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2016年江西省宜春市高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2016 年江西省宜春市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题 1. 设 U=R, 集合 A={y|y= x>1}, B={﹣2, 1, 2}, , ﹣1, 则下列结论正确的是 ( C.A∪B=(0,+∞) D. (?UA) ) )

A.A∩B={﹣2,﹣1} B. (?UA)∪B=(﹣∞,0) ∩B={﹣2,﹣1} 2.若复数

>(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为(

A.﹣2 B.4 C.﹣6 D.6 2 2 3.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. B. C.2 D.4



4.已知向量 =(﹣3cosα,2)与向量 =(3,﹣4sinα)平行,则锐角 α 等于( A. B. C. D.



5.在集合{x|x= 的概率是( A. B. )

,n=1,2,3…,10}中任取一个元素,所取元素恰好满足方程 sinx=

C.

D. ,x

6.已知函数 y=loga(x+b) (a,b 为常数)的图象如图所示,则函数 g(x)=b ∈[0,3]的最大值是( )

A.1

B.b

C.b2

D. )

7.若关于 x 的不等式|x+1|﹣|x﹣2|>log2a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围为( A. (0,8) B. (8,+∞) C. (0, ) D. ( ,+∞)

8.若实数 x,y 满足

则 z=3x+2y 的最小值是(



A.0

B.1

C.

D.9 个单位,得到的图象关于

9.将函数 f(x)=Asin(ωx) (A≠0,ω>0)的图象向左平移

原点对称,则 ω 的值可以为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10. a、 b 是两条不同的直线, β、 γ 是三个不同的平面, 设 α、 下列四个命题中正确的是 (
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A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则 α⊥β C.若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α∥β D.若 a,b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b 11.已知点 F(﹣c,0) (c>0)是双曲线 =1 的左焦点,离心率为 e,过 F 且平行 )

于双曲线渐近线的直线与圆 x2+y2=c2 交于点 P,且 P 在抛物线 y2=4cx 上,则 e2=( A. B. C. D.

12.定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件:①常数 a,b 满足 a<b,区间[a,b]? D, ②使 f(x)在[a,b]上的值域为[at,bt](t∈N+) ,那么我们把 f(x)叫做[a,b]上的“t 级 3 矩形”函数,函数 f(x)=x 是[a,b]上的“2 级矩形”函数,则满足条件的常数对(a,b)共 有( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 二、填空题 13.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是_______.

14. 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为_______.

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15.若 a、b、c 都是正数,且 a+b+c=2,则

+

的最小值为_______.

16.已知函数 f(x)=x2+4lnx,若存在满足 1≤x0≤4 的实数 x0,使得曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0) )处的切线与直线 x+my﹣2=0 垂直,则实数 m 的取值范围是_______. 三、解答题 17.某市区甲、乙、丙三所学校的高三文科学生共有 800 人,其中男、女生人数如表: 甲校 乙校 丙校 97 90 x 男生 153 y z 女生 从这三所学校的所有高三文科学生中随机抽取 1 人, 抽到乙校高三文科女生丰润概率为 0.2. (1)求表中 x+z 的值; (2)某市四月份模考后,市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表 法抽取 100 人进行成绩统计分析.先将 800 人按 001,002,…,800 进行编号.如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 4 个人的编号: (下面摘取了随机数表 中第 7 行至第 9 行) 8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931 (3)已知 x≥145,z≥145,求丙校高三文科生中的男生比女生人数多的概率. 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD.点 E 是线段 BD 的中点,点 F 是线段 PD 上的动点. (Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证:EF∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:CE⊥BF; (Ⅲ)若 AB=2,PD=3,当三棱锥 P﹣BCF 的体积等于 时,试判断点 F 在边 PD 上的位置, 并说明理由.
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19.若数列{an}满足 a

﹣a

=d,其中 d 为常数,则称数列{an}为等方差数列.已知等

方差数列{an}满足 an>0,a1=1,a5=3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=na 围. 20.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的短轴长为 2 ,且斜率为 的直线 l 过椭圆 C ,若不等式 kbn>n(4﹣k)+4 对任意的 n∈N*恒成立,求实数 k 的取值范

