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2014高考数学必考点解题方法秘籍 三角函数1 理


2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:三角函数 1
一.复习目标: 1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等. 2.熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等.并能应用这些方法进行三 角函数式的求值、化简、证明. 3.掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题. 4.熟练掌握正弦函数、余

弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性 质. 5.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、

6.理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化. 二.考试要求: 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同解三 角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ω x+ψ )的简图,理解 A、ω 、ψ 的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsin x, arcos x,arctan x 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角 形的计算问题。 三.教学过程: (Ⅰ)基础知识详析 (一)三角变换公式的使用特点 1.同角三角函数关系式 (1)理解公式中“同角”的含义. (2)明确公式成立的条件。 例如,tan α +1=sec α ,当且仅当 ? ≠k
2 2

(3)掌握公式的变形.特别需要指出的是 sinα =tanα ?cosα , cosα =cotα ?sinα .它使得“弦”可以用“切”来表示. (4)使用这组公式进行变形时,经常把“切” 、 “割”用“弦”表示,即化弦法,这是三角变换 非常重要的方法. (5)几个常用关系式 ①sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ?cosα ;(三式之间可以互相表示.)

-1-

同理可以由 sinα -cosα 或 sinα ?cosα 推出其余两式.

?? ? 1 ? sin ? ? ?1 ? sin ? 2? . ? ②

2

? ?? x ? ? 0, ? ? 2 ? 时,有 sin x ? x ? tan x . ③当

2.诱导公式 (1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角. (2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定. (3)sin(kπ +α )=(-1)ksinα ;cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z).

?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? sin ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 4? 4?; 4? ? ?4 ? ? ? ?4 ?. ⑷熟记关系式
3.两角和与差的三角函数 (1)公式不但要会正用,还要会逆用. (2)公式的变形应用要熟悉. 熟记:tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα ?tanβ ),它体现了两个角正切的和与积的关系.

(3)角的变换要能灵活应用,如 α =(α +β )-β ,β =α -(α -β ),2α =(α +β )+(α -β )等. 4.倍角公式,半角公式

(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时,公式的选择要准确. 如已知 sinα ,cosα ,tanα 求 cos2α 时,应分别选择 cos2α =1 ?

(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握.要明确,降幂法是三角 变换中非常重要的变形方法.

对 sin3α ,cos3α 的公式应记住. (4)使用正弦、余弦的半角公式时,要注意公式中符号的确定方法.正

-2-

在使用无理表达式时,须要确定符号;在使用两个有理表达式时,无须确定符号,这是与选 用无理表达式最大的区别,因此在化简、证明题中,

5.和差化积、积化和差公式,这两组公式现在不要求记忆,但要会使用. (1)要明确,这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式.

(3)对下列关系式要熟记: 6.三角变换: 三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换. 三角恒等变形是以同角三角公式,诱导公式,和、差、倍、半角公式,和差化积和积化和差 公式,万能公式为基础. 三角代换是以三角函数的值域为根据,进行恰如其分的代换,使代数式转化为三角式,然后 再使用上述诸公式进行恒等变形,使问题得以解决. 7.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点. (1)角的变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC.

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理.

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半.

在非直角△ABC 中,tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC. (4)在△ABC 中,熟记并会证明: ∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°. △ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列. 8.三角形的面积公式:

1 1 1 (1)△= 2 aha= 2 bhb= 2 chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) .
-3-

1 1 1 (2)△= 2 absinC= 2 bcsinA= 2 acsinB.

a 2 sin B sin C b 2 sin C sin A c 2 sin A sin B (3)△= 2 sin( B ? C ) = 2 sin(C ? A) = 2 sin( A ? B ) .
(4)△=2R2sinAsinBsinC. (R 为外接圆半径)

abc (5)△= 4 R .

1 ? ? ? s ? (a ? b ? c) ? s ( s ? a )( s ? b)( s ? c) ; ? 2 ?. (6)△=
(7)△=r?s. 9.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2. (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义)

a b sinA=cosB= c ,cosA=sinB= c , a b tgA=ctgB= b ,ctgA=tgB= a .
10.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边. (1)三角形内角和:A+B+C=π . (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC. (4)射影定理:a=b?cosC+c?cosB, b=a?cosC+c?cosA, c=a?cosB+c?cosA. 11.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一 个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形 的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分 为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形是

-4-

斜三角形,则称为解斜三角形. 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C. (1)角与角关系:A+B+C = π , (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b. (3)边与角关系:

正弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C (R 为外接圆半径) .

余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA.

sin A a b2 ? c2 ? a2 ? cos A ? 2bc 它们的变形形式有:a = 2R sinA, sin B b , .
(4)面积公式:

S? ?

1 1 1 1 1 1 aha ? bhb ? chc ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2 2 2 2 .

解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b. (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短边所对 的角,然后利用 A+B+C = π ,求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再 由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π ,求角 C. (二)三角函数性质的分析 1.三角函数的定义域

这两种表示法都需要掌握.即角 x 不能取终边在 y 轴上的角. 函数 y=cotx 的定义域是 x≠π 或(kπ ,kπ +π )(k∈Z),这两种表示法都需要掌握.即角 x 不 能取终边在 x 轴上的角. (2)函数 y=secx、y=cscx 的定义域分别与 y=tanx、y=cotx 相同. 2.三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1 得函数 y=cscx、y=secx 的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1. (2)复合三角函数的值域问题较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意三角函 数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换再求值域. 常用的一些函数的值域要熟记.

-5-

③y=tanx+cotx∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 3.三角函数的周期性 (1)对周期函数的定义,要抓住两个要点: ①周期性是函数的整体性质,因此 f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个 x 成立时,非零常数 T 才是 f(x)的周期. ②周期是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值. 因为 sin(2kπ +x)=sinx 对定义域中任一个 x 成立,所以 2kπ (k∈Z,k≠0)是 y=sinx 的周期, 最小正周期是 2π . 同理 2kπ (k∈Z,k≠0)是 y=cosx 的周期,最小正周期是 2π . 因为 tan(kπ +x)=tanx 对定义域中任一个 x 成立,所以 kπ (k∈Z,k≠0)是 y=tanx 的周期, 最小正周期是π . 同理 kπ (k∈Z,k≠0)是 y=cotx 的周期,最小正周期是π .

(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用 ①函数的递增或递减区间周期性的出现,每一个三角函数,都有无数个递增或递减区间,这 些递增区间互不连接,递减区间也互不连接. ②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化. ③因为三角函数是周期函数,所以画三角函数图象时,只须画一个周期的图象即可. 4.三角函数的奇偶性,单调性 研究函数的单调性,关键是求函数的单调区间.

5.三角函数的图象 (1)画三角函数的图象应先求函数的周期,然后用五点法画出函数一个周期的图象. (2)函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx 图象的对称中心分别为

-6-

∈Z)的直线. (三)思想方法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ +sin2θ =tanx?cotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑

???
角:α =(α +β )-β ,β =

???


2

2

等。

(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。 (5)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的
2 2

b ? ? 符号确定, 角的值由 tan = a 确定。

?
(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan 2 的有理式。 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、 余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 (四)注意事项 对于三角函数进行恒等变形,是三角知识的综合应用,其题目类型多样,变化似乎复杂,处 理这类问题,注意以下几个方面: 1.三角函数式化简的目标:项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数 尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值. 2.三角变换的一般思维与常用方法. 注意角的关系的研究,既注意到和、差、倍、半的相对性,如

? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ? 2 ?

?
2

?

1 ? 2? 2 .也要注意题目中所给的各角之间的关系.

