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奥赛题库原子物理1


奥赛题库—原子物理
238

郑育坤
206

51001. 铀 92 U 的半衰期τ =45 亿年,最后衰变成稳定的铅 82 Pb. ,假设从有地球开始铀 就连续衰变,现在测出矿石中所含铀和铅的质量之比为 4 : 3.6. 试确定地球的年龄。 解:设放射性元素 92 U 衰变前的原子核数为 N ? , 衰变后剩余原子核

数为 N , 由半衰期概念可知 + 0~500V ─ PA
238

1 N ? N0 ( ) 2
根据题意可得

t

?

MU 238 N 4 ? ? t M Pb 206 (2 ? ? 1) 3.6
由此可得 两边取对数后有

2

t

?

? 2.04

t 1g 2 ? 1g 2.04 45
解得 t ? 46 亿年 所以,地球的年龄约为 46 亿年。 51002. 已知一定剂量的放射性钠盐溶液在 1min 内有 12000 个钠原子发生衰变,半衰期为 15h 将此剂量的钠盐溶液注入病人血液中, 经 30h 后抽取 1.0cm3 的血液进行检查, 发现平均 第分钟有 0.5 次衰变。试估算病人血液的总体积。 解:设原有放射性钠原子 N ? 个,衰变系数为

??

0.693

?

?

0.693 ?1 s ? 1.28 ? 10 ?5 s ?1 15 ? 3600

在 t1 ? 1? 60s 内,有 N1 ? 12000个钠原子衰变,余下未衰变的钠原子数为

N? ? N1 ? N 0 e ??t1
由此可得

N?

N1 12000 ? ? 1.56 ? 107 (个) ??t1 ?1.28 ?5 ? 10 ? 60) (1 ? e ) (1 ? e

经 t ? 30h ,即两个半衰期后,余下的钠原子数为

1 N ? ( ) 2 ? N ? ? 3.9 ? 10 6 (个) 2
再经 t3 ? 1? 60s, N 个钠原子中衰变的原子数为

?N ? N ? N e
血液总体积约为

? ?t3

? N (1 ? e ??t3 ) ? 3.9 ? 106 ? (1 ? e ?1.28?10

?5

?60

) ? 3000 (个)

V?

?N ? 1.0 ? 6.0 ? 10 3 cm 3 ? 6.0 ? 10 ?6 m 3 0.5

51003. 某放射性元素 A,其半衰期为τ ,原子量为 M,经一系列衰变后变成稳定的元素 B, B 的原子量为 m。现测得一块矿石中 A 和 B 的质量比为 k,设该矿石最初形成时其内不包 含元素 B,试求此时矿石的年龄。 解:设该矿石最初形成时其内有元素 A 的原子 N 0 个,并设其年龄为 t,则现在此矿石内尚 留有 A 元素的原子数为

1 N A ? N 0 ( )t /? 2
而已衰变的 A 元素的原子均变成了 B 元素的原子,则此时矿石中 B 元素的原子数为

N B ? N0 ? N A
1 ? N 0 [1 ? ( ) t / ? ] 2
由于此矿石中 A 元素与 B 元素的质量比为 k,即

N AM ?k NBm
1 N 0 ( )t /? M 2 ?k 1 t /? N 0 [1 ? ( ) ]m 2
1 km ( )t /? ? 2 M ? km t M ? km km M ? km km

所以

解上式得

两边以 2 为底取对数得

?