的焦点及点(0,﹣2 ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知一直线 m 过椭圆 C 的左焦点 F,交椭圆于点 P、Q,若直线 m 与两坐标轴都不垂 直,点 M 在 x 轴上,且使 MF 为∠PMQ 的一条角平分线,求点 M 的坐标. 21.已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax) (a∈R) ,g(x)=f′(x) . (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 3x﹣y﹣1=0 平行,求实数 a 的值; (2)若函数 F(x)=g(x)+ x2 有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求证:f(x2)﹣1<f (x1) [选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,AB 是⊙O2 的直径,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙ O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与⊙O1、⊙O2 交于 C,D 两点. 求证: (1)PA?PD=PE?PC; (2)AD=AE.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为

极点,x 轴的非负半轴为极轴,以相同的才长度单位建立极坐标系,设圆 M 的极坐标方程 为:ρ2﹣6ρsinθ=﹣5. (1)求圆 M 的直角坐标方程; (2)若直线 l 截圆所得弦长为 2 ,求整数 a 的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知不等式|x+1|+|x﹣1|<8 的解集为 A. (1)求集合 A; (2)若? a,b∈A,x∈(0,+∞) ,不等式 a+b<x+ +m 恒成立,求实数 m 的最小值.

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2016 年江西省宜春市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. 设 U=R, 集合 A={y|y= x>1}, B={﹣2, 1, 2}, , ﹣1, 则下列结论正确的是 ( C.A∪B=(0,+∞) D. (?UA) )

A.A∩B={﹣2,﹣1} B. (?UA)∪B=(﹣∞,0) ∩B={﹣2,﹣1}

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出集合 A 中函数的值域确定出 A,求出 A 的补集,求出各项的结果,即可做出 判断. 【解答】解:由 A 中的函数 y= ,且 x>1,得到 y>0,

即 A=(0,+∞) , ∴?UA=(﹣∞,0], ∴A∩B={1,2}, (?UA)∪B=(﹣∞,0]∪{1,2},A∪B={﹣2,﹣1}∪(0,+∞) , (?UA) ∩B={﹣2,﹣1}, 故选:D.

2.若复数 A.﹣2 B.4

(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( C.﹣6 D.6



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【解答】解:复数 0. 则实数 a=﹣6. 故选:C. 3.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. B. C.2 D.4 ) = = 是纯虚数,∴ =0,

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】根据题意,求出长半轴和短半轴的长度,利用长轴长是短轴长的两倍,解方程求出 m 的值. 【解答】解:椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,∴ 故选 A. 4.已知向量 =(﹣3cosα,2)与向量 =(3,﹣4sinα)平行,则锐角 α 等于(
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A.

B.

C.

D.

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】根据向量的平行的条件以及二倍角公式即可判断. 【解答】解:∵向量 =(﹣3cosα,2)与向量 =(3,﹣4sinα)平行 ∴12sinαcosα﹣6=0, 即 sin2α=1, ∵α 为锐角 α, ∴α= ,

故选:B.

5.在集合{x|x= 的概率是( A. B. )

,n=1,2,3…,10}中任取一个元素,所取元素恰好满足方程 sinx=

C.

D.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】先求出基本事件总数,再求出所取元素恰好满足方程 sinx= 由此能求出所取元素恰好满足方程 sinx= 【解答】解:在集合{x|x= 基本事件总数为 10, 所取元素恰好满足方程 sinx= ∴所取元素恰好满足方程 sinx= 故选:A. 的基本事件为 x= 的概率 p= 和 x= . , 的概率. 的基本事件个数,

,n=1,2,3…,10}中任取一个元素,

6.已知函数 y=loga(x+b) (a,b 为常数)的图象如图所示,则函数 g(x)=b ∈[0,3]的最大值是( )

,x

A.1

B.b

C.b2

D.

