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5.平面向量数乘运算及其几何意义


第五课时

向量数乘运算及其几何意义

知识回顾
1.向量加法三角形法则: 首 尾 相 连 首 尾 接 2.向量加法平行四边形法则:

b

b a
O.

a

o.
a+b A B
a

a+b<

br />A
b C

起 点 相 同 B 连 对 角

3.向量减法法则:

o.
a-b A

B 平移同起点,方
向指向被减

作一作,看成果 已知非零向量a,作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
a a
O A

a
B

a
C N

-a M

-a

-a Q P

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ?a 记作 3a

PN ? PQ ? QM ? MN ?(?a)?(?a)?(?a) 记作? 3a

3a ? 3 a
3a与a的方向相同

? 3a ? 3 a

?3a与a 的方向相反

一、平面向量数乘运算
一般地,我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量,
这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a ,它的长度和方向

规定如下:

()长度: 1 | ? a |?| ? || a |;
(2)方向:当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; 当??0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反。 特别地,当

? ? 0 时,? a ? 0.

练一练: 书本P90,练习2,3

二、平面向量数乘的几何意义
a 3a
1 a 2 ? 1 a 2

?a
-3a

几何意义:将 a 的长度扩大(或缩小) |λ|倍,改变 a (或不改变)a 的方向,就得到了λ

观察总结
(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a≠0),并比较。

? a

? 3(2a )
结论: 3(2a)=6

a

? 3(2a )

(2) 已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。

? b ?

=

? 6a

a

? ? 2a ? 2b

? ? a ?b

? 2b
? 2a

结论: 2a+2b=2(a+b)

三、向量数乘运算满足的运算律:
运算律: 设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有:
①λ(μa)= (λμ) a ②(λ+μ) a= λa+μa ③λ(a+b)= λa+λb 特别地, (-λ)a=-(λa)= λ(-a)
结合律

第一分配律 第二分配律

λ(a-b)= λa-λb

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

牛刀小试
口答:(1) (-3)×4 a (2) 3( a+b) –2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c )
解: (1) 原式 = -12a (2) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b (3) 原式 = (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c

结论: (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
(2)对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ, μ1, μ2 恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ a±λμ b 1 2

例1、计算下列各式

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )
? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c
书本P90,练习5

练一练:

自主探究
对于向量a(a≠0)、b,以及实数λ:
1、如果 b=λa , 那么,向量a与b是否共线? 2、如果a与b共线,那么是否有λ,使b=λa ? 对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使得 b=λa , 那么,由数乘向量的定义知:向量a与b共线。 若向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是a的长 度的μ(μ>0)倍,即有|b|=μ|a|,且 当a与b同方向时,有b=μa; 当a与b反方向时,有b=-μa,

所以始终有一个实数λ,使b=λa。

向量共线定理:
向量a (a ? 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数? , 使b ? ? a.

? ? a / /b ? a ? 0 ? ? ?
? ?

b ? ? a (a ? 0)

思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?

练一练:

书本P90,练习4

例2.把下列各小题中的向量b表示为实数与 向量a的积.

(1) a ? 3e , b ? 6e (2) a ? 8e , b ? ?14e

2 1 1 (3) a ? ? e , b ? e b ? ? a 2 3 3 3 2 8 (4) a ? ? e , b ? ? e b ? a 4 3 9

b ? 2a 7 b?? a 4

练习:判断下列各小题中的向量a与b是否共 线.

(1)a ? ?2e , b ? 2e (2)a ? e1 ? e2 , b ? ?2e1 ? 2e2 (3)a ? e1 ? e2 , b ? e1 ? 2e2

定理应用 摇身一变
例3:如图,已知AD=3AB、DE=3BC,试证明AC与AE共线。

如图,已知 如图,已知AD=3AB AD=3AB、 、DE=3BC AE=3AC,试判断 ,试证明A BC 、 和 C、 DEE 共线。 三点位置关系 变式 变式: 1:
解: ∵ AB+BC=AC
E C A B D

又 AE=AD+DE =3 AB+3 BC
=3( AB+ BC )

=3 AC


AC与AE 共线


又 AC与AE有公共点A,

A、C、E三点共线.

向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。 结论:

例4. 已知任意两非零向量a、b,

试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? 解:作图如右 依图猜想:A、B、C三点共线


a

b C b b B

AB=OB-OA =a+2b-(a+b)=b

A b O
a

又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b


AC=2AB


又 AB与AC有公共点A,

A、B、C三点共线.

总结:
证明三点共线的方法:

AB=λBC
且有公共点B

A,B,C三点共线

已知两个非零向量e1和e2不共线,如果 求证 : A、B、D三点共线.

AB ? 2e1 ? 3e2, BC ? 6e1 ? 23e2, CD ? 4e1 ? 8e2,

设 e , e 是两个不共线的向量, AB ? 2e ? ke , CB ? e ? 3e , 1 2 1 2 1 2

CD ? 2e1 ? e2

,若A、B、D三点共线,求k的值.

例5.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且

b 来表示MA AB ? a, AD ? b ,你能用 a 、 、 MB、 MC 和 MD
D M C



b
A

a

B

练一练: 书本P92,11题

1.

是非零向量,? 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 ? ? a 的方向相反 C. ? a ? a
2

? 设a

的方向相同 D. ? a ? ? a B. a与? a 2. 下列四个说法正确的个数有( C ).
m和向量a、 b ,恒有m(a ? b ) ? ma ? mb; 1 对于实数 m、n和向量a,恒有 (m ? n)a ? ma ? na; 2 对于实数
3 若ma ? mb(m ? R),则有a ? b; 4 若ma ? na(m、n ? R), a ? 0, 则有m ? n;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3. 在?ABC 中,设D为边BC的中点,求证:
1 (1) AD ? ( AB ? AC ) (2)3AB ? 2BC ? CA ? 2 AD 2
AD ? AB ? BD

解:因为



1 ? AB ? BC 2

1 1 ? AB ? ( AC ? AB ) ? ( AB ? AC ) 2 2

(2) 原式左边 ?







AB ? 2 AB ? 2BC ? CA ? AB ? 2 AC ? CA

? AB ? AC ? 2 AD ? 右边
所以,所证等式成立


B D

解2: 过点B作BE,使 BE ? AC 连接CE 则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中 点,则D也是AE中点.

C 由向量加法平行四边形法则有

E

AB ? AC ? AE ? 2 AD 1 ? AD ? ( AB ? AC ) 2

1 4. D是?ABC 中BC 边上一点,且 BD ? BC ,设 AB ? a, AC ? b, 3 A 则AD等于 ( C )

1 A. ( a ? b) 3 1 C. (2a ? b) 3

1 B. (b ? a ) 3 1 D. ( 2b ? a ) B 3

D

C

5. 在平行四边形ABCD中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC,M为BC的

1 1 中点,则 MN 等于______ ? a? b 4 4
分析:由

1 所以 AN ? 3NC , 得4 AN ? 3 AC ? ( 3 a ? b) , AM ? a ? b, 2 3 1 1 1 MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b 4 2 4 4

6. 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。 提示:设AB = a BC = b

D

C

1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2

N A M B

C

D

① ② ④

课时小结:
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线

二、知识应用: 1.证明 向量共线; 2.证明 3. 证明 三点共线: 两直线平行:

小结:
一、

①λ a 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0)

b=λa

向量a与b共线

二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点B 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD

A,B,C三点共线

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD

书本P91,A组,9,10

B组,3


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