ? 8

(理科)下列四个命题中,不正确的是 理科) ...

A.若函数 f ( x ) 在 x = x0 处连续,则 lim+ f ( x) = lim? f ( x)
x→ x 0 x→ x 0

B.若函数 f ( x) 、 g ( x) 满足 lim[ f ( x ) ? g ( x)] = 0 ,则 lim f ( x ) = lim g ( x )
x →∞ x →∞ x →∞

C.函数 f ( x ) =

x+3 的不连续点是=3 和=-3 x2 ? 9

D. lim
x →1

x ?1 1 = x ?1 2
x +1

6. 文科)函数 y = 3 (文科)
x

(一 1≤x<0)的反函数是 B. y = ?1 + log 3 (1 ≤ x < 3)
x

A. y = 1 + log 3 ( x > 0) C. y = 1 + log 3 (1 ≤ x < 3)
x

D. y = ?1 + log 3 ( x > 0)
x

(理科)函数 y = 3 理科)

x 2 ?1

(?1 ≤ x < 0) 的反函数是
1 3
B. y = 1 + log 3 ( < x ≤ 1)
x

A. y = ? 1 + log 3 ( x ≥ )
x

1 3

C. y = ? 1 + log 3 ( < x ≤ 1)
x

1 3

D. y = 1 + log 3 ( x ≥ )
x

1 3

7.已知 m∈R,函数 f ( x ) = x 3 ? mx 在[1,+∞)上是单调增函数,则 m 的最大值是 A.0 B.1 C.2 ( D.3 ) D.-10 8.等差数列 {a n } , a 4 + a10 + a16 = 30, 则a18 ? 2a14 的值为 中 A.20 B.-20 C. 10

9. 过点(1,1)的直线 l 与圆 ( x ? 2) 2 + y 2 = 4 相交于 A、B 两点,当弦 AB 的长度最小时,直线 l 的斜 率为 A.2 ( ) B.-1 C.-2 D.1

10.已知 a, b 为两条直线, α , β 为两个平面;下列命题中,正确的个数是 ①若 a ⊥ α , a ⊥ β 则 α ⊥ β ; ②若 b ∥, b ∥ β 则∥ β ; ③若 a ⊥ α , b ⊥ α 则∥ b ; ④若∥, b ∥则∥ b . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派 方案共有 A. 108 种
x

B.186 种
x

C. 216 种

D. 270 种

12. 若关于 x 的方程 4 + a ? 2 + a = 0 有实数解,则实数的取值范围是

A. (? ∞,0]

B. (?∞,0)

C. [0,+∞ )

D . (0,+∞)

小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 填空题: 13.(文科 文科)一个电视台在因特网上就观众对其某一节止的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为 15000 文科 人,其中持各种态度的人数如下表所示: 很喜爱 3000 喜爱 4500 一般 5000 不喜爱 2500

电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取选出 150 人进行更为详细的调查,为此要进行 分层抽样,那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为_____________

2 3) (理科)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 1、2、3, P (ξ = k ) = ak + b( k = 1、、 ,又 ξ 的数学期望 理科) Eξ = 3 ,则 a + b =
. .

14. ( x ? ) 的展开式中的常数项为
6

1 x

? x ≥ 0, ? 15.设 x, y 满足约束条件: ? x ≥ y, 则 z = 3 x + 2 y 的最大值是 ?2 x ? y ≤ 1, ?

.

16. 文科)在 ?ABC 中,已知 b = 3, c = 3 3, B = 300 ,则 ?ABC 的面积 S ?ABC = (文科)
' (理科)设 f ( x) = cos( 3 x + ? )(0 < ? < Π ) ,若 f ( x) + f ( x) 是奇函数,则= 理科)

. .

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: 17. (本小题满分 10 分)已知向量 a = (sin x, ), b = (cos x, ?1). (1)当 a // b 时,求 2 cos x ? sin 2 x 的值;
2

3 2

(2) 文科)求 f ( x) = ( a + b ) ? b 的值域; (文科) (3) 理科)求 f ( x) = ( a + b ) ? b 在 ? ? (理科)

? π ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两个篮球运动员相互没有影响地站在罚球线上投球,其中甲的命中率为 现在每人都投球三次,且各次投球的结果互不影响.求: (1)甲恰好投进两球的概率; (2) 文科)甲乙两人都恰好投进两球的概率; (文科) (3) 理科)甲比乙多投进两球的概率. (理科)