【考点】函数的图象;函数的最值及其几何意义;二次函数的性质. 【分析】根据已知中函数的图象,可得 b∈(0,1) ,结合二次函数的图象和性质,指数函 数的图象和性质,及复合函数的单调性,可得答案. 【解答】解:∵函数 y=loga(x+b) (a,b 为常数)的零点位于(0,1)上,
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故 b∈(0,1) , 当 x∈[0,3]时,x2﹣2x 在 x=1 时取最小值﹣1, 此时 g(x)=b 故选:D 7.若关于 x 的不等式|x+1|﹣|x﹣2|>log2a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围为( A. (0,8) B. (8,+∞) C. (0, ) D. ( ,+∞) ) 取最大值 ,

【考点】绝对值三角不等式. 【分析】令 f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|,依题意,log2a<f(x)min,解之即可得实数 a 的取值 范围. 【解答】解:令 f(x)=|x+1|﹣|x﹣2||, ∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|>log2a 的解集为 R, ∴log2a<|x+1|﹣|x﹣2|对任意实数恒成立, ∴log2a<f(x)min; ∵f(x)=||x+1|﹣|x﹣2||≤|(x+1)﹣(x﹣2)|=3, ∴f(x)min=3﹣. ∴log2a<﹣3, ∴0<a< . 故选:C.

8.若实数 x,y 满足

则 z=3x+2y 的最小值是(



A.0

B.1

C.

D.9

【考点】简单线性规划的应用.

【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件

画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.

【解答】解:约束条件

对应的平面区域如图示:由图可知当 x=0,y=0 时,目

标函数 Z 有最小值, Zmin=3x+2y=30=1 故选 B

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9.将函数 f(x)=Asin(ωx) (A≠0,ω>0)的图象向左平移 原点对称,则 ω 的值可以为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

个单位,得到的图象关于

【分析】根据图象平移关系以及三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可. 【解答】解:f(x)=Asin(ωx) (A≠0,ω>0)的图象向左平移 (x+ )=Asin(ωx+ ω) , 个单位,得到 y=Asinω

若图象关于原点对称, 则 ω=kπ,

即 ω=6k,k∈Z 当 k=1 时,ω=6, 故选:D. 10. a、 b 是两条不同的直线, β、 γ 是三个不同的平面, 设 α、 下列四个命题中正确的是 ( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则 α⊥β C.若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α∥β D.若 a,b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b )

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】在 A 中,a 与 b 相交、平行或异面;在 B 中,由面面垂直的判定定理得 α⊥β;在 C 中,α 与 β 相交或平行;在 D 中,a 与 b 相交、平行或异面. 【解答】解:由 α、β、γ 是三个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,知: 在 A 中,若 a∥α,b∥α,则 a 与 b 相交、平行或异面,故 A 错误; 在 B 中,若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则由面面垂直的判定定理得 α⊥β,故 B 正确; 在 C 中,若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α 与 β 相交或平行,故 C 错误; 在 D 中,若 a,b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a 与 b 相交、平行或异面,故 D 错误. 故选:B.

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11.已知点 F(﹣c,0) (c>0)是双曲线

=1 的左焦点,离心率为 e,过 F 且平行 )

于双曲线渐近线的直线与圆 x2+y2=c2 交于点 P,且 P 在抛物线 y2=4cx 上,则 e2=( A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的 性质即可得出. 【解答】解:如图,设抛物线 y2=4cx 的准线为 l,作 PQ⊥l 于 Q, 设双曲线的右焦点为 F′,P(x,y) . 2 2 2 由题意可知 FF′为圆 x +y =c 的直径, ∴PF′⊥PF,且 tan∠PFF′= ,|FF′|=2c,

满足



将①代入②得 x2+4cx﹣c2=0, 则 x=﹣2c± c, 即 x=( ﹣2)c, (负值舍去) 代入③,即 y= ,再将 y 代入①得, = =e2﹣1

即 e2=1+ 故选:D.

