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正弦定理(省参赛获奖课件)


正弦定理

BC的长度与角A的 大小有关吗? 三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?

C3
C2 C1

C
A

B

在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:

b a sin B ? sin A ? c c c si

n C ? 1 ?
c
不难得到:
b

A

c

a b c ? ? sin A sin B sin C

C

a

B

在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C

b
A c

a

B

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.



a b c ? ? sin A sin B sin C

证法1: (1) 若直角三角形,已证得结论成立.

A c b C

(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,
过点A作AD⊥BC于D, 此时有 sin B ?
AD , sin C c
B

?

AD b

图1

D

所以AD=csinB=bsinC, 即

b c ? , sin B sin C

a c 同理可得 ? , sin A sin C

a b c 即: ? ? sin A sin B sin C

(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D, 此时也有 sin B ?
b
AD c

且 sin ? ? C) AD ? sin C ( ?
a b c 仿(2)可得 ? ? sin A sin B sin C

A c b

B

由(1)(2)(3)知,结论成立.

图2 C

D

思考

a b c 求证: = = sin A sin B sin C



2R

(2R为△ABC外接圆直径)

证明:作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,

B

? ? 90 ?, ?C ? ?C ' ? ?BAC c ? sin C ? sin C ? 2R c ? ? 2R sin C
'

c O b

a C

A

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

C/

证法2:

向量法

利用向量的数量积,产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A

c
B

b C

a

D

证法3:
A

S ?ABC

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2
证明: S ?ABC ∵

c
B

b
ha

1 ? aha 2

Da

C ∴

而 h ? AD ? c ? sin B ? b sin C a

同理


S ?ABC

S ?ABC

1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

1 1 S ?ABC ? ac sin B ? ab sin C 2 2 1 ? bc sin A 2 1 1

剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题:

a b c ? ? sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角,求另一边

的对角,进而可求其他的边和角.

② 已知两角和一边,求其他角和边.

定理的应用

已知两角和任意边, 求其他两边和一角
。 。

例 1 在△ABC 中,已知c = 10,A = 45 , C = 30 求 C a , b (精确到0.01). 解: a ? c ∵
sin A
b
c

sin C

a
B

A c ? sin A 10 ? sin 45? ? 10 2 ?14.14 ∴a = = sin C sin 30?

b c ? ∵ sin B sin C

且 B ? 180? ? (A ? C) ? 105?

c ? sin B 10 ? sin 105? ? 5( 6 ? 2 ) ∴ b= = sin C sin 30?

?

19.32

练习
在△ABC中,已知 A=75°,B= 45°,c= 3 2 求a , b.
[ a ? 3?
3 b?2 3

]

在△ABC中,已知 A=30°,B=120°,b=12 求a , c.

[a= 4 3 ,c= 4 3 ]

例 2 已知a=16, b= 16 3, A=30° . 已知两边和其中一边 求角B,C和边c 的对角,求其他边和角 a b 解:由正弦定理 ? C
sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 ? 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2
16 3
300

16

16

所以B=60°,或B=120° 当 B=60°时
C=90°

A

B

B

c ? 32 .
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时 C=30°

变式: a=30, b=26, A=30°求角B,C和边c
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 A ? ? 得 sin B ? a 30 30
C
26
300

30

B

所以B=25.70, 或B=1800-25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 (如图) C=124.30,
a sin C c? ? 49.57 sin A

变式: a=30, b=26, A=30°求角B,C和边c
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 A ? ? 得 sin B ? a 30 30
C
26
300

30

B

∵a > b

∴A>B, C=124.30,

三角形中大边对大角

所以B=25.70,
a sin C c? ? 49.57 sin A

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13,a=26,B=30°.

[B=90°,C=60°,c= 13 3 ]
(2) b=40,c=20,C=45°.

无解 注:三角形中角的正弦值小于1时,角可能有两解

课堂小结
(1)三角形常用公式: ? B ? C A

??

1 1 1 S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 a b c ? ? = 2R 正弦定理: sin A sin B sin C
(2)正弦定理应用范围:


已知两角和任意边,求其他两边和一角



已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。(注意解的情况)

课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?

a
b

C a b A a<bsinA 无解

C a

A

a=bsinA

B

一解

C
a

C b a B 一解

b
B2 B1 bsinA< a < b 两解

A

A

a?b

C b

a

C b

a

A a<b 无解 C b

B

A a=b 无解

B

a

A a>b

B

一解

正弦定理的综合应用

1.在?ABC中,已知a 2 tan B ? b2 tan A, 试判断?ABC的形状.

1.在?ABC中,已知b ? 3, c ? 3 3, B ? 30 ,
' ?

试判断?ABC的形状.
'' 1.已知方程x 2 ? (b cos A) x ? a cos B ? 0的两根

之积等于两根之和,且a, b为?ABC的边, A,B为a, b的对角, 试判断?ABC的形状.

1 .在?ABC中,a, b, c为边长,A,B,C为a, a b c b, c所对的角,若 ? ? , sin B sin C sin A 试判断?ABC的形状.
'''

2.在?ABC中, a ?b b ?c c ?a 求证: ? ? ? 0. cos A ? cos B cos B ? cos C cos C ? cos A
2 2 2 2 2 2

2.在?ABC中,求证:
'

a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0.