注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角,如切割化弦,互余互化,常数代换等. 熟悉常数“1”的各种三角代换:

1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sec 2 ? ? tan 2 ? ? cos ? ? sec ? ? sin

?
2

? cos 0 ? tan

?
4

? 2 sin

?
6 等.

注意万能公式的利弊:它可将各三角函数都化为

tan

? 2 的代数式,把三角式转化为代数式.但
-7-

往往代数运算比较繁. 熟悉公式的各种变形及公式的范围,如

sin α = tan α ? cos α ,

1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

1 ? cos ? ? ? tan 2 , sin ? 2 等. 1 ? cos ? ? 2 sin 2

?
2,

利用倍角公式或半角公式,可对三角式中某些项进行升降幂处理,如
2 2

?? ?? ? ? ? ? 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 2 2? , 2 2 ? 等.从右到左为升幂,这种变形有利 ? ?
用根式的化简或通分、约分;从左到右是降幂,有利于加、减运算或积和(差)互化. 3.几个重要的三角变换: sin α cos α 可凑倍角公式; 1±cos α 可用升次公式;

?? ? 1 ? cos? ? ? ? ?2 ? ,再用升次公式; 1±sin α 可化为

a sin ? ? b cos ? ? a ? b sin ? ? ? ? ? (其中
2 2

tan ? ?

b a )这一公式应用广泛,熟练掌握.

4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示,四种三角函数 y = sin x、y = cos x、 y = tan x、y = cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的,因此应熟练掌握 三角函数线并能应用它解决一些相关问题. 5. 三角函数的图象的掌握体现在:把握图象的主要特征(顶点、零点、中心、对称轴、单调 性、渐近线等) ;应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图. 6.三角函数的奇偶性 “函数 y = sin (x+φ ) (φ ∈R)不可能是偶函数” .是否正确.

??
分析:当

?

?? ? y ? sin ? x ? ? ? cos x 2? ? 2 时, ,这个函数显然是偶函数.因此,这个判断是错

误的.我们容易得到如下结论: ① 函数 y = sin (x+φ )是奇函数 ? ? ? k? ?k ? Z ? .

② 函数 y = sin (x+φ )是偶函数

? ? ? k? ?

?
2

?k ? Z ? ?k ? Z ?



③ 函数 y =cos (x+φ )是奇函数

? ? ? k? ?

?
2



④ 函数 y = cos (x+φ )是偶函数 ? ? ? k? 7.三角函数的单调性

?k ? Z ? .

x ? k? ?
“正切函数 f (x) = tan x,

?

2 ?k ? Z ? 是定义域上的增函数” ,是否正确.
-8-

分析:我们按照函数单调性的定义来检验一下:

?? ? ?? ? x1 ? ? 0 , ? x 2 ? ? , ?? 2?, ? ?2 ? ,显然 x1<x2,但 f (x1 )>0>f (x2 ),与增函数的定义 任取
相违背,因此这种说法是不正确的.

? ?? ? ? k? ? ,k? ? ? 2 2? 观察图象可知:在每一个区间 ?

?k ? Z ? 上,f

(x ) = tan x 都是增函

数,但不能说 f (x ) = tan x 在其定义域上是增函数. (Ⅱ)2004 年高考数学三角问题综合题选 1. (2004 年湖北卷理科(17) )

6 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 0, ? ? [ , ? ], 求 sin( 2? ? ) 2 3 的值. 已知
解法一:由已知得: (3 sin ? ? 2 cos ? )(2 sin ? ? cos ? ) ? 0

?

?

? 3 sin ? ? 2 cos ? ? 0或2 sin ? ? cos ? ? 0
cos ? ? 0, 所以? ?
由已知条件可知

?

, 即? ? ( , ? ). 2 2

?

2 于是 tan ? ? 0,? tan ? ? ? . 3 sin( 2? ?

?

3

) ? sin 2? cos

?
3

? cos 2? sin

?
3

3 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) 2 sin ? cos ? 3 cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? ? 2 cos 2 ? ? sin 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? tan ? 3 1 ? tan 2 ? ? ? ? . 2 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? ? sin ? cos ? ?
2 将 tan ? ? ? 代入上式得 3

2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 ? 3 3 3 sin( 2? ? ) ? ? ? ? 2 2 3 2 1 ? (? ) 2 1 ? (? ) 2 3 3 6 5 ?? ? 3.即为所求. 13 26
cos ? ? 0, 则? ?
解法二:由已知条件可知

?
2

, 所以原式可化为

-9-

6 tan 2 ? ? tan ? ? 2 ? 0. 即(3 tan ? ? 2)(2 tan ? ? 1) ? 0. 又 ? ? ? ( , ? ),? tan ? ? 0. 2 2 ? tan ? ? ? . 3 下同解法一.
说明:本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能。

?

tan(
2. (2004 年高考天津卷理科 17) 已知

?
4

??) ?

1 2,

sin 2? ? cos 2 ? (1)求 tan ? 的值; (2)求 1 ? cos 2? 的值.

tan(
(1)解:

?
4

??) ?

tan

?
4

? tan ?

1 ? tan

?
4

?

tan ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?
.

tan(


?
4

??) ?

1 1 ? tan ? 1 ? 2 ,有 1 ? tan ? 2 .

tan ? ? ?
解得

1 3.

sin 2? ? cos 2 ? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? ? 1 ? 2 cos 2 ? ? 1 (2)解法一: 1 ? cos 2?
? 2 sin ? ? cos ? 1 1 1 5 ? tan ? ? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 3 2 6. tan ? ? ?
解法二:由(1) ,

1 1 sin ? ? ? cos ? 3 ,得 3 1 cos 2 ? 9 .

sin 2 ? ?


1 cos 2 ? 9 9 10 .

1 ? cos 2 ? ?

cos 2 ? ?


cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ?
于是

4 5,

- 10 -

2 3 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? cos 2 ? ? ? 3 5.

sin 2? ? cos 2 ? ? 1 ? cos 2?
代入得

?

3 9 ? 5 10 ? ? 5 4 6 1? 5 .

说明:本题考查两角和正切公式,倍角的正弦、余弦公式等基础知识,考查基本运算能力。

3 1 sin( A ? B) ? , sin( A ? B) ? . 5 5 3. (2004 年全国卷Ⅱ(17) )已知锐角三角形 ABC 中,
(Ⅰ)求证: tan A ? 2 tan B ; (Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高.

3 1 ? sin( A ? B) ? , sin( A ? B) ? , 5 5 (Ⅰ)证明:

3 ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? , sin A cos B ? ? ? ? ? 5 ?? ?? 1 ?sin A cos B ? cos A sin B ? . ?cos A sin B ? ? ? 5 ? ?
所以 tan A ? 2 tan B.

2 , tan A 5 ? ? 2. 1 tan B 5

?
(Ⅱ)解:

?
2

? A? B ??

3 sin( A ? B) ? , 5 ,

3 ? tan( A ? B) ? ? , 4

tan A ? tan B 3 ?? 4 即 1 ? tan A tan B
2 tan 2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0.

,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得

tan B ?
解得

2? 6 2? 6 tan B ? 2 ,舍去负值得 2 ,
设 AB 边上的高为 CD.

? tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6 .

CD CD 3CD ? ? . 则 AB=AD+DB= tan A tan B 2 ? 6
由 AB=3,得 CD=2+ 6 . 所以 AB 边上的高等于 2+ 6 .

- 11 -

说明:本题主要考查三角函数概念,两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力。

4. (2004 年高考浙江卷 18)在 Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且

cos A ?