=



12.定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件:①常数 a,b 满足 a<b,区间[a,b]? D, ②使 f(x)在[a,b]上的值域为[at,bt](t∈N+) ,那么我们把 f(x)叫做[a,b]上的“t 级 3 矩形”函数,函数 f(x)=x 是[a,b]上的“2 级矩形”函数,则满足条件的常数对(a,b)共 有( )
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A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 【考点】函数的值域. 【分析】函数 f(x)=x3 是[a,b]上的“2 级矩阵”函数,即满足条件①常数 a,b 满足 a<b, 区间[a,b]? D,②使 f(x)在[a,b]上的值域为[at,bt],利用函数 f(x)=x3 是[a,b] 上的单调增函数,即可求得满足条件的常数对. 【解答】解:由题意,函数 f(x)=x3 是[a,b]上的“2 级矩阵”函数, 即满足条件①常数 a,b 满足 a<b,区间[a,b]? D, ②使 f(x)在[a,b]上的值域为[at,bt], ∵函数 f(x)=x3 是[a,b]上的单调增函数, ∴ 故选:C. 二、填空题 13.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 . ,∴满足条件的常数对(a,b)为(﹣ ,0) , (﹣ , ) , (0, ) ,

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算并输出 S 值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的 值进行分析,不难得到最终的输出结果. 【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: S i 是否继续循环 1 循环前/2 2 第一圈 是﹣3 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 … 是﹣ 是 是 是﹣3 3 4 2 6 5

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依此类推,S 的值呈周期性变化:2,﹣3,﹣ , ,2,﹣3,… 第 2010 圈 第 2011 圈 是﹣ 否 2011

故最终的输出结果为:﹣ , 故答案为:﹣ .

14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为



【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体是一个组合体,是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成,四棱锥的底面是 边长是 1 的正方形,四棱锥的高是 ,根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直

径是 ,求出表面积及球的表面积即可得出比值. 【解答】解:由三视图知,几何体是一个组合体, 是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成, 四棱锥的底面是边长是 1 的正方形, 四棱锥的高是 ,斜高为 , 1× =2 ,

这个几何体的表面积为 8×

∴根据几何体和球的对称性知,几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是 ∴外接球的表面积是 4×π( )2=2π
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则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为 故答案为: .

=

15.若 a、b、c 都是正数,且 a+b+c=2,则 【考点】基本不等式. 【分析】由题意可得 a+1+b+c=3,得到 +

+

的最小值为 3.

= (

+

) (a+1+b+c) ,由基本不等

式求最值可得. 【解答】解:a,b,c 都是正数,且 a+b+c=2, ∴a+1+b+c=3,且 a+1>0,且 b+c>0, ∴ = ( = ≥ [5+ [5+2 = , + + ) (a+1+b+c) + ] ]=3

当且仅当

即 a=1 且 b+c=2 时取等号, 故答案为:3. 16.已知函数 f(x)=x2+4lnx,若存在满足 1≤x0≤4 的实数 x0,使得曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0) )处的切线与直线 x+my﹣2=0 垂直,则实数 m 的取值范围是[4 ,9]. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数的导数,求出切线的斜率,再由两直线垂直斜率之积为﹣1,得到 2x0+ =m,再由基本不等式求出左边的最小值,代入端点 1 和 4,比较得到最大值. 【解答】解:函数 f(x)=x2+4lnx 的导数为 f′(x)=2x+ (x>0) . 曲线 f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线斜率为 2x0+ 由于切线垂直于直线 x+my﹣2=0,则有 2x0+ 由于 1≤x0≤4,则由 2x0+ ≥2 =4 ; =m, ,



当且仅当 x0= ∈[1,4],取得最小值 4 当 x0=4 时,取得最大值 9. 故 m 的取值范围是[4 ,9].

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故答案为:[4

,9].

