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2015高考数学优化指导第2章 第3节


第二章

第三节

1.(2014· 广东六校联考)若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lg x) 的解集是( A.(0,10) 1 ? C.? ?10,+∞? ) 1 ? B.? ?10,10? 1 0, ?∪(10,+∞) D.? ? 10?

解析:选 D 因为 f(x)为偶函数,

所以 f(x)=f(|x|),因为 f(x)在(-∞,0)内单调递减,所 1 以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.故|lg x|>1,即 lg x>1 或 lg x<-1,解得 x>10 或 0<x< . 10 2.(2014· 东北三校模拟)若偶函数 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立 的是( ) 3? B.f(-1)<f? ?-2?<f(2) 3? D.f(2)<f? ?-2?<f(-1) 3? A.f? ?-2?<f(-1)<f(2) 3? C.f(2)<f(-1)<f? ?-2?

解析:选 D 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(2)=f(-2),又 f(x)在(-∞,-1]上是增函 3? 3 数,且-2<- <-1,所以 f(-2)<f? ?-2?<f(-1),选 D. 2 3.(2014· 东北三校联考)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=( A.-1 C.-2 ) B.1 D.2

解析:选 A ∵函数 f(x)的周期为 5,∴f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又∵f(x)为 R 上的奇 函数,∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.
x ? ?1-2 ,x≥0, ? 4.已知函数 f(x)= x 则该函数是( ?2 -1,x<0, ?


)

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减
- -

解析: 选 C 当 x>0 时, -x<0, f(-x)+f(x)=(2 x-1)+(1-2 x)=0; 当 x<0 时, -x>0, f(-x)+f(x)=(1-2x)+(2x-1)=0;易知 f(0)=0.因此,对任意 x∈R,均有 f(-x)+f(x)=0, 即函数 f(x)是奇函数.当 x>0 时,函数 f(x)是增函数,因此函数 f(x)单调递增,选 C. 5.(2014· 合肥检测)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x -3,则 f(f(1))=( A.1 ) B.-1
-1

C.2 A.

D.-2

解析:选 A 依题意得 f(1)=20-3=-2,f(f(1))=f(-2)=-f(2)=-(21-3)=1,故选 6.(2014· 沈阳模拟)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足不等式 f(2x- 5? 1)>f? ?3?成立的 x 的取值范围是( 1 4? A.? ?-3,3? 1 4? C.? ?3,3? ) 1 4? B.? ?-3,3? 1 4? D.? ?3,3?

解析:选 B 因为偶函数的图象关于 y 轴对称,在区间[0,+∞]上单调递减,所以 f(x) 5? 5 5 1 4 在(-∞,0]上单调递增,若 f(2x-1)>f? ?3?,则-3<2x-1<3,故-3<x<3,故选 B. 7.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 011)+f(2 012)=( A.1+log2 3 C.-1 D.1 )

B.-1+log2 3

解析:选 C ∵f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,∴f(-2 011)=f(2 011).当 x≥0 时,f(x +4)=-f(x+2)=f(x),则 f(x)是以 4 为周期的函数.又 2 011=4×502+3,2 012=4×503, ∴f(2 011)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-log2(1+1)=-1, f(2 012)=f(0)=log2 1=0, ∴f(-2 011) +f(2 012)=-1,故选 C. 8.(2014· 吉林调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(-x)=0,且在(-∞,0)上单 调递增,如果 x1+x2<0 且 x1x2<0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.可能为 0 C.恒小于 0 解析:选 C 由 x1x2<0 可设 x1<0,x2>0. ∵x1+x2<0,∴x1<-x2<0. 由 f(x)+f(-x)=0 知 f(x)为奇函数. 又 f(x)在(-∞,0)上单调递增, 所以 f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 所以 f(x1)+f(x2)<0.故选 C. 9.(2012· 重庆高考)若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. 解析:4 由 f(x)=(x+a)(x-4)得 f(x)=x2+(a-4)x-4a,若 f(x)为偶函数,则 a-4=0, 即 a=4. 10.(2014· 孝感调研)已知 y=f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,且 0≤x≤2 时,f(x) =x2-2x,则 10≤x≤12 时,f(x)=________. 解析:-x2+22x-120 因为 f(x)在 R 上是周期为 4 的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),f(x + 4) = f(x) ? f(x - 12) = f(x) .设 0≥x≥ - 2 ,则 0≤ - x≤2 , f(x) =- f( - x) =- x2 - 2x. 当 )

