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1.2任意角的三角函数教学设计


1.2 任意角的三角函数教学设计(第 1 课时)
教学目标 知识与技能:了解任意角三角函数定义产生的背景和应用;掌握任意角的正弦、余 弦、正切的定义,加深对函数一般概念的理解。 过程与方法:通过参与知识的“发现”与“形成”的过程,培养合情猜测的能力, 体会数形结合思想。 情感、态度与价值观:通过概念的推广,感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性, 感悟数学的本质,培养追求

真理的精神。 教学重、难点 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义; 难点: 由特殊到一般的认识和研究过程即由锐角三角函数的定义到任意角的三角函 数的定义的建构。 教学方法分析 在初中学生已经学习了基本的锐角三角函数知识和概念,已经具备一定的自学能 力。但在探究问题、合作交流的意识等方面发展不够均衡,尚有待加强。结合教 学内容 以及学生的认知结构,本节课采用教师引领、学生思考的方式,逐步使学生完成从直角 三角形中定义锐角三角函数到任意角的三角函数的定义的构建过程。 教学过程: 一.复习回顾 问题 1:在初中我们是如何定义锐角三角函数的? 设计意图:从原有的认知基础出发,为用坐标定义锐角三角函数作准备. 师生活动:教师提出问题,学生口头回答。 在 Rt?POM 中: MP b OM a MP b sin ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? . OP r OP r OM a

[来源:Zxxk.Com]

二.导入 问题 2:在直角坐标系中,如何用角的终边上的点的坐标 表示锐角三角函数?

设计意图:引导学生用坐标法来研究锐角三角函数。 如图, 把 ?POM 的顶点放到坐标原点, 使射线 OM 和 x 轴非负半轴重合,则 ?POM 的终边为射线 OP ,且 点 P 的坐标为 P ? a, b ? . 在 Rt?POM 中, OM ? a, MP ? b,OP ? a 2 ? b2 ? r ,记

y P( a ,b)

x O M

? =?POM ,则: MP b OM a MP b sin ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? . OP r OP r OM a
这样,我们就用角 ? 终边上点 P 的坐标表示出了锐角 ? 的三角函数。 三.探究 问题 3:如果改变点 P 在终边上的位置,这三个比值会改变吗? 设计意图:说明这三个比值与终边上点的位置无关。 师生活动:教师先引导学生在终边上移动点 P 到另一个位置,然后分组让学生讨论,得到结果。 如图,在终边上将点 P 移动到点 P ,做 P M 与 x 轴垂直于 M ' 点,则 ?P?OM '∽?POM , 因此,
O
' ' '

y

P'
P(a,b ) M

M'

x

? M ?P ? MP M ?P ? MP OM OM = = = sin ? , = cos ?, = tan ? . = OP ? OP OM ? OM OP OP?
这说明,角 ? 的三角函数不会随着点 P 在终边上位置的改变而改变。 问题 4:能否选取适当的 P 点而将表达式简化? 设计 意图:体现简约思想,并为引出单位圆奠定基础。 师生活动:教师引导学生进行对比,学生通过对比发现当点 P 与坐标原点距离为 1 时可 以将表达式简化。
在 角 ? 的终边上,若将点 P 选在使 OP ? 1 的位置上,此时点 P 也在单位圆(以坐标原

点为圆心 ,以 1 为半径的圆)上,则: MP OM MP b ? MP ? b , cos ? ? ? OM ? a , tan ? ? sin ? ? ? OP OP OM a 显 然 sin ? ,cos ? 的表达式简化了。

这样我们就利用单位圆上 点的坐标定义了锐角三角函数。同样的,我们可以利用单 位圆定义任意角的三角函数。 任意角的三角函数的定义:
[来源:学_科_网]

设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点

P ? x, y ? ,那么:
(1) y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? =y.

a的终边
P(x,y) O O

y

x 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos? =x. y (3) 叫做 ? 的正切,记作 tan ? , x y . 即 tan ? ? (x ? 0) x
(2)

x

正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值 的函数,我们将他们统称为三角函数。
[来源:学*科*网]

四.例题巩固 5? 例 1. 求 的正弦、余弦和正切值. 3 5? 7? 练习 1. 若把角 改为 呢? 3 6 例 2. 已知角 ? 的终边过点 P 0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 由例 2 可得任意角三角函数的定义的推广:
(x,y) 设角 ? 是一个任意角, P 是其终边上的任意一点,设点 P 与坐标原点的距离
r ? x 2 ? y 2 ,则:

sin ? ?

y , r

cos ? ?

x , r

tan ? ?

y (x ? 0). x

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

(-12,5) 练习 2. 已知角 ? 的终边过点 P ,求 ? 的正弦、余弦、正切值。

练习 3. 已知角 ? 的终边上一点 P (-15a,8a) ? a ? R, a ? 0? ,求角 ? 的正弦、余弦、正 切值。 五.归纳总结

任意角三角函数的 定义过程

直角三角形中定义锐角三角函数 sin ? ?

b a b , cos ? ? , tan ? ? r r a

直角坐标系中定义锐角三角 单位圆中定 义锐角三角函数

函数 sin ? ? , cos ? ? , tan ? ?
sin ? ? b, cos ? ? a, tan ? ? y x b a

b r

a r

b a

单位圆中定义任意角的三角函数 sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? 任意角的三角函数的定义的
六.作业 布置 1. 认真阅读 课本及优化设计. 2. 习题 1.2A 组第 2 题.
y r x r

推广 sin ? ? , cos ? ? , tan ? ?

y x


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