三、解答题 17.某市区甲、乙、丙三所学校的高三文科学生共有 800 人,其中男、女生人数如表: 甲校 乙校 丙校 97 90 x 男生 153 y z 女生 从这三所学校的所有高三文科学生中随机抽取 1 人, 抽到乙校高三文科女生丰润概率为 0.2. (1)求表中 x+z 的值; (2)某市四月份模考后,市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表 法抽取 100 人进行成绩统计分析.先将 800 人按 001,002,…,800 进行编号.如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 4 个人的编号: (下面摘取了随机数表 中第 7 行至第 9 行) 8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931 (3)已知 x≥145,z≥145,求丙校高三文科生中的男生比女生人数多的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;系统抽样方法. 【分析】 (1)利用在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取 1 人,抽到乙高中女生的概率 为 0.2,求出表中 y 的值,再很据总数,求的 x+z 的值; (2)根据从第 8 行第 7 列的数开始向右读,即可写出最先检测的 4 个人的编号; (3)“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件 A,其中男女生数即为(x,z) ,一一 列举所有的基本事件,根据概率公式计算即可 【解答】解: (1)∵在所有高三文科学生中随机抽取 1 人,抽到乙高中女生的概率为 0.2, ∴y=800×0.2=160,则 x+z=800﹣(97+153+90+160)=300,… (2)最先检测的 4 个人的编号为 165、538、707、175;… (3)设:“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件 A,其中男女生数即为(x,z) 由(1)知,x+z=300,x≥145,z≥145, 满足条件的(x,z)有, , , , , , , , , ,共 11 组,且每组出现的可能性相同,其中事件 A 包含 的基本事件有: , , , , ,共 5 组, ∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为 P(A)= .…

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD.点 E 是线段 BD 的中点,点 F 是线段 PD 上的动点. (Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证:EF∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:CE⊥BF; (Ⅲ)若 AB=2,PD=3,当三棱锥 P﹣BCF 的体积等于 时,试判断点 F 在边 PD 上的位置, 并说明理由.

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)利用三角形的中位线的性质证明 EF∥PB,利用线面平行的判定定理,证明: EF∥平面 PBC; (Ⅱ)证明 CE⊥平面 PBD,即可证明:CE⊥BF; (Ⅲ) 设 PF=x. 由 AB=2 得 BD=2 = = CE= , , 所以 VP﹣BCF=VC﹣BPF=

,即可得出结论.

【解答】 (Ⅰ)证明:在△PDB 中,因为点 E 是 BD 中点,点 F 是 PD 中点, EF 所以 ∥PB. 又因为 EF?平面 PBC,PB? 平面 PBC, 所以 EF∥平面 PBC.… (Ⅱ)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,且 CE? 平面 ABCD, 所以 PD⊥CE. 又因为底面 ABCD 是正方形,且点 E 是 BD 的中点, 所以 CE⊥BD. 因为 BD∩PD=D,所以 CE⊥平面 PBD, 而 BF? 平面 PCD,所以 CE⊥BF. … (Ⅲ)解:点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点. 说明如下: 由(Ⅱ)可知,CE⊥平面 PBF. 又因为 PD⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,所以 PD⊥BD. 设 PF=x. 由 AB=2 得 BD=2 ,CE= , 所以 VP﹣BCF=VC﹣BPF= 由已知 = ,所以 x=2. = = .

因为 PD=3,所以点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点.…

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19.若数列{an}满足 a

﹣a

=d,其中 d 为常数,则称数列{an}为等方差数列.已知等

方差数列{an}满足 an>0,a1=1,a5=3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=na ,若不等式 kbn>n(4﹣k)+4 对任意的 n∈N*恒成立,求实数 k 的取值范

围. 【考点】数列与不等式的综合;数列递推式. 【分析】 (1)要求数列的通项公式,我们根据数列{an}为等方差数列,且 a1=1,a5=3.我们 根据等方差数列的定义:an+12﹣an2=d 我们可以构造一个关于 d 的方程,解方程求出公差 d, 进而求出数列的通项公式; (2)求得 bn 的通项公式,代入 kbn>n(4﹣k)+4,分离 k 的取值范围,根据 n 的取值范围, 求得 k 的取值范围. 【解答】解: (1)由 a12=1,a52=9. 得,a52﹣a12=4d, ∴d=2.… an2=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, ∵an>0, ∴an= , ;…

数列{an}的通项公式为 an=

(2)由(1)知记 bn=nan2,=2n2﹣n 不等式 kbn>n(4﹣k)+4 恒成立, 即 kn2﹣2n﹣2>0 对于一切的 n∈N*恒成立. ∴k> + 又 n≥1, ,… + ≤4.…

∴k>4, ∴不等式 kbn>n(4﹣k)+4 对任意的 n∈N*恒成立, 实数 k 的取值范围是:k∈(4,+∞) . …

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20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的短轴长为 2