1 3.

sin 2
(Ⅰ)求 (Ⅱ)若 a ?

B?C ? cos 2 A 2 的值;

3 ,求 bc 的最大值.
B?C ? cos 2 A 2

sin 2
解: (Ⅰ)

1 [1 ? cos( B ? C )] ? (2 cos 2 A ? 1) =2 1 (1 ? cos A) ? (2 cos 2 A ? 1) =2 1 1 2 (1 ? ) ? ( ? 1) 3 9 =2 ?
=

1 9

b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? 2bc 3 (Ⅱ) ∵
2 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 3 ∴ ,
又∵ a ?

3

bc ?


9 . 4

3 9 9 当且仅当 b=c= 2 时,bc= 4 ,故 bc 的最大值是 4 .
说明:本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识, 考查运算能力。 5. (2003 年高考江苏卷 18)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 上 R 上的偶函数,其

M(
图象关于点

3? ? ,0) [0, ] 4 2 上是单调函数,求 ? 和ω 的值. 对称,且在区间
- 12 -

解:由 f ( x)是偶函数, 得f (? x) ? f ( x),
即 sin( ??x ? ? ) ? sin(?x ? ? ), 所以 ? cos ? sin ?x ? cos ? sin ?x 对任意x都成立, 且? ? 0, 所以得 cos ? ? 0.
依题设0 ? ? ? ? , 所以解得? ?

?
2

.

3? 3? ? x) ? ? f ( ? x), 4 4 3? 3?? ? 3?? 取x ? 0, 得f ( ) ? sin( ? ) ? cos , 4 4 2 4 3? 3?? ? 3?? ? f ( ) ? sin( ? ) ? cos , 4 4 2 4 3?? 3?? ? ? cos ? 0, 又? ? 0, 得 ? ? k? , k ? 1,2,3, ? , 4 4 2 2 ? ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2, ?. 3 2 2 ? ? 当k ? 0时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? )在[0, ]上是减函数; 3 3 2 2 由f ( x)的图象关于点M对称, 得f ( 当k ? 1时, ? ? 2, f ( x) ? sin( 2 x ? 当k ? 0时, ? ?

?

10 ? ? , f ( x) ? sin(?x ? )在[0, ]上不是单调函数; 3 2 2 2 所以, 综合得? ? 或? ? 2. 3

)在[0, ]上是减函数; 2 2

?

说明:在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理 计算能力。 (Ⅲ)范例分析

cos? ? sin ? 2 2 例 1、已知 tan ? ? 2 ,求(1) cos? ? sin ? ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值.

sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? 1 ? tan ? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2 cos ? ? sin ? 1? cos ? 解: (1) ; 1?
sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? (2)
2 2

sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 cos ? cos ? ? ? ? 2 sin ? 2 ?1 3 ?1 2 cos ? .
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就会 使解题过程简化。

- 13 -

?
例 2、已知函数 f(x)=tan(

3 sinx)

(1)求 f(x)的定义域和值域; (2)在(-π ,π )中,求 f(x)的单调区间;

2 (3)判定方程 f(x)=tan 3 π 在区间(-π ,π )上解的个数。

?
解: (1)∵-1≤sinx≤1 ∴ - 处无定义,

?

?

?

3 ≤ 3 sinx≤ 3 。又函数 y=tanx 在 x=kπ + 2 (k∈Z)

?

?

?

?

且 (- 2 , 2 ) [-

3 , 3 ] (-π , π ) ,

3 ∴令 3 sinx=± 2 ,则 sinx=± 2

?

?

?
解之得:x=kπ ± 3 (k∈Z)

?
∴f(x)的定义域是 A={x|x∈R,且 x≠kπ ± 3 ,k∈Z}

?
满足

?

?

∵tanx 在(- 2 , 2 )内的值域为(-∞,+∞) ,而当 x∈A 时,函数 y= 13 sinx 的值域 B

?

?

(- 2 , 2 ) B ∴f(x)的值域是(-∞,+∞) 。

2? (2)由 f(x)的定义域知,f(x)在[0,π ]中的 x= 3 和 x= 3 处无定义。

?

2? 2? ? ? ? 设 t= 3 sinx, 则当 x∈[0, 3 )∪ (3, 3 ) ∪ ( 3 , π) 时, t∈[0, 2 ) ∪( 2 , 3 ] ,

?

?

?

?

?

?
3 ] 上分别单调递增。

且以 t 为自变量的函数 y=tant 在区间(0, 2 ) , (2,

?
又∵当 x∈[0, 3 ]时,函数 t=

?

?

3 sinx 单调递增,且 t∈[0, 2 )
- 14 -

?

?

?

?

?
3 ]

当 x∈( 3 , 2 ] 时,函数 t=

3 sinx 单调递增,且 t∈( 2 ,

? ? 2? ? 3 ] 当 x∈[ 2 , 3 ) 时,函数 t= 3 sinx 单调递减,且 t∈( 2 ,
?

? 2? ? 当 x∈( 3 ,π )时,函数 t= 3 sinx 单调递减,且 t∈(0, 2 )
?
∴ f(x)=tan(

?

?

?

13 sinx) 在 区 间 [0 , 3 ) , ( 3 , 2 ] 上 分 别 是 单 调 递 增 函 数 ; 在

? 2? 2? [ , ), ( , ? ) 2 3 3 上是单调递减函数。
? ?

?

又 f(x) 是 奇函数, 所以区 间(- 3 , 0 ] , [ - 2 , - 3 ) 也是 f(x) 的单调递 增区间

[?? ,?

2? 2? ? ), (? ,? ] 3 3 2 是 f(x)的递减区间。

?

?

?

?

?

?

故在区间(-π ,π )中,f(x)的单调递增区间为:[- 2 ,- 3 ) , (- 3 , 3 ) , ( 3,2 ]

[?? ,?
单调递减区间为

2? 2? 2? 2? ), (? , ), ( , ? ) 3 3 3 3 。

2 (3)由 f(x)=tan 3 π 得:

? 2 2 tan( 3 sinx)=tan( 3 π ) ? 3 sinx=kπ + 3 π
?
6 ? sinx=k 3 + 3 (k∈Z)① ? 3? 2 3? 2 ?k? 3 3 又∵-1≤sinx≤1,∴
∴k=0 或 k= -1

(k∈Z)

6 当 k=0 时,从①得方程 sinx= 3

- 15 -

6 当 k=1 时,从①得方程 sinx= - 3 + 3
6 6 2 显然方程 sinx= 3 ,sinx= - 3 + 3 ,在(-π , π )上各有 2 个解,故 f(x)=tan 3 π
在区间(-π ,π )上共有 4 个解。 说明:本题是正弦函数与正切函数的复合。 ( 1 )求 f(x) 的定义域和值域,应当先搞清楚

?
y=

3 sinx 的值域与 y=tanx 的定义域的交集; (2)求 f(x)的单调区间,必须先搞清 f(x)的

基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。

例 3 、已知函数 f

? x ? ? ?a cos 2 x ? 2

? ?? 0,? 3a sin x cos x ? 2a ? b 的定义域为 ? 2 ? ,值域为 ?

[ -5,1 ],求常数 a、b 的值. 解:∵ f

? x ? ? ?a cos 2 x ?

3a sin 2 x ? 2a ? b ,

?? ? ? ?2a cos? 2 x ? ? ? 2a ? b 3? ? .
0? x?

?
2 ,∴



?

?
3

? 2x ?

?
3

?

