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1.3.1推出与充分条件必要 条件


1.3.1 推出与充分条件、 必要条件

(二)物理情境
思考
(1)“开关A闭合” 能推出 “灯泡B亮” 吗?

(2)“灯泡B亮”能推出 “开关A闭合” 吗?

如果开关A闭合,那么灯泡B亮.

条件p

结论q

思考:写出下列两个命题的条件和结论, 并判断是真命题还是假命题? (1)若x>a2 +b2,则x>2ab, 条件 结论 真命题

(2)a=0成立的条件是 ab=0. 条件 假命题 结论 可以改成:若ab=0,则a=0. 基本形式:“若p,则q”.

一般地,“若p,则q”为真命题,是 指由p通过推理可以得出q.这时,我们 就说,由p可推出q,记作:p?q. 定义:如果命题“若p,则q”为真命题, 即p ? q, 那么我们就说p是q充分条件 的 q是p 必要条件 .
充分条件:有它一定行,没它未必不行。



必要条件:没它一定不行,有它未必行。

在上面的问题(1)中:若x>a2 +b2,则x >2ab. 是真命题。 所以,x>a2 +b2是x>2ab的充分条件; x>2ab是x>a2 +b2的必要条件。 举例说明: 真 命题 (1)命题“如果x=-y,则x2=y2”是 x=-y?x2=y2; 充分条件; x=-y是x2=y2的

x2=y2是 x=-y 必要条件 的 .

(2)命题“若A∩B≠

,则A≠

”是 真命题;



A∩B≠

? A≠

A ? B ? ? 是 A ? ?的充分条件;
的必要条件. A ? ?是 A ? B ? ? 以上不同的叙述,表达了同一意义的逻

辑关系。

一般地,如果p?q,且q?p,则称p是q
的充要条件,记作p ?q. 显然,q也是p的充要条件。 又常说成是q当且仅当p或p与q等价. 举例说明: (1) 如果二次方程ax2+bx+c=0的判别式 △=b2-4ac≥0,则这个方程有实数根. 反之,如果二次方程有实数根,则△≥0. 这两个命题都是真命题,合起来可以用 充要条件表述为:

方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充要条 件是△≥0. (2) 在⊿ABC中,如果∠C=90°,则AC2+ BC2=AB2; 反之,如果AC2+BC2=AB2 ,则 ∠C=90°; 这两个命题都是真命题,合起 来可用充要条件表述为: 在⊿ABC中, ∠C=90°的充要条件是

AC2+ BC2=AB2;

例1. 在下列各命题中,试判定p是q的什 么条件: (1)p: 两三角形全等;q: 两三角形面积相等.
(2) p: a2=4;q: a=2.

(3) p: A ?B;q: A∩B=A.
解:(1) 因为命题“若两三角形全等,则两 三角形面积相等”是真命题;而命题“若 两三角形面积相等,则两三角形全等”是 假命题,所以p是q的充分条件,不是必要 条件.

(3) 如果四边形是平行四边形,则它的一 组对边平行且相等;反之,如果四边形的 一组对边平行且相等,则这个四边形是平 行四边形.

由于这两个命题都是真命题,所以这两 个命题合起来表述为:

一个四边形是平行四边形的充要条件是。 它的一组对边平行且相等

例2. 设A={x| p(x)},B={x| q(x)}且A ? B. 在 下列各命题中,试确定r是s的什么条件: (1) r: x∈A,s: x具有性质p(x); (2) r: x∈A,s: x∈B; (3) r: A ? B;s: x∈A?x∈B. 解:(1) 由集合特征性质的定义可知,命 题:x∈A与命题:x具有性质p(x),可互 相推出,因此r是s的充要条件。

练习:
1.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些

命题中的p是q的充分条件?
(1)若x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数.

(1)(2)是充分条件.

2.下列“若p, 则q”形式的命题中,哪些 命题中的p是q的必要条件? (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两个三角形的周长相等,则这两 个三角形全等; (3)当c>0时,若a>b,则ac>bc.

(2)(3)是必要条件.

3.用“充分”或“必要”填空,并说明理由: a. “a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 充分 条件; b. “四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件; 充分 c. “x≠3”是“|x|≠3”的 条件; 充分 d. “x-1=0”是“x2-1=0”的 条件; e. “两个角是对顶角”是“这两个角相等” 充分 的

f. “至少有一组对应边相等”是“两个三 必要 角形全等”的 条件; g. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c 都不为0)来说,“b2-4ac≥0”是“这个方 必要 程有两个正根”的 条件; 充分 h. “a=2,b=3”是“a+b=5”的 条件; i. “个位数字是5的自然数”是“这个自然 数能被5整除”的 条件 充分

4.判断下列命题的真假
(1)x=2是x2-4x+4=0的必要条件; 真 (2)圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件; (3)sinα=sinβ是α=β的充分条件; 真




(4)ab≠0是a≠0的必要条件.



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