? log 2

故得此矿石的年龄为

t ? ? log 2

51004. 大气中的 C612 受到次及宇宙射线的撞击形成 C612,C612 又发生β -衰变,其半衰期 为 6000 年。认为 C612 是稳定的,宇宙射线的强度可认为是常数,故大气中 C612 与 C612 的比 率几乎是不变的。 活的有机体在新陈代谢中不断地从大气中吸收或者放出碳原子, 因而可近

似认为活的有机体中 C612 与 C612 的比率也是一定的。但有机体死了以后,由于β -衰变,C612 的百分比随着时间流逝而不断降低, 这一原理被用来测定化石的年龄。 已知活着的有机体中 每一克碳在一分钟内平均产生 12 次β 衰变, 而测出某化石中含有 20g 碳, 它每分钟产生 160 次β 衰变,试问此有机体已死去多长时间? 分析: 我们学过了衰变过程中粒子数随时间变化的公式, 但没学衰变强度随时间变化的公式。

?N ? 但是,深刻理解衰变公式。我们可以推断,衰变强度 ?t 粒子数 N,由此可以解题。
解:设有机体死去时,存有 C6 为 N 0
14

/ g ,则有

?N ?t
?N ?t
由衰变公式,有

? kN 0 ? 12
t ?0

式中 k 为比例常数。同理,有

? kN ?
t ?T

160/ 60 20

N ? N0 2?T / ?
其中 ? 为 C6 的半衰期。 由上式,可得
14

2 ?T / ? ? 0.0 1 1 1

T ? ? log 0.0111/ log 2? ? 6.49? ? 3.98 ?104 年
补充:利用求导的知识,可有

?N dN d ( N 0 Z ?T / ? ) ? ln 2 ? ln 2 ? ? ? N 0 2 ?T / ? ? N ?t dt dt ? ?
?N ln 2 ? k? ? 。 故 ?t N 是正确的,且常数
51005. 在一个密闭的容器中装有放射性同位素氪(36Kr85)气,在温度为 20?C 时,其压强为 1 大气压, 将容器埋入地下深处, 经过 22 年后取出, 在此期间有些氪经β 衰变成为铷(37Rb85), 铷最后是固体状态。现在,在温度仍为 20?C 时,测得容器中的压强已经降为 0.25 大气压, 并测得容器中有固体铷 0.75×10-3 摩尔。设铷的体积与容器体积相比可以忽略不计。试计算 埋入时氪的质量以及氪的半衰期。 分析: 分别写出氪气埋入与取出时的状态方程, 两相比较可求出埋入时氪气的摩尔数与质量。 因衰变产生的铷摩尔数已知, 故取出时氪摩尔数可知。 埋入和取出时氪质量的变化是衰变的 结果,于是半衰期可求。

解:设埋入时氪的摩尔数为 v0 ,压强为 P0 ( P0 =1 大气压) ,体积为 V(即容器体积) ,温 度为 T( T

? 237 ? 20K ) ,则其状态方程为

p0V ? v0 RT
取出时 V,T 不变,压强降为 0.25 P0 ,摩尔数减为( v0

? 0.75?10?3 ) ,其状态方程为

0.25p0V ? (v0 ? 0.75?10?3 摩尔)RT
由上两式,得出

v0 ? 1.00 ?10?3 摩尔
氪的摩尔质量 ?

? 85 克/摩尔,故埋入时氪的质量为

M 0 ? v0 ? ? 8.5 ?10?2 克
取出时容器中氪的摩尔数为

v ? v0 ? 0.75?10?3 摩尔
? 0.25 ?10?3 摩尔
设氪的半衰期为 ? ,它是放射性衰变过程中放射性核的数目减为原来的一半所需的时间,则 有

M v? ? 1 ? ? ?? ? M 0 v0 ? ? 2 ?


22年 / ?

M v? v ? ? M 0 v0 ? v0
1 ?1? ? ?? ? 4 ?2?
?1? ? ? ?2?
22年 / ?

2

故 即

?1? ?? ? ?2?

2

? ? 11 年

51006. 实验测得 1 克 RbCL 的放射性强度是 487 次/秒,同位素的 87Rb 的含量是 27.2%。试 求 87Rb 的衰变常数λ 和半衰期 T。 解:放射性强度定义为放射性物质在单位时间内发生衰变的原子核数目,用 I 表示为:

I ? lim ?t ?0

?N ? ?N ? ?N 0 e ??t ? I 0 e ??t ?t

由题意,1 克放射性物质 RbCl 的放射性强度 I 0

? 487 次/秒,即:

I 0 ? ?N 0

?