,且斜率为

的直线 l 过椭圆 C

的焦点及点(0,﹣2 ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知一直线 m 过椭圆 C 的左焦点 F,交椭圆于点 P、Q,若直线 m 与两坐标轴都不垂 直,点 M 在 x 轴上,且使 MF 为∠PMQ 的一条角平分线,求点 M 的坐标. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)直线 l 的方程为 y= 2 ,由此能求出椭圆 C 的方程. ,焦点坐标为(2,0) ,又椭圆 C 的短轴长为

(2)设点 M(m,0) ,左焦点为 F(﹣2,0) ,设直线 PQ 的方程为 x= 得( )y2﹣

,与椭圆联立,

﹣2=0,由此利用韦达定理、角平分线性质、椭圆性质,结合已条条件

能求出点 M 坐标. 【解答】解: (1)由题意可知,直线 l 的方程为 y= ∵直线 l 过椭圆 C 的焦点, ∴该焦点坐标为(2,0) ,∴c=2,又椭圆 C 的短轴长为 2 2 2 2 ∴b= ,∴a =b +c =4+2=6, ∴椭圆 C 的方程为 .…

,… ,

(2)设点 M(m,0) ,左焦点为 F(﹣2,0) ,可设直线 PQ 的方程为 x=





,消去 x,得(

)y2﹣

﹣2=0,

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 y1+y2=

,y1?y2=

,…

∵MF 为∠PMQ 的一条角平分线,∴kPM+kQM=0,即

+

=0,…





,代入上式可得



∴ ∴点 M(﹣3,0) .…

,解得 m=﹣3,

21.已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax) (a∈R) ,g(x)=f′(x) .
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(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 3x﹣y﹣1=0 平行,求实数 a 的值; (2)若函数 F(x)=g(x)+ x2 有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求证:f(x2)﹣1<f (x1) 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)利用导数的几何意义求切线斜率,解 a; (2)利用极值点与其导数的关系求出 a 的范围,进一步求出 f(x)的解析式,通过求导判 断其单调性以及最值. 【解答】解: (1)∵f′(x)=ln x﹣2ax+1,∴f′(1)=1﹣2a 3x y 因为 ﹣ ﹣1=0 的斜率为 3.依题意,得 1﹣2a=3;则 a=﹣1.… (2)证明:因为 F(x)=g(x)+ x2=ln x﹣2ax+1+ x2, (x>0) ,函数 F(x)=g(x)+ x2 有两个极值点 x1,

所以 F′(x)= ﹣2a+x= x2

且 x1<x2,即 h(x)=x2﹣2ax+1 在(0,+∞)上有两个相异零点 x1,x2. ∵x1x2=1>0, ∴ ∴a>1.… 当 0<x<x1 或 x>x2 时,h(x)>0,F′(x)>0.当 x1<x<x2 时,h(x)<0,F′(x)< 0. 所以 F(x)在(0,x1)与(x2,+∞)上是增函数,在区间(x1,x2)上是减函数. 因为 h(1)=2﹣2a<0,所以 0<x1<1<a<x2,令 x2﹣2ax+1=0,得 a= ∴f(x)=x(ln x﹣ax)=xln x﹣ x3﹣ x,则 f′(x)=ln x﹣ x2+ , 设 s(x)=ln x﹣ x2+ ,s′(x)= ﹣3x= ,… ,

①当 x>1 时,s′(x)<0,s(x)在(1,+∞)上单调递减,从而函数 s(x)在(a,+∞) 上单调递减, ∴s(x)<s(a)<s(1)=﹣1<0,即 f′(x)<0,所以 f(x)在区间(1,+∞)上单调递 减. 故 f(x)<f(1)=﹣1<0.又 1<a<x2,因此 f(x2)<﹣1.… ②当 0<x<1 时,由 s′(x)= 由 s′(x)= 1]上单调递减, ∴s(x)≤smax=ln <0,∴f(x)在(0,1)上单调递减, <0,得 >0,得 0<x< <x<1,所以 s(x)在[0, . ]上单调递增,s(x)在[ ,