3.在?ABC中,若A ? 120?,AB ? 5,BC ? 7, 求?ABC的面积S.
' 3.一条直线上有三点A,B,C,点C在A,B

之间,点P是直线AB之外一点,设?APC ? ?, sin(? ? ? ) sin ? sin ? ?BPC ? ?,求证: ? ? . PC PB PA
P

??

A

C

B

3 .?ABC中,A ?
''

?
3

, BC ? 3, 则?ABC的周长为 B.4 3 sin( B ? ) ? 3 6 D.6sin( B ? ) ? 3 6

A.4 3 sin( B ? ) ? 3 3 C.6sin( B ? ) ? 3 3

?

?

?

?

4.在?ABC中,AD是?BAC的平分线, AB BD 用正弦定理证明: ? . AC DC
A

??
? ? ??

B

D

C

1.判断正误: (1)若? ? ?,则 sin ? ? sin ?;反之也成立. (2)在?ABC中,若A ? B,则 sin A ? sin B; 反之也成立.

3 5 2.在?ABC中,已知 sin A ? , B ? , cos 5 13 求 sin C.
5 12 解: cos B ? , B ? (0, ? ), sin B ? . ? 13 13 3 又 sin A ? ,? sin A ? sin B 5 a b 由正弦定理 ? 可知a ? b sin A sin B 4 ? A ? B,? A只能为锐角, cos A ? . ? 5 63 ? sin C ? sin( A ? B) ? . 65

4 12 变:在 ?ABC 中,已知 cos A ? , sin B ? , 求 sin C. 5 13 4 3 解: cos A ? , A ? (0, ? ) ? sin A ? ? 5 5 12 又 ? sin B ? ,? sin A ? sin B,? a ? b ? A ? B 13 5 ? B可以为锐角也可以为钝 ? cos B ? ? . 角, 13 5 63 (1) cos B ? 时, C ? sin( A ? B ) ? . sin 13 65 5 33 (2) cos B ? ? 时, C ? sin( A ? B ) ? . sin 13 65 63 33 ? sin C ? 或 . 65 65

3.在?ABC中,设?A, ?B, ?C所对的边分别为 a, b, c,若b ? c ? 2a cos(60 ? C ),求?A.
o

略解:由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2 sin A(cos600 cosC ? sin 600 sin C ) ? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ? sin C ? sin A cosC ? 3 sin A cosC ? ( 3 sin A ? cos A) sin C ? sin C 1 ? sin C ? 0 ? 3 sin A ? cos A ? 1即sin( A ? 30 ) ? . 2 0 0 0 0 0 又 ? 30 ? A ? 30 ? 210 ? A ? 30 ? 150
0

? A ? 1200.

1 2 2 4.已知?ABC的面积S ? (b ? c ),试确定?ABC的形状. 4

1 2 1 2 解:S ? (b ? c ) ? bc sin A 4 2 1 1 2 ? (b ? c) ? bc(1 ? sin A) ? 0 4 2 1 1 2 ? (b ? c) ? 0, bc(1 ? sin A) ? 0 4 2 ?b ? c ? ?? ? A ? 且b ? c 2 ?1 ? sin A ? 0 ? ?ABC为等腰直角三角形 .

实际问题

例1、如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处,测得烟囱的仰角分别是 ? ? 45?和

,CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 ? ? 60? 想一想

图中给出了怎样的一个 几何图形?已知什么, 求什么?

实例讲解 分析:如图,因为AB=AA1+A1B,又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 B

解: ?BC1 D1中, ?C1 BD1 ? 60? ? 45? ? 15?, 在

由正弦定理可得: C1 D1 BC1 ? sin B sin D1

?
C1 C D1 D

?

A1
A

C1 D1 ? sin D1 12? sin 120? ? 18 2 ? 6 6 ? BC1 ? ? sin B sin 15?
2 ? A1B ? BC1 ? 18 ? 6 3 ? 28.4 2 ? AB ? A1B ? AA ? 28.4 ? 1.5 ? 29.9(m) 1
答:烟囱的高为 29.9m.

例2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 35 ,沿倾斜角为20 的斜坡前进1000米 后到达D处,又测得D处的仰角为65 , 求山的高度BC (精确到1m).
B
?

?

?

?

B
65? 35 20?
?

D 65
35? 20?

E A

D C

E

A

C

某地出土一块玉佩(如图),其中一角破损, 现测得如下数据;BC ? 2.57cm, CD ? 1.89cm, BE ? 2.01cm, B ? 45? , C ? 120? , 为了复原, 计算原另两边的长.
A

E

D

E

D

B

C

B

C

解斜三角形的问题,通常都要根据题意,从实际问题中抽象 出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出所要求的量, 从而得到实际问题的解。 在这个过程中,贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际 问题出发,经过抽象概括,把它转化为具体问题中的数学模型, 然后通过推理演算,得出数学模型的解,再还原成实际问题的解。

本节小结:

1.结构:正弦定理 ?

正弦定理的证明 正弦定理的应用 ? 解三角形

2.方法、技巧、规律
(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系, 是解三角形的重要工具;

(2)两类问题:一类已知两角和一边; 另一类是已知两边和一边的对角;
(3)注意正弦定理的变式;

(4)注意内角和为 ?的应用,以及角之间的转化. 180

3.思维误区警示:
(1)正弦定理可以解任意三角形; (2)运用该定理解决“已知两边和其中一边 的对角,求另一边的对角,进而求其它 元素”这类问题时,注意对解的判断.


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