??

I0 N0

又 Cl 的原子量是 35.457 , Rb 的原子量是 85.480 ,所以 1 摩尔 RbCl 等于 120.9 克

6.023?1023 1克 ? ? 4.981?1021 120.94克 (35.457+85.480) ,1 克 RbCl 所含的分子个数等于 ,
在 RbCl 中
87

Rb 的含量是 27.20%,因此 87 Rb 的原子个数为:

N0 ? 4.981?1021 ?27.2% ? 1.354?1021

?

??
T?

I0 487 ? ? 3.512 ?10?19 / 秒 21 N 0 1.354 ?10
ln 2

?

?

0.693 ? 1.9739?1018 秒 ?19 3.512 ?10

? 6.2 ? 1010 年
51007. 许多元素都有同位素,在目前已发现的 114 种元素中,稳定同位素约有 300 多种, 而放射性同位素达 1500 种以上而且大多数是人工制备的。中国科学院近代物理研究所的科 学家利用兰州重离子加速器在重质量半中子区,首次制得镤元素的一种同位素 234Pa,已知
234 90 234 Th (钍)→234Pa (镤)+e(电子) ,则 Pa 原子核里的中子数应是多少?同位素在生产生

活和科研中有十分广泛的用途,比如:测定矿石及生物遗体的年代;研究反应机理;优良育 种;临床治癌等。碳元素的三种同位素 12C、13C、14C 中,已知各同位素的原子含量分别是 a、b、c,碳元素的相对原子质量是多少?又 14C 具有放射性,半衰期为 5686 年,空气的 12C 和 14C 的存量比约是 1012:1.2,活着的生物体内碳的这两种同位素存量比与空气中相同。生 物死亡后不再吸收碳,14C 将以 5686 年为半衰期减少,现测得一块古代化石中,14C 与 12C 的存量比约为空气中 1/3,则这古化石的年龄应是多少? 解:配平反应式
234 90 234 Th ?91 Pa ? 0 电子) ?1 e(

可知镤核原子序数即核内质子数为 91,因此其中子数为 234-91=143。 按相对原子质量定义,碳元素相对原子质量应是 12a+13b+14c。
14 求古化石年龄的方法是:已知 C 中的半衰期 T=5686 年,以 t 表示古代石的年龄,t 开始时 14

化石中含

C 原 子 的 质 量 为 m0, 经 时 间 t 至 今 , 只 剩 下 m , 则 根 据 半 衰 期 定 义 有

? 1 ?T m ? m0 ? ? ? 2 ? ,发生了衰变的 14 C 原子最后总要变成稳定的 12 C 原子,在时间 t 内化石中
12 增加的 C 原子质量为 m ? 。

t



(m0 ? m) : m? ? 14 : 12

12 设 t 开始时刚死亡的生物体内 C 的质量为 m120 ,依题意

m0 : m120 ? 1.2 : 1012
m : (m120 ? m?) ?
t T

1 1.2 ? 3 1012
t ? ? 1012 6 ? ? 1 ?T ? ? m0 , m ? ? m0 1 ? ? ? 1.2 7 ? ?2? ? ? ? ,可得

m120 ?1? m ? m0 ? ? ?2? , 联立上述几式:
? 1 ?T ? ? 0. 4 ?2? ? 12 t ? ? 10 1012 6 ? ? 1 ? T ? ? 1? ? ? 1. 2 7 ? ? 2 ? ? ? ?
t