1 2 ,乙的命中率为 , 2 3

19. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC = BC = AA1 = 2, ∠ACB = 90°, E、F、G 分别为 AC 、 AA1 、 AB 的中点. ⑴求证: B1C1 ∥平面 EFG ; ⑵求 FG 与 AC1 所成的角; ⑶(理科)求三棱锥 B1 ? EFG 的体积. (理科)

20. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } , Sn 是其前项的和,且 a1 + a3 = 5, S 4 = 15 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn =

5 + log 2 an ,求数列 {bn } 的前项和 Tn ; 2 1 3 n + 2(n = 1, 2,3 ???) 的大小,并说明理由. 2

(3) 理科)比较(2)中 (理科)

21. (本小题满分 12 分) 如图, F1 ( ?3,0), F2 (3,0) 是双曲线 C 的两个焦点,直线 x =

4 是双曲线 C 的右准线. A1、A2 为双曲线 C 的 3

两个顶点,点 P 是双曲线 C 右支上异于 A2 的一动点,直线 A1 P、A2 P 交双曲线 C 的右准线分别为 M 、 N 两点. ⑴求双曲线 C 的方程; ⑵求证: F1 M ? F2 N 为定值.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x ) > 0 的的取值范围为 (1,3) , 求: (1) f ( x ) 的解析式; (2) 文科) x ∈ [2,3] ,求 g ( x ) = f '( x ) + 6( m ? 2) x 的最大值; (文科) (3) 理科)若过点 P ( ?1, m) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线,求实数的取值范围. (理科)

数学试题参考答案及评分细则
一、选择题(50 分) 选择题( 选择题 题号 答案 1 A 2 (文)A (理)B 二、填空题(25 分) 填空题( 13. (文科) (理科) ? 理科) 文科) 16. 3 D 4 C 5 (文)C (理)B 6 (文)B (理)C 7 D 8 D 9 D 10 11 B 12 B

1 14.15 6

15.

9 9 3或 3 2 4

(理科) 理科)

π
6

三、解答题(75 分) 解答题( 17. (1)∵ a || b ,∴

3 3 cos x + sin x = 0 ,∴ tan x = ? 2 2

2 cos 2 x ? sin 2 x =

2 cos 2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 = = sin 2 + cos 2 x 1 + tan 2 x 13 1 2

(6 分)

(2) 文科)∵ a + b = (sin x + cos x, ) (文科)

f ( x) = (a + b) ? b = (sin x + cos x) ? cos x ?

1 1 2 π = (sin 2 x + cos 2 x) = sin(2 x + ) 2 2 2 4
(文 12 分)

π 2 2 ∵ ?1 ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 ,∴f(x)的值域为 [? , ] 4 2 2
(3) 理科) f ( x ) = ( a + b) ? b = (理科) ∵? ∴?

2 π sin(2 x + ) 2 4

π
2

≤ x ≤ 0 ,∴ ?

3π π π π 2 ≤ 2 x + ≤ ,∴ ?1 ≤ sin(2 x + ) ≤ 4 4 4 4 2
(理 12 分)
2

2 1 ≤ f ( x) ≤ 2 2 1 2
2

18. (1)记“甲恰好投进两球”为事件 A,则 P ( A) = C3 ( )

1 3 = 2 8 1 2
2

(6 分)

(2) 文科)甲、乙两人均恰好投入 2 个球的概率 P = [C 3 ( ) ( )][C 3 ( ) ( )] = (文科)
2 2 2

1 2

2 3

1 3

1 6

(3) 理科)记“甲比乙多投进两球”,其中“恰好甲投进两球且乙未投进”为事件 C1 ,“恰好甲投 (理科) 进 三 球 且 乙 投 进 一 球 ” 为 事 件 C2 , 根 据 提 议 , C1 、 C2 互 斥 ,

1 1 1 1 1 1 2 1 P(C1 + C2 ) = P(C1 ) + P(C2 ) = ( ) 3 C 32 ( ) 2 ( ) + ( ) 3 C 3 ( )( ) 2 = (理 12 分) 3 2 2 2 3 3 24
19. (1) (2) (3) 20. (1)设数列 {an } 的公比为,则 a1 + a3 = a1 + a1q = a1 (1 + q ) = 5
2 2

(6 分) (文 12 分) (理 12 分)

S 4 ? (a1 + a3 ) = a2 + a4 = a1q (1 + q 2 ) = 10
∴ q = 2, a1 = 1 则 an = 2
n ?1

(文 6 分,理 4 分)