1 ?? ? 2? ? ? cos? 2 x ? ? ? 1 3? . ? 3 ,∴ 2

当 a > 0 时,b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b,



?3a ? b ? 1 , ? ?b ? ?5 .

解得

?a ? 2 , ? ?b ? ?5 .

当 a < 0 时,3a + b ≤ f ( x ) ≤ b .



?3a ? b ? ?5 , ? ?b ? 1 .

解得

?a ? ?2 , ? ?b ? 1 .

?a ? 2 ? b ? ?5 故 a、b 的值为 ?

?a ? ?2 ? b ?1 或 ?

说明:三角函数作为函数,其定义域和值域也是它的要素,要待定表达式中的常数值,需注 意常数变化对值域的影响.

例 4、设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos ?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 (1)求 ? 、 a 、 b 的值;

f(

?
12

)?4


- 16 -

(2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根,?、、?终边不共线,求 tan(? ? ? )的值 . 解:(1) f ( x ) ?

a 2 ? b 2 sin(?x ? ?) , ? T ? ? , ? ? ? 2 , 又 ? f ( x ) 的最大值

?f (

? )?4 12 ,

? 4 ? a 2 ? b2
b=3.

4 ? a sin
① , 且

2? 2? ? b cos 12 12

②,

由 ①、②解出 a=2 ,

? f ( x ) ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4 sin( 2 x ? ) 3 , (2) ? ? ? 4 sin( 2? ? ) ? 4 sin( 2? ? ) 3 3 , ? 2? ? ? ? ? 2k? ? 2? ? 3 3, 或 2? ?

? f (?) ? f (?) ? 0 ,

? ? ? 2k? ? ? ? (2? ? ) 3 3 , ? ? ? ? k? ?




? ? k? ? ? ( ?、? 共线,故舍去) ,

? 6,

? 3 ? tan(? ? ?) ? tan(k? ? ) ? 6 3

(k ? Z) .

说明:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性。 例 5、已知:sin3α +cos3α =1,求 sinα +cosα ; sin4α +cos4α ;sin6α +cos6α 的值。

t 2 ?1 解法一:令 sinα +cosα =t,则 sinα ?cosα = 2
∴sin3α +cos3α =(sinα +cosα )(sin2α -sinα ?cosα +cos2α )

t 2 ?1 =t?(1- 2 )=1,得:
t3-3t+2=0 ? (t-1)2?(t+2)=0

t 2 ?1 ∵t≠-2 ∴t=sinα +cosα =1,且 sinα ?cosα = 2 =0。
∴sin4α +cos4α =(sin2α +cos2α )2 – 2sin2α ?cos2α =1-2?0=1 sin6α +cos6α =(sin2α +cos2α )(sin4α -sin2α ?cos2α +cos4α )=1 解法二:∵sin3α ≤sin2α ,cos3α ≤cos2α ∴sin3α +cos3α ≤sin2α +cos2α =1
3 ? ?sin ? ? sin ? ? 3 ?cos ? ? cos ? 等号当且仅当 ? 时成立,

- 17 -

?sin ? ? 0 ?cos ? ? 0 ? ? ? ?cos ? ? 1 或 ?sin ? ? 1
∴sinα +cosα =sin4α +cos4α =sin6α +cos6α =1 说明: (1)凡是遇到 sinx+cosx 与 sinx?cosx 类的问题,均应采用换元法,令 sinx+cosx=t,

t 2 ?1 得 sinx?cosx= 2 。
(2)三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。 (3)本题还可推广到一般情形:若 k≥2 且 sin2k-1α +cos2k-1α =1,则 sinα =1,cosα =0 或 sinα =0,cosα =1,若 sin2kα +cos2kα =1,则 sinα =±1,cosα =0 或 sinα =0,cosα = ±1。

?

?

例 6、设 f(x)=tanx,x∈(0, 2 ),若 x1,x2∈(0, 2 ),且 x1≠x2,证明:

x1 ? x 2 1 2 [ f(x1)+ f(x2)]>f( 2 )
sin x1 sin x 2 sin x1 ? cos x 2 ? sin x 2 ? cos x1 cos x1 + cos x 2 = cos x1 ? cos x 2 证明:tanx1+ tanx2= 2 sin( x1 ? x 2 ) cos( x1 ? x 2 ) ? cos( x1 ? x 2 ) =

? ∵x1,x2∈(0, 2 ) ,且 x1≠x2

∴2sin(x1+x2)>0,cosx1?cosx2>0,0<cos(x1-x2)<1 从而有 0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2)

2 sin( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 1 ? cos( x ? x ) 2 1 2 =2tan ∴tan x1+tanx2>
sin ? 另证:以上是采用化弦,放缩后利用公式 tan 2 = 1 ? cos ? 加以证明的,也可以利用正切的和

?

差角公式加以证明。

x1 ? x 2 1 2 左边-右边= 2 [tanx1+tanx2]-tan x1 ? x 2 x1 ? x 2 1 2 +tanx2-tan 2 ] = 2 [tanx1-tan
1 2

=

[tan(x1



x1 ? x 2 2

)

?

(1+tanx1

?

tan

x1 ? x 2 2

)+tan(x2



- 18 -

x1 ? x 2 x1 ? x 2 2 )?(1+tanx2?tan 2 )] x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 1 2 ?(1+tanx1tan 2 -1-tanx2?tan 2 ) = 2 tan x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 1 ? 2 tan 2 (tanx1-tanx2) ,∵ 2 ∈(0, 2 ) ∴tan 2 >0 = 2 tan x1 ? x 2 x1 ? x 2 2 和 tanx1-tanx2 在 x1>x2 时, 2 又∵tan 同为正, 在 x1<x2 时, 同为负, 所以 tan
(tanx1-tanx2)>0。

x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 1 1 2 tan 2 ?(tanx1-tanx2)>0,即 2 [f(x1)+f(x2)]>f( 2 ) 综上 2 tan
说明:在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中,常采用化弦法。本题解法一是化弦, 了解决把两个分数的单角转化为和角,同时又使函数值适当缩小。 例 7 、如图, A 、 B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点,且∠ AOB=45°,OE=1,EF= 3 ,设∠AOE=α . (1)写出△AOB 的面积关于α 的函数关系式 f(α ); (2)写出函数 f(x)的取值范围。

解: (1)∵OE=1,EF= 3 ∴∠EOF=60° 当α ∈[0,15°]时,△AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上,且 AE=tan α ,BE=tan(45°+α )

1 ∴f(α )=S△AOB= 2 [tan(45°+α )-tanα ]

2 sin 45? α ? 45?) ? 2 cos(45? ?α ) = 2 cos(2 = 2 cos ? ·
3 1 当 a∈(15°,45°]时,A 点在 EF 上,B 点在 FG 上,且 OA= cos ? ,OB= cos(45? ?α )
6 3 1 1 ? 2 cos( ? 2 α) ? 2 4 ∴ f (? ) =S△AOB= 2 OA? OB? sin45°= 2 cos ? ?cos(45? ?α ) ? sin45°=

- 19 -

? ? ? 2 cos(2 α ? ? ? ? α ? 2 cos(2 ? 综上得:f(α )=

2 ?

?
4

  ? ? [0, )? 2   ? ? ( )? 2

?
12

]

6 ?

?
4

, ] 12 4

? ?

?
(2)由(1)得:当α ∈[0, 12 ]时

2
f(α )=

2 cos(2 α?