∴f(x)>f(1)=﹣1,∵x1∈(0,1) ,
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从而有 f(x1)>﹣1. 综上可知:f(x2)<﹣1<f(x1) .… [选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,AB 是⊙O2 的直径,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙ O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与⊙O1、⊙O2 交于 C,D 两点. 求证: (1)PA?PD=PE?PC; (2)AD=AE.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)根据切割线定理,建立两个等式,即可证得结论; (2)连接 AC、ED,设 DE 与 AB 相交于点 F,证明 AC 是⊙O2 的切线,可得∠CAD=∠ AED,由(1)知 ,可得∠CAD=∠ADE,从而可得∠AED=∠ADE,即可证得结论.

【解答】证明: (1)∵PE、PB 分别是⊙O2 的割线 ∴PA?PE=PD?PB 又∵PA、PB 分别是⊙O1 的切线和割线 ∴PA2=PC?PB 由以上条件得 PA?PD=PE?PC (2)连接 AC、ED,设 DE 与 AB 相交于点 F ∵BC 是⊙O1 的直径,∴∠CAB=90° ∴AC 是⊙O2 的切线. 由(1)知 ,∴AC∥ED,∴AB⊥DE,∠CAD=∠ADE

又∵AC 是⊙O2 的切线,∴∠CAD=∠AED 又∠CAD=∠ADE,∴∠AED=∠ADE ∴AD=AE

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲]

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23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为

极点,x 轴的非负半轴为极轴,以相同的才长度单位建立极坐标系,设圆 M 的极坐标方程 为:ρ2﹣6ρsinθ=﹣5. (1)求圆 M 的直角坐标方程; (2)若直线 l 截圆所得弦长为 2 ,求整数 a 的值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)由圆 M 的极坐标方程为:ρ2﹣6ρsinθ=﹣5,利用 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ, 可得直角坐标方程.通过配方可得圆心 M,半径 r. (2)把直线 l 的参数方程为 (t 为参数)化为普通方程,利用点到直线的距离

公式可得圆心 M (0,3)到直线 l 的距离 d,利用弦长公式即可得出. 【解答】解: (1)∵圆 M 的极坐标方程为:ρ2﹣6ρsinθ=﹣5. 可得直角坐标方程:x2+y2﹣6y=﹣5,配方为:x2+(y﹣3)2=4. ∴圆 M 的直角坐标方程为: :x2+(y﹣3)2=4.圆心 M(0,3) ,半径 r=2. (2)把直线 l 的参数方程为 ∵直线 l 截 圆 M 所 得 弦 长 为 2 (t 为参数)化为普通方程得:3x+4y﹣3a+4=0, , = .

且圆 M 的 圆 心 M (0,3)到直线 l 的距离 d= ∴ =22﹣ ,

化为:16﹣3a=±5, 解得 a= 或 7.

又 a∈Z,∴a=7. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知不等式|x+1|+|x﹣1|<8 的解集为 A. (1)求集合 A; (2)若? a,b∈A,x∈(0,+∞) ,不等式 a+b<x+ +m 恒成立,求实数 m 的最小值. 【考点】绝对值三角不等式;函数恒成立问题. 【分析】 (1)分 x<﹣1,﹣1≤x≤1,x>1 三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次 不等式求解; (2)分别求出 a+b 和 x+ +m 的范围,令 a+b 的最大值小于 x+ +m 的最小值即可. 【解答】解: (1)①当 x<﹣1 时,﹣x﹣1﹣x+1<8,解得﹣4<x<﹣1; ②当﹣1≤x≤1 时,x+1﹣x+1<8,恒成立; ③当 x>1 时,x+1+x﹣1<8,解得 1<x<4. 综上,A=(﹣4,4)…
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(2)由(1)知:a,b∈(﹣4,4) ,∴a+b∈(﹣8,8) . 又 x∈(0,+∞)时,x+ ≥2 ∴依题意得:6+m≥8, ∴m≥2,故实数 m 的最小值为 2… =6, (当且仅当 x=3 时等号成立)…;

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2016 年 9 月 8 日

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