(2)由(1)可知 bn =

5 5 3 + log 2 an = + (n ? 1) = n + 2 2 2 5 为首项,1 为公差的等差数列 2

所以数列 {bn } 是一个以

5 3 n( + n + ) n(b1 + bn ) 2 = n(n + 4) ∴ Tn = = 2 2 2 2
(3) 理科)∵ ( n + 2) ? Tn = (理科)
3

(文 12 分,理 8 分)

1 2

1 3 1 (n ? n 2 ? 4n + 4) = (n ? 1)(n ? 2)(n + 2) 2 2

∴当 n = 1, 2 时, 当 n ≥ 3 时,

1 1 (n ? 1)(n ? 2)(n + 2) = 0 ,即 Tn = n3 + 2 2 2

1 1 (n ? 1)(n ? 2)(n + 2) > 0 ,即 Tn < n3 + 2 2 2 1 3 1 n + 2 ; n ≥ 3 时, Tn < n3 + 2 2 2
(理 12 分)

综上可知: n = 1, 2 时, Tn = 21. ⑴由已知 c = 3,

a2 4 = c 3

∴ a = 2, b 2 = c 2 ? a 2 = 5 x2 y2 所求双曲线 C 的方程为 ? = 1; 4 5
⑵设 P 点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,M,N 的纵坐标分别为 y1 , y 2 .

∵ A1 (?2,0), A2 (2,0)
∴ A1 P = ( x0 + 2, y 0 ), A2 P = ( x0 ? 2, y 0 )

10 2 A1 M = ( , y1 ), A2 N = ( ? , y 2 ) 3 3

∵ A1 P与 A1 M
∴ ( x0 + 2) y1 =
同理 y 2 =

共线

10 y 0 10 y 0 ? y1 = 3 3( x0 + 2)

12 y 0 3( x0 ? 2)

∵ F1 M = (

13 5 , y1 ), F2 N = (? , y 2 ) 3 3 13 5 , y1 ) ? ( ? , y 2 ) 3 3

∴ F1 M ? F2 N = (

65 + y1 y 2 9 2 20 y 0 65 =? ? 2 9 9( x 0 ? 4) =?
2 5( x 0 ? 4) 20 × 65 4 =? ? = ?10 2 9 9( x 0 ? 4)

22. 文科) (文科) (1)由题意得: f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c = 3a ( x ? 1)( x ? 3), ( a < 0) ∴在 ( ?∞,1) 上 f '( x ) < 0 ;在 (1,3) 上 f '( x ) > 0 ;在 (3, +∞) 上 f '( x ) < 0 在此 f ( x ) 在 x0 = 1 处取得极小值 ?4 ∴ a + b + c = ?4 ①

f '(1) = 3a + 2b + c = 0 ② f '(3) = 27 a + 6b + c = 0 ③

? a = ?1 ? 由①②③联立得: ?b = 6 ? c = ?9 ?
∴ f ( x) = ? x3 + 6 x 2 ? 9 x (6 分)

(2) 文科) g ( x ) = ?3( x ? 1)( x ? 3) + 6( m ? 2) x = ?3( x 2 ? 2mx + 3) ① (文科) ①当 2 ≤ m ≤ 3 时, g ( x ) max = g ( m) = ?3( m ? 2m + 3) = 3m ? 9
2 2 2

②当 m<2 时,g(x)在[2,3]上单调递减, g ( x ) max = g (2) = 12m ? 21

③当 m>3 时,g(x)在[2,3]上单调递增, g ( x) max = g (3) = 18m ? 36 (文 12 分) (3) (理科)设切点 Q (t , f (t ))

y ? f (t ) = f , (t )( x ? t ) y = (?3t 2 + 12t ? 9)( x ? t ) + (?t 3 + 6t 2 ? 9t )

= (?3t 2 + 12t ? 9) x + t (3t 2 ? 12t + 9) ? t (t 2 ? 6t + 9) = (?3t 2 + 12t ? 9) x + t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m)
m = (?3t 2 + 12t ? 9)(?1) + 2t 3 ? 6t 2 g (t ) = 2t 3 ? 2t 2 ? 12t + 9 ? m = 0
令 g '(t ) = 6t 2 ? 6t ? 12 = 6(t 2 ? t ? 2) = 0 , 求得: t = ?1, t = 2 ,方程 g (t ) = 0 有三个根。 需: ?

? g (?1) > 0 ??2 ? 3 + 12 + 9 ? m > 0 ?m < 16 ?? ?? ? g (2) < 0 ?16 ? 12 ? 24 + 9 ? m < 0 ?m > ?11

故: ?11 < m < 16 因此所求实数的求职范围为: ( ?11,16) (理 12 分)



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