?
4

)? 2

1 ∈[ 2 , 3 -1]

1 ? 且当α =0 时,f(α )min= 2 ;α = 12 时,f(α )max= 3 -1;

3 ? , ] 2 cos(2 α ? )? 2 4 当α ∈ 12 4 时,- 12 ≤2α - 4 ≤ 4 ,f(α )= ∈[ 6 - 3 , 2 ]
(

? ?

?

?

?

6

3 且当α = 8 时,f(α ) min= 6 - 3 ;当α = 4 时,f(α ) max= 2 3 1 所以 f(x) ∈[ 2 , 2 ]。
说明:三角函数与其他数学知识有着紧密的关系,它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时 注意三角函数的综合应用。

?

?

3 1 例 8、 已知函数 y= 2 cos2x+ 2 sinx?cosx+1 (x∈R),
(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

3 3 1 1 1 解: (1)y= 2 cos2x+ 2 sinx?cosx+1= 4 (2cos2x-1)+ 4 + 4 (2sinx?cosx)+1 3 1 5 1 ? ? 5 = 4 cos2x+ 4 sin2x+ 4 = 2 (cos2x?sin 6 +sin2x?cos 6 )+ 4
1 ? 5 = 2 sin(2x+ 6 )+ 4

- 20 -

? ?

?

所以 y 取最大值时,只需 2x+ 6 = 2 +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= 6 +kπ ,(k∈Z) 。

?
所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= 6 +kπ ,k∈Z} (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

?

?

(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 6 ,得到函数 y=sin(x+ 6 )的图像;

1 ? (ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y=sin(2x+ 6 )
的图像;

1 ( iii ) 把 得 到 的 图 像 上 各 点 纵 坐 标 缩 短 到 原 来 的 2 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) ,得到函数 1 ? y= 2 sin(2x+ 6 )的图像; 5 1 ? 5 (iv)把得到的图像向上平移 4 个单位长度,得到函数 y= 2 sin(2x+ 6 )+ 4 的图像。

3 1 综上得到 y= 2 cos2x+ 2 sinxcosx+1 的图像。
说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这 类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成 y= a ? b sin
2 2

(ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当

1 3 1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? tan x 2 2 2 2 2 sin 2 x ? cos 2 x cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,y= +1= 1 ? tan x +1
化简得:2(y-1)tan2x- 3 tanx+2y-3=0

3 7 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: 4 ≤y≤ 4 7 ? ∴ymax= 4 ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ + 6 ,k∈Z}

- 21 -

x x x f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 例 9、已知函数
(Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时 函数 f(x)的值域.
f ( x) ? 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x 3 2x ? 3 sin ? (1 ? cos ) ? sin ? cos ? ? sin( ? ) ? 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

sin(


2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 =0 即 3 3 2

k?z

3k ? 1 ?, k ? z 即对称中心的横坐标为 2
(Ⅱ)由已知 b2=ac

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, 3 2 9 2 3 3 3 cos x ?
即 f ( x) 的值域为

? 3 ? sin(

2x ? 3 ? ) ? 1? , 3 3 2

( 3 ,1 ?

3 ] 2 .
( 3 ,1 ? 3 ] 2 .

x ? (0, ] 3 综上所述,

?



f ( x) 值域为

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思 想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。 例 10 、 设 二 次 函 数 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R ) , 已 知 不 论 ? , ? 为 何 实 数 恒 有
2

f (sin ? ) ? 0, f (2 ? cos ? ) ? 0 .
求证: b ? c ? ?1 ; 求证: c ? 3 ; 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b, c 的值. (1) ? sin ? ? [?1,1] ,

2 ? cos ? ? [1,3] ,

又 ? f (sin ?) ? 0 , f (2 ? cos ?) ? 0



- 22 -

成立. ? f (1) ? 0 ,

f (1) ? 0 ,



f (1) ? 0

恒成立.

?1 ? b ? c ? 0 ,



b ? c ? ?1 .

(2)? f (3) ? 0 , ? 9 ? 3b ? c ? 0 , ? 9 ? 3(?1 ? c) ? c ? 0 , ? c ? 3 .

, 1]上为减函数 , (3)由题意可知: f ( x )在[?1
? 8 ? f (?1) ? 1 ? b ? c
由 ① ,② 可得

①, b = ?4

? b ? c ? ?1
,c = 3 .

② ,

说明:赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到,利用函数的单调性往往能使问题得以顺利 解决。

y?
例 11、已知函数

1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 1( x ? R) 2 2

求函数 y 的最大值,并求此时 x 的值. 该函数的图象可由 y ? sin x( x ? R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

y?
解: (1)

1 3 1 ? 5 cos 2 x ? sin x cos x ? 1 ? sin( 2 x ? ) ? 2 2 2 6 4,

?当x ? k? ?

?
6

, k ? Z时, y max ?

7 4;

(2)将函数 y ? sin x 的图象依次进行如下变换:

① 把函数 y ? sin x 的图象向左平移 6 ,得到函数

?

y ? sin( x ?

?

) 6 的图象;

1 ② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin( 2 x ?

?

) 6 的图象;

1 ③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到函数 y? 1 ? sin( 2 x ? ) 2 6 的图象;
- 23 -

5 1 ? 5 y ? sin( 2 x ? ) 2 6 + 4 的图象; ④把得到的图象向上平移 4 个单位长度,得到函数

y?
综上得函数

1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 1 2 2 的图象.

说明:图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键,要求学生要熟练掌握。 例 12、化工厂的主控制表盘高 1 米,表盘底边距地面 2 米,问值班人员坐在什么位置上表盘 1m 看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面 1.2 米). 解:如图, CD ? 2 ? 1.2 ? 0.8 ,设 AD ? x ,则
C B

tan ? ?

BD 1 ? 0.8 1.8 ? ? AD x x , CD 1.8 ? AD x ,

A 1.2 m D

2m

tan ? ?

? tan ? ? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ,

B 1m C

1.8 0.8 ? 1 1 1 x ? ? tan ? ? x ? ? 1.8 0.8 1.44 1.44 2.4 1? ? x? 2 x? x x x x ,
1.44 x? x ,即 x ? 1.2 时, 当 1 tan ? 达到最大值 2.4 , ? 是锐角, tan ? 最大时,
A

?

?

?
D 1.2 m

2m

? 也最大,所以值班人员看表盘最清楚的位置为 AD ? 1.2 米.
说明:欲在表盘看得清楚,人眼距表盘水平距离 AD 应使视角达到最大。合理利用角的关系, 建立目标函数,是本题的关键。

P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?
例 13、平面直角坐标系有点

? ?

, ] 4 4

求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; 求 ? 的最值.

- 24 -

解: (1)

? OP ? OQ ? OP ? OQ ? cos?
? cos x ? cos x ? (1 ? cos 2 x) cos? 2 cos x ? cos? ? 1 ? cos 2 x
f ( x) ?




2 cos x 1 ? cos 2 x

(?

?
4

?x?

?
4

)

? cos? ?
(2)

2 cos x ? 1 cos x , 又
cos x ? 1 3 2 ? [2, ] cos x 2 , 2 2 3 .

? cos? ? [

2 2 ,1] 3 ,

?? min ? 0 ,

? max ? arccos

说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。

例 14、 已知: 定义在 (??,4] 上的减函数 f ( x) , 使得 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的范围.

f (m ? sin x) ? f ( 1 ? 2m ?

7 ? cos 2 x) 4

解:由题意可得

7 ? 2 ?m ? sin x ? 1 ? 2m ? ? cos x 4 ? ? m ? sin x ? 4 ? , 3 ? 2 ?m ? 1 ? 2m ? ? sin x ? sin x ? 4 ? ? ?m ? 4 ? sin x
3 1 1 ? ?(sin x ? ) 2 ? 4 2 2,



对x ? R恒成立 ,

又?