2.4 2.4 ? 1 ? T ? 1 ?T 1 1012 ? ? ? ? 1012 ? ? ? ? 3 7 7 ?2? ?2?
略去等式右边后两项,再约去 10 得
12

t

t

? 1 ?T 1 ? ? ? 3 ?2?
t ?T lg 3 0.477 ? 5686? ? 9010 .7 lg 2 0.301 (年)

t

镤核内中子数为 143:碳元素相对原子质量 12a+13b+14c;古化石的年龄为 9010.7 年。 51008. 放射性与地球年龄 假定地球形成时同位素 238U 和 235U 已经存在,但不存在它们的衰变产物。238U 和 235U 的衰 变被用来确定地球的年龄 T 。 (1)同位素 238U 以 4.50×109 年为半衰期衰变,衰变过程中其余放射性衰变产物的半衰期 比这都短得多,作为一级近似,可忽略这些衰变产物的存在,衰变过程终止于铅的同位素 206 Pa。 用 238U 半衰期、 现在 238U 的数目 238N 表示出由放射衰变产生的 206Pa 原子的数目 206Pn。 (运算中以 109 年为单位为宜) (2)类似地,235U 在通过一系列较短半衰期产物后,以 0.710×109 年为半衰期衰变,终止

于稳定的同位素 207Pa。写出 207n 与 235N 和 235U 半衰期的关系式。 206 (3) 一种铅和铀的混合矿石。 用质谱仪对它进行分析, 测得这种矿石中铅同位素 204Pb、 Pb 207 204 和 Pb 的相对浓度比为 1.00∶29.6∶22.6。由于同位素 Pb 不是放射性的,可以用作分析 时的参考。分析一种纯铅矿石,给出这三种同位素的相对浓度之比 1.00∶17.9∶15.5。已知 比值 238UN∶235N 为 137∶1,试导出包含 T 的关系式。 (4)假定地球的年龄 T 比这两种铀的半衰期都大得多,由此求出 T 的近似值。 (5)显然上述近似值并不明显大于同位素中较长的半衰期,但用这个近似值可以获得精确度 更高的 T 值。由此在精度 2%以内估算地球的年龄 T 。 分析:解答本题的关键是正确理解原子衰变的半衰期概念,运用公式 N ? N 0 2 数学的对数运算,即可得出结果。 解:(1) N ? N 0 ? 2
?t ? ?t ?

,辅以

,其中 N 0 为原始原子数, ? 为半衰期。
?

n ? N 0 ? N 0 2 ?t
用现在原子数 N 表示,则为

? N 0 1 ? 2 ?t

?

?

?

n ? N 2t ? ? 1

?

?

?206 n?238N 2t 4.50 ? 1 ,其中 t 以 109 年为单位。
(2)同理,
207

?

?

n? 235N 2t 0.710 ? 1
206

?

?
? 2t 2
4.50

n n

(3)

207

?

238 235

N N

?1 ?1 ,

t 0.710



29.6 ? 17.9 2T 4.50 ? 1 ? 137? T 0.710 T 22.6 ? 15.5 2 ? 1 或 0.01202

?

0.710

? 1 ? 2T

? ?

4.50

?1 。

?

(4)设 T ? ?4.50 ,在上式中可略去 1,而有

0.0120? 2T


0.710

? 2T

4.50

0.0120 ? 2T ?1 4.50?1 0.710 ? In0.0120 T? ? 5.38 1 ? ? 1 In2 ? ? ? ? ? 4.50 0.71?

T ? 5.38? 109 (年)

(5) T 并不 ? ?4.5 ?10 年,但 T ? 0.710?10 年。可以用 T 近似值(称 T ? 5.38? 10 年)
9 9

9

?

代入(3)中未略去 1 的方程的 2

T 4.50

项中, 计算 2

T 0.710

项中的 T , 以得到 T 的较好近似值,

再重复以上运算,得出更好的 T 近似值。

0.0120 2T 2T
0.71

?

0.71

? 1 ? 2T

?

?

4.50

? 1,

?1 ?

2 5.38 4.50 ? 1 ? 107.5, 0.0120
T ? 0.71 In108 .5 4.80 In 2

得 再取

T ? ? 4.80,
2 4.80 4.50 ? 1 ? 91.2, 0.0120 In92.2 T ? 0.71 ? 4.63 In2 2T
0.71

?1 ?

9 9 再作一次运算得 T ? 4.58 。故 T 的更精确答案在 4.5 ? 10 年到 4.6 ? 10 年范围内(两个值

都算对)。


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