B.恒大于 0 D.可正可负

10≤x≤12 时,-2≤x-12≤0,f(x)=f(x-12)=-(x-12)2-2(x-12)=-x2+22x-120. 11.(2012· 上海高考)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1) =________. 解析:-1 ∵y=f(x)+x2 为奇函数 ∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2] ∴f(x)+f(-x)+2x2=0 ∴f(1)+f(-1)+2=0 ∵f(1)=1 ∴f(-1)=-3 ∵g(x)=f(x)+2 ∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 12.已知函数 f(x)在实数集 R 上具有下列性质:①直线 x=1 是函数 f(x)的一条对称轴; ②f(x+2)=-f(x); ③当 1≤x1<x2≤3 时, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0, 则 f(2 011), f(2 012), f(2 013) 从大到小的顺序为________. 解析:f(2 013)>f(2 012)>f(2 011) 由②知 f(x)的周期为 4. 由③知 f(x)在[1,3]上为减函数, ∴f(2 011)=f(3),f(2 012)=f(0)=f(2),f(2 013)=f(1), ∴f(1)>f(2)>f(3),即 f(2 013)>f(2 012)>f(2 011). 13.(2014· 潍坊模拟)已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当 x∈[0,2] 时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题: ①f(2)=0;②x=-4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴;③函数 y=f(x)在[8,10]上单调递 增;④若方程 f(x)=m 在[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-8. 以上命题中所有正确命题的序号为________. 解析:①②④ 令 x=-2,得 f(2)=f(-2)+f(2),所以 f(-2)=0,又函数 f(x)是偶函数, 故 f(2)=0;根据①可得 f(x+4)=f(x),则函数 f(x)的周期是 4,由于偶函数的图象关于 y 轴对 称, 故 x=-4 也是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; 根据函数的周期性可知, 函数 f(x)在[8,10] 上单调递减,③不正确;由于函数 f(x)的图象关于直线 x=-4 对称,故如果方程 f(x)=m 在 x1+x2 区间[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 =-4,即 x1+x2=-8.故正确命题的序号为① 2 ②④. a 14.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2, f(-x)=f(x),函数是偶函数.

a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R),取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; x f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1, 1 这时 f(x)=x2+ . x 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 1? ? 2 1? 2 则 f(x1)-f(x2)=? ?x1+x ?-?x2+x ?
1 2

x2-x1 =(x1+x2)(x1-x2)+ x1x2 1 ? =(x1-x2)? ?x1+x2-x1x2?. 由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2. 1 故 x1-x2<0,x1+x2> , x1x2 所以 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.

1. 设 f(x)是奇函数, 且在(0, +∞)内是增函数, 又 f(-3)=0, 则 x· f(x)<0 的解集是( A.{x|-3<x<0,或 x>3} C.{x|x<-3,或 x>3} 解析:选 D 由 x· f(x)<0,
? ? ?x<0, ?x>0, 得? 或? ?f?x?>0 ?f?x?<0, ? ?

)

B.{x|x<-3,或 0<x<3} D.{x|-3<x<0,或 0<x<3}

而 f(-3)=0,f(3)=0,
?x<0, ?x>0, ? ? 即? 或? ? ? ?f?x?>f?-3? ?f?x?<f?3?,

所以 x· f(x)<0 的解集是{x|-3<x<0,或 0<x<3}. 1 2.设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- ,且当 x∈[-3,-2]时,f(x)=4x, f?x? 则 f(107.5)=( A.10 C.-10 ) 1 B. 10 1 D.- 10

1 解析:选 B 由于 f(x+3)=- , f?x? 所以 f(x+6)=f(x),即函数 f(x)的周期等于 6, 又因为函数 f(x)是偶函数, 于是 f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5) =f(3+2.5) 1 1 =- =- f?2.5? f?-2.5? 1 1 =- = ,故选 B. 4×?-2.5? 10 3. 若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数, 且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), 则 f(-6)=________. 解析:-1 ∵y=f(x)为偶函数,且 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,∴1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 4.关于函数,给出下列命题: ①若函数 f(x)是 R 上周期为 3 的偶函数,且满足 f(1)=1,则 f(2)-f(-4)=0; ②若函数 f(x)满足 f(x+1)f(x)=2 013,则 f(x)是周期函数;
? ?x-1,x>0, ③若函数 g(x)=? 是偶函数,则 f(x)=x+1; ?f?x?,x<0 ?

④函数 y=

3 1 ? log |2x-3|的定义域为? ?2,+∞?.
3

其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号) 解析: ①② ①因为 f(x+3)=f(x)且 f(-x)=f(x), 所以 f(2)=f(-1+3)=f(-1)=f(1)=1, f(-4)=f(-1)=f(1)=1,故 f(2)-f(-4)=0,①正确. 2 013 2 013 ②因为 f(x+1)f(x)=2 013,所以 f(x+1)= ,f(x+2)= =f(x).所以 f(x)是周期 f?x? f?x+1? 为 2 的周期函数,②正确. ③令 x<0, 则-x>0, g(-x)=-x-1.又 g(x)为偶函数, 所以 g(x)=g(-x)=-x-1.即 f(x) =-x-1,③不正确.

? ?log1|2x-3|≥0, 3 ④要使函数有意义,需满足? 3 即 0<|2x-3|≤1,所以 1≤x≤2 且 x≠ , 2 ? ?|2x-3|>0,
3? ?3 ? 即函数的定义域为? ?1,2?∪?2,2?,④不正确.

-x +2x,x>0, ? ? 5.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值;

2

是奇函数,

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2.
? ?a-2>-1, (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合 f(x)的图象知? ?a-2≤1. ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. (1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,有 f(x+1)=f(1-x), 即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x). 故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解:由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=- -x. 故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时, 函数 f(x)=- -x-4.


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