? sin 2 x ? sin x ?

?

4 ? sin x ? 3 ,
1 ? ?m ? ? 1 ? 2 m 2 ? ? ? ?m ? 3 ,
3 ?m?3 2 .
- 25 -

1 ? ?m ? 1 ? 2 m ? ? 2 ? ? ? ?m ? 3 ,
?

m??

1 2, 或

说明:利用三角函数的值域来求解变量的取值范围,是较为常见的解题思路,在利用单调性 列出不等式时,不能忘记函数的定义域。

四、强化训练

1 . ( 2003

江 苏 ) 已 知

x?( )

?

?
2
,0),cosx=

4 5

, 则

tan2x

=

------------------------------(

A.

7 24

?
B.

7 24

C.

24 7

24 D. 7 ? tan A C A C ? tan ? 3 tan ? tan 2 2 2 2

2. (2003 北京春季) 在?ABC 中, 已知 A、 B、 C 成等差数列, 求 的值.

3. (2003 北京)已知函数 f ( x) ? cos x ? 2 sin x cos x ? sin x
4 4

求 f(x)的最小正周期;

?
若 x?[0, 2 ],求 f(x)的最大值,最小值. 4、 (2002 江苏) 在 (0,2? ) 内, 使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为----------------( )

? ? 5? ? ? 5? ? 5? 3? ( , ) ? (? , ) ( ,? ) ( , ) ( ,? ) ? ( , ) 4 (B) 4 4 2 (A) 4 2 (C) 4 4 (D) 4
5、 ( 2002 上 海) 函数 y ? x ? sin | x |, x ? [?? , ? ] 的大 致图 象是 ---------------------( y π -π -π (A) (B) ) y π o π x -π o π x y π -π -π o π (C) x y π -π -π o π (D) x

6、 (2002 北京)已知 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x) 的图象如图所 示 , 那 么 不 等 式

f ( x) cos x ? 0










---------------------------------------------------(

- 26 -

(?3,? ) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2 (A) (?
(B)

?

?

y

?

,?1) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2
0 1 2 3 x

?

(C) (?3,?1) ? (0,1) ? (1,3)

(?3,? ) ? (0,1) ? (1,3) 2 (D)
7、已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是( ) A.若α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若α 、β 是第二象限,则 tanα >tanβ C.若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 8、下列命题中正确的是( ) A.y=tanx 是增函数 B.y=sinx 在第一象限是增函数

?

?
C.y= 2 -arccosx 是奇函数 D.y=sinx 的反函数是 y=arcsinx

?
9、函数 y=sin(2x+ 3 )的图象是由函数 y=sin2x 的图像( )

?
A.向左平移 3 单位

?
B.向右平移 6 单位

5? C.向左平移 6 单位

5? D.向右平移 6 单位

?? ? y ? 3 cos? 2 x ? ? 4 ? 的图象,可以将函数 y = 3 sin2 x 的图象( ) ? 10、要得到函数
?
A. 沿 x 轴向左平移 8 单位

?
B. 沿 x 轴向右平移 8 单位

?
C. 沿 x 轴向左平移 4 单位

?
D. 沿 x 轴向右平移 4 单位

11、图 04 是函数 y =2 sin (ω x+φ )(

? ? ? ,? ? 0
2

)的图象.则 ω 、φ 的值是(



??
A.

10 ? ?? 11 , 6

??
B.

10 ? ? ?? 11 , 6
- 27 -

C. ? ? 2 ,

??

?
6
D. ? ? 2 ,

? ??

?
6

12、△ABC 中,若∠A,∠B,∠C 顺序成等差数列,则 cos2A+cos2C 的取值范围是______.

sin x ? cos x ?
13、

? ? 3? ? 1 x ?? ? , ? 5 , ? 6 2 ? ,求 tan x 的值.

1 ? 14、 (1)已知 sin( 4 +α )?sin( 4 -α )= 6 , α ∈( 2 ,π ),求 sin4α ;

?

?

sin 2 x ? 2 sin 2 x 3 5 7 1 ? tan x (2)已知 cos(x+ 4 )= 5 , 4 π <x< 4 π ,求 的值。
15、某观测站 C 在城 A 的南 20?西的方向上,由 A 城出发有一条公路,走向是南 40?东,在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后,到达 D 处, 此时 C、D 间距离为 21 千米,问这人还需走多少千米到达 A 城? 16、△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 a,b,c 顺序成等差数列,且∠ A-∠C=120°,求 sinA,sinC. 17、如图 03,三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 为等腰三角形,AB = AC = a ,侧棱长均为 2a,问 BC 为何值时,三棱锥 P-ABC 的体积 V 最大,最大值是多少? 18、已知⊙O 的半径为 R, ,在它的内接三角形 ABC 中,有

?

2 R sin 2 A ? sin 2 C ?

?

? ?

2a ? b sin B

?

成立,求△ABC 面积 S 的最大值.

A , ? B , ? C A B C 19、 (2004 年北京春季高考)在 ? 中,a,b,c 分别是 ? 的对边长,已知 a,
b s in B ? c? a cb ? c b,c 成等比数列,且 a ,求 ?A 的大小及 c 的值。
2 2

五、参考答案 1. D 2. ? A、B、C成等差数列 ,

A?C ? B ? 600,A ? C ? 1200, ? 600, 2

A C 由 tan( ? ) ? 2 2

A C ? tan 2 2 A C 1 ? tan tan 2 2 tan

3 ( 1 ? tan


A C A C tan ) ? tan ? tan 2 2 2 2,

? tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 3 2 2 2 2 .

- 28 -

? f ( x ) ? (cos 2 x ? sin 2 x )(cos 2 x ? sin 2 x ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ? ) 4 , 3. ? x ? [0, ] 2 , 2x ? ? ? 5? ? ?[ , ] ? 2 cos(2 x ? ) ? [? 2 ,1] 4 4 4 , 4 , x? 3? 8 .

(1)T ? ? ; (2)

?

f ( x ) max ? 1 , 此时
4. C 5.C 6.B.

x ? 0 , f ( x ) min ? ? 2 , 此时

?

?

7、当α ,β ∈(0, 2 )时,由 sinα >sinβ 得α >β ,此时 cosα <cosβ ;当α ,β ∈( 2 ,

3? π )时, 由 sinα >sinβ 得,α <β , 此时 tanα <tanβ ;当α , β ∈ (π , 2 ) 时, 由 sinα >sin
β 得, α <β , 此时 cosα <cosβ ; 而对于α , β 是第四象限角, 由 sinα >sinβ ? sin2α <sin2

1 1 2 cos 2 ? ? tan2α <tan2β β ? 1-cos2α <1-cos2β ? cos2α >cos2β ? cos ? < α <0,tanβ <0 ? tanα >tanβ 。故答案选 D。

∵tan

8、y=tanx 在每一个定义区间上都是增函数,但在其定义域内并不是增函数;y=sinx 在第一 象限的每个区间上都是增函数,但在第一象限上并不是增函数;y=arcsinx 只是 y=sinx,x∈

? ?

?

?

?

[- 2 , 2 ]的反函数; 令 f(x)= 2 -arccosx,则 f(-x)= 2 - arccos(-x)=arccosx- 2 =

?
-f(x)所以 y= 2 -arccosx 是奇函数。故答案选 C。

2? 9、y=sin2x 图像向左平移 3 单位后得:y=sin2(x+ 3 )=sin(2x+ 3 );y=sin2x 图像,向右平移

?

?

?

5? 6` 单 位 后 得 y=sin2(x - 6` )=sin(2x - 3` );y=sin2x 图 象 向 左 平 移 6` 单 位 后 得 :

?

?

5? 5? ? 5? y=sin2(x+ 6` )=sin(2x+ 3 )=sin(2x- 3 );y=sin2x 图像向右平移 6` 单位后得:y=sin2(x 5? 5? ? - 6` )=sin(2x- 3 )=sin(2x+ 3 ),故答案选 D。

- 29 -

10、分析:我们知道,当 a>0 时,把函数 y = f (x)的图象沿 x 轴向右移 a 个单位,便得到 函数 y = f (x-a) 的图象,把函数 f (x)的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位,便得到函数

?? ? y ? 3 cos? 2 x ? ? 4 ? 与 y = 3 sin 2x 的对应法则不同,应当把 ? y = f (x+a) 的图象.本题中
它们变为“y = f (x)与 y = f (x+a)”的形式后,再讨论平移关系.因为我们关心的是对函 数

?? ? y ? 3 cos? 2 x ? ? 4 ? 变形,变到 y = 3 sin (2x+φ )的 ? y = 3 sin 2x 的图象平移,所以要把
形式.

?
由正弦曲线和余弦曲线的关系,不难看出,把余弦曲线沿 x 轴向右平移 2 ,就得到正弦

?? ? cos? x ? ? ? sin x 2? ? 曲线,即是 (这与诱导公式的结论是一致的) .利用这个关系,可以得到:
?? ?? ?? ?? ? 3 cos? 2 x ? ? ? 3 cos ?? 2 x ? ? ? ? 4? 4 ? 2? ? ??

?? ? ? 3 sin ? 2 x ? ? 4 ?. ?
问题成为:把函数 y = 3 sin 2x 的图象沿 x 轴进行怎样的平移,可以得到函数

?? ? y ? 3 sin ? 2 x ? ? 4 ? 的图象? ?
? ? ? ?? ?? ?? ? ? y ? 3 sin ? 2 x ? ? ? 3 sin ?2? x ? ?? ? f ? x ? ? 8 ?? 4? 8 ? .可 ? ? ? ? 如果 y = 3 sin 2x = f (x),那么

?? ? y ? 3 sin ? 2 x ? ? 4 ? 的图象, ? 见,把函数 y = 3 sin 2x 的图象向左移 8 个单位后,可得到函数
?

?? ? y ? 3 cos? 2 x ? ? 4 ? 的图象.因此选 A. ? 即得到函数
说明:这个题目有两点值得注意:一是函数 y = f (x)的图象与函数 y = f (x+a)的图象的 平移关系(平移方向,平移量) ;二是对法则“f ”的理解.只有把两个函数整理成 f (x)与 f (x+a)的形式后,才可讨论它们沿 x 轴的平移问题.例如“把函数 y = - tan x 的图象沿

?? ? y ? tan? ? x ? ?3 ? 的图象”的问题.就应该考虑 y =-tan x x 轴进行怎样的平移,就可得到函数

- 30 -

?? ?? ? ? y ? ? tan? x ? ? y ? f ?x ? ? 3 ? 这两个函数.它们是 y = f (x)与 3 ? 的关系.可见,只要把 ? ? 与
?? ? y ? tan? ? x ? ?3 ? 的图象. 函数 y =-tan x 的图象沿 x 轴右移 3 个单位,就能得到函数

?

11、分析:图 04 给我们提供的“信息”是:

? 11 ? 0? ? ?, ? 在图象上; (1)点 (0,1 )、 ? 12
T ? AB ?
(2)函数的最小正周期

11? 12 .

? ?2 sin ? ? 1, ? ? ? 11?? ? ? ? ? ? 0, ?2 sin ? ? 12 ? ? ? 2? 11? ? . ? 12 可见: ? ?
? ? ?
2 ,由 2sin φ = 1 得

??

?
6,



? 11?? ? ? ? 11?? ? 2? sin ? ? ? ? sin ? 6? 12 ? 12 ? 由
12k ? 2 , ?k ? Z ? . 11 ? 11? 24 ?? 12 ,得 11 .

? 11?? ? 2? ??0 ? k? ? 12 ,得

?k ? Z ?

??


2?
由 ?

0?? ?
满足

24 10 ?1 ? 11 时,k = 1 或 k = 2.由此得到 11 , ? 2 ? 2 .分析到这里,只否定了

??
B、D.为选出正确答案,关键在于确定 地从图 04 中“挖掘”出有用的“信息” .

10 11 及 ? 2 ? 2 中哪个符合题意.为此,还要仔细

T 11? ? 11? 12 10 ? BC ? ? ?? ?? 12 ,即 ? 12 ,因此 11 .这样就排除了 11 . 注意到 2

- 31 -

根据以上分析知,应选 C. 说明:因为函数 y = A sin (ω x+φ )是周期函数,所以仅靠图像上的三个点,不能完全确定

A、ω 、φ 的值.本题虽然给出了 ω >0,

? ?

?

? 11 ? 0? ? ?, ?, 2 的条件,但是仅靠(0,1 )、 ? 12

T 11? 2? ? ?T T ? ? ) 两点, 能完全确定 ω 、 φ 的值. 在确定 ω 的过程中, 比较隐蔽的条件 2 12 (
起了重要作用. 12、分析:因为∠A,∠B,∠C 顺序成等差数列,所以 2B=∠A+∠C, ∠B=60°,∠A+∠C=120°. 对 cos2A+cos2C 用降幂变形,得

? ? 3? x ?? ? , 2 ? 6 13、分析与解:

? ? ? 跨越了四个象限,如果角 x 真能落在各象限内,那么 tan x

值的符号就有正有负.为便于求出 tan x 的值,不妨先“审查”一下角 x 的实际范围.

? ?x?
根据正弦曲线和余弦曲线;当

3? 1 sin x ? cos x ? 2 时,sin x<0,cos x<0,与 5 矛
x > 0 , cos x > 0 , 这 时 有

盾.可见,角 x 的终边不在第三象限. 当 角 x 在 第 一 象 限 时 , sin

sin x ? cos x ?

?sin x ? cos x ?2

? 1 ? 2 sin x ? cos x ? 1

sin x ? cos x ?
,又与

1 5 矛盾.可

? ?? ?0 , ? 2 ?. 见角 x 的终边不会位于 ?
?
如果

?
6

?x?0

3 ? cos x ? 1 .由余弦曲线知: 2 ,

1 ? sin x ? 0 由正弦曲线知: 2 , ?
- 32 -

这时

1 ? 5

3 ?1 ? sin x ? cos x ? 1 2 ,

? ? ? x ??? , 0? 6 ? ?. 可见

2 2 3? 0 ? sin x ? ? 1 ? cos x ? ? ? x ?? 2 , 2 ,这时 如果 4 ,由正弦曲线及余弦曲线知
? sin x ? cos x ? 0 ?

? 3? ? 1 x ? ? ,? ? ?4 ?. 5 ,可见
sin x ? cos x ?

根据以上分析可以看出:满足 tan x<-1.

? ? 3? 1 x?? , ?2 4 5 的角

? ? ? ,根据正切曲线知

sin x ? cos x ?


1 5 ,等式两端平方得: 1 25 1 25 ,

sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x ? cos x ? cos 2 x tan 2 x ? 2 tan x ? 1 ?
即:

?

?

tan 2 x ? 2 tan x ? 1 1 ? 25 , 1 ? tan 2 x
整理得:12 tan 2 x+25 tan x+12 = 0.

tan x ? ?
解之得:

3 4 tan x ? ? 4或 3 .

注意到 tan x<-1

tan x ? ?


4 3.

说明:有些三角函数的题目,为了考查学生对“某区间上任意值”与“某区间上特殊值”的 区分能力,常把已知条件中的区间给“大” .这时往往先要进行“缩小”区间的工作.

? ?

?

14、解 (1)∵α + 4 + 4 -α = 2

?

?

∴sin( 4 -α )=cos( 4 +α )

- 33 -

?

?

?

?

∴sin( 4 +α )?sin( 4 -α )=sin( 4 +α )?cos( 4 +α )

1 ? 1 1 = 2 sin( 2 +2α )= 2 cos2α = 6

2 2 1 又∵π <2α <2π ,cos2α = 3 ,∴sin2α = - 3 4 2 ∴sin4α =2sin2α ?cos2α = - 9
本题也可以这样解:

2 2 2 2 1 sin( 4 +α )?sin( 4 -α )=( 2 sinα + 2 cosα )( 2 cosα - 2 sinα )= 2 cos2α
1 1 1 - 2 sin2α = 2 cos2α = 6
也可以用积化和差公式:

?

?

1 ? 1 1 sin( 4 +α )?sin( 4 -α )= 2 (cos2α -cos 2 )= 2 cos2α = 6

?

?

3 ? 4 (2)法一:由 x+ 4 ∈( 2 π ,2π )知 sin(x+ 4 )= - 5 3 ∴cosx=cos(x+ 4 - 4 )=cos(x+ 4 )?cos 4 +sin(x+ 4 )?sin 4 = 10 5? 3 由 cosx<0 可知, 4 <x< 2 π ,于是 7 sinx= - 10

?

?

?

?

?

?

?

4 2 - 10

2 2 = - 10

2 ,tanα =7
2 7 7 ) ? (? 2 ) ? 2 ? (? 2)2 28 10 10 10 1? 7 = - 75

2 ? (?
∴原式=

2 sin x cos x(cos x ? sin ? ) cos x ? sin x 法二:原式=

- 34 -

sin 2 x ? 2 sin( x ?
=

?
4

)

2 cos( x ?

?
4

)

?

?

=-cos(2x+ 2 )tan(x+ 4 )

?

?

=[1-2cos2(x+ 4 )]tan(x+ 4 )

3 ? 4 28 而 cos(x+ 4 )= 5 ,tan(x+ 4 )= - 3 ,代入得:原式= - 75

?

?

?

注 三角函数求值,重视与角的关系,如 4 +x 与 4 -x 互余(广义),2α =α +β +α -β 等。 15、解:根据题意得图 02, 其中 BC=31 千米,BD=20 千米,CD=21 千米, ∠CAB=60?. 设∠ACD = α ,∠CDB = β . 在△CDB 中,由余弦定理得:

cos ? ?

CD 2 ? BD 2 ? BC 2 212 ? 20 2 ? 312 1 ? ?? 2 ? CD ? BD 2 ? 21 ? 20 7, 4 3 7 .

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

sin ? ? sin ? 180? ? ?CAD ? ?CDA ? ? sin ? 180? ? 60? ? 180? ? ? ?

? sin ?? ? 60?? ? sin ? cos 60? ? cos ? sin 60? ?
在△ACD 中,由正弦定理得:

4 3 1 1 3 5 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14 .

AD ?

CD 21 5 3 21 5 3 ? sin ? ? ? ? ? ? 15 sin A sin 60? 14 14 3 2 .

此人还得走 15 千米到达 A 城. 说明:运用解三角形的知识解决实际问题时,关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素, 然后解三角形求之.

- 35 -

16、解:因为 2b=a+c,由正弦定理得

17、分析:因为三棱锥的三条侧棱长均相等,因此顶点 P 在底面上的射影 O 是△ABC 的外心, 从而想到用正弦定理,再利用三角函数来求最值. 解:作 PO⊥底面 ABC,垂足为 O. 由 PA = PB = PC = 2a,知 O 为△ABC 的外心. ∵ AB = AC = a , ∴ O 落在底面 ABC 的高 AD 上. 设∠ABC = θ ,连结 BO, 则 BO 为△ABC 外接圆的半径.

记 BO = R,由正弦定理,有
2 2

R?

a 2 sin ? ,

1 16 sin 2 ? ? 1 PO ? PB ? BO ? a 2 sin 2 ?
∵ BD = a cosθ ,AD = a sin

S ?ABC ?

1 BC ? AD ? a 2 sin ? cos ? 2 .

1 1 16 sin 2 ? ? 1 V ? ? a 2 sin ? cos ? ? a 3 2 sin 2 ?

?
?

1 3 a 6

?16 sin

2

? ? 1 1 ? sin 2 ?
2

??

?

1 3 17 ? 225 ? a ? 16? sin 2 ? ? ? ? 6 32 ? 64 ?
- 36 -

∴当

sin 2 ? ?

17 5 Vmax ? a 3 32 时, 16 .
3 a 4 .

此时,

BC ? 2 BD ? 2a cos ? ? 2a 1 ? sin 2 ? ?

在研究利用三角公式解决一些有关三角形中的三角函数问题时.常用的公式有:

A? B ? C ? ? 2 2 , sin ? A ? B ? ? sin C , (1)在△ABC 中,A + B + C = π , 2
cos? A ? B ? ? ? cos C ,

sin

A? B C A? B C ? ? cos tan ? cot 2 2, 2 2 .

(2)正余弦定理及其变式: 如 a = 2R sinA ,b2 + c2-a2 =2b c cosA . 射影定理:a = b cosC + c cosB . (3)三角形面积公式:

S ? ? P?P ? a ??P ? b ??P ? c ? ? P r ?

abc 1 P ? (a ? b ? c) 4 R (其中 2 ,r 为三角形内切圆半径) .

18、解:由已知条件得

?2 R ?2

?sin

2

A ? sin 2 B ? 2 R sin B

?

?

2a ? b .

?

2 2 2 即有 a ? c ? 2ab ? b ,



cos C ?

a2 ? b2 ? c2 2 ? 2ab 2



c?

? 1 2 2 S ? ab sin C ? ab ? ? 4 R 2 sin A sin B 4 .∴ 2 4 4

2 2 ?? R ? cos ? A ? B ? ? cos ? A ? B 2 S max ?

?? ?

2 2? 2 R ? ? cos ? A ? B 2 2 ? ?

??

? ? ? .

所以当 A = B 时,

2 ?1 2 R 2 .

说明:三角形中的三角变换,应灵活运用正、余弦定理.在求值时,要利用三角函数的有关 性质. 19、分析:本小题主要考查解斜三角形等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问 题的能力。

a , b , c成等比数列 解: (I)?

2 ? b ?a c

- 37 -

? c? a cb ? c 又a
2 2

2 2 2 ? b ? c ? a ? b c

A B C 在? 中,由余弦定理得
2 2 2 b ? c ? a b c 1 c o s A ? ? ? 2 b c 2 b c 2

? ? A ? 6 0 ?

A B C (II)在 ? 中,由正弦定理得

sinB ?

bsin A a

2 ? b ? a c , ? A ? 6 0 ? ,

2 b s i n Bb s i n 6 0 ? 3 ? ? ? s i n 6 0 ? ? c c a 2 。

- 38 -


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