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常用逻辑用语典型例题


常用逻辑用语
1.命题及其真假判断 (1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题,但疑问句、祈使句、感叹句都不 是命题. [例 1] 下列语句哪些是命题,是命题的判断其真假. ①方程 x2-2x=0 的根是自然数; ②sin(α +β )=sinα +sinβ (α ,β 是任意角); ③垂直于同一个平面的两个平面平行; ④函数 y=12x+1 是单调增函数; ⑤非

典型肺炎是怎样传染的? ⑥奇数的平方仍是奇数; ⑦好人一生平安! ⑧解方程 3x+1=0; ⑨方程 3x+1=0 只有一个解; ⑩3x+1=0. [解析] ①②③④⑥⑨都是命题,其中①④⑥⑨为真命题. [点评] ⑤是疑问句,⑦是感叹句,⑧是祈使句都不是命题,⑩中由于 x 的值未给,故 无法判断此句的真假,因而不是命题. [误区警示] 含有未知数的等式、不等式,当式子成立与否与未知数的值有关时,它不 是命题. (2)复合命题的真假判断是个难点,当直接判断不易着手时,可转为判断它的等价命题 ——逆否命题,这是一种重要的处理技巧. [例 2] 判断命题: “若 a+b≠7,则 a≠3,且 b≠4”的真假. [解析] 其逆否命题为: “若 a=3 或 a=4,则 a+b=7” .显然这是一个假命题, ∴原命题为假. 2.四种命题的关系 (1)注意:若 p,则 q,不能写作“p?q” ,因为前者真假未知,而“p?q”是说“若 p, 则 q”是一个真命题. (2)原命题与其逆否命题等价,原命题的逆命题与原命题的否命题也等价.从而四种命 题中有两对同真同假. (3)互逆或互否的两个命题不等价,其真假没有联系. [例 3] 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判定其真假: (1)?n∈N,若 n 是完全平方数,则∈N; (2)?a,b∈R,如果 a=b,则 a2=ab; (3)如果 x=3 或 x=7,则(x-3)(x-7)=0; (4)如果 a,b 都是奇数,则 ab 必是奇数. (5)对于平面向量 a,b,c,若 a· b=a· c,则 b=c. [解析] (1)逆命题:?n∈N,若 n∈N,则 n 是完全平方数.(真) 否命题:?n∈N,若 n 不是完全平方数,则 n?N.(真) 逆否命题:?n∈N,若 n?N,则 n 不是完全平方数.(真) (2)逆命题:?a,b∈R,若 a2=ab,则 a=b.(假) 否命题:?a,b∈R,若 a≠b,则 a2≠ab.(假) 逆否命题:?a,b∈R,若 a2≠ab,则 a≠b.(真)

(3)逆命题:若(x-3)(x-7)=0,则 x=3 或 7.(真) 否命题:若 x≠3 且 x≠7,则(x-3)(x-7)≠0.(真) 逆否命题:若(x-3)(x-7)≠0,则 x≠3 且 x≠7.(真) (4)逆命题:若 ab 是奇数,则 a、b 都是奇数.(假) 否命题:若 ab 不全是奇数,则 ab 不是奇数.(假) 逆否命题:若 ab 不是奇数,则 a、b 不全是奇数.(真) (5)逆命题:对于平面向量 a、b、c,若 b=c,则 a· b=a· c.(真) 否命题:对于平面向量 a、b、c,若 a· b≠a· c,则 b≠c.(真) [误区警示] ①“p 或 q”的否定为“綈 p 且綈 q” ; “p 且 q”的否定为“綈 p 或綈 q” . ②实数 xy=0,则有 x=0 或 y=0,向量 a、b 满足 a· b=a· c 不能得出 b=c. 3.量词与复合命题 (1)逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”与集合的“交” 、 “并” 、 “补”有着密切的联系,借 助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解. 逻辑联结词“且” 、 “或”还可借助电路的“串联” 、 “并联”来类比理解,如图. 含有逻辑联结词的复合命题真假判断,要以真值表为标准. [例 4] 分析下列命题的构成,并用“∧” 、 “∨”或“綈”表示出来: (1)x+1 是 x3+x2-x-1 与 x3+1 的公因式; (2)方程 x2=1 的解是 x=±1; (3)点(3,4)不在圆 x2+y2-2x+4y+3=0 上; (4)3≥3. [例 4] 分析下列命题的构成,并用“∧” 、 “∨”或“綈”表示出来: (1)x+1 是 x3+x2-x-1 与 x3+1 的公因式; (2)方程 x2=1 的解是 x=±1; (3)点(3,4)不在圆 x2+y2-2x+4y+3=0 上; (4)3≥3. [解析] (1)p∧q 形式, 其中 p: x+1 是 x3+x2-x-1 的因式, q: x+1 是 x3+1 的因式. (2)p∨q 形式,其中 p:方程 x2=1 的一个解是 x=1,q:方程 x2=1 的一个解是 x=- 1. (3)綈 p 形式,其中 p:点(3,4)在圆 x2+y2-2x+4y+3=0 上. (4)p∨q 形式,其中 p:3>3,q:3=3. [误区警示] 若把方程 x2=1 的解是 x=±1,写成简单命题 p:x2=1 的解是 x=1,q: x2=1 的解是 x=-1,p∨q 形式,就错了,从真值表判断,p,q 都是假命题,但原命题为 真命题. [例 5] 写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:有些三角形是直角三角形. (2)p:方程 2x+1=0 有一负实根. (3)p:三角形的两边之和大于第三边. (4)p:存在实数 q<0,使方程 x2+2x+q=0 无实根. [解析] (1)綈 p: “没有一个三角形是直角三角形” .(假) (2)綈 p: “方程 2x+1=0 无负实根” .(假) (3)綈 p: “存在某个三角形,两边之和小于或等于第三边” .(假) (4)綈 p: “对任意实数 q<0,方程 x2+2x+q=0 都有实数根” .(真) 4.充要条件 (1)若“p?q” ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件,即:有了 p 成立,则一定有

q 成立,即使 p 不成立,q 也可能成立;q 不成立,则 p 一定不成立. (2)区分“p 是 q 的充要条件” , “p 的充要条件是 q”说法的差异. [例 6] (09· 四川理)已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件. [答案] B [解析] 由 a-c>b-d 变形为 a-b>c-d, 因为 c>d,所以 c-d>0,所以 a-b>0,即 a>b, ∴a-c>b-d?a>b. 而 a>b 并不能推出 a-c>b-d. 所以 a>b 是 a-c>b-d 的必要而不充分条件.故选 B. [例 7] 已知 p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0.若 p 是 q 的充分不必要条件,求 正实数 a 的取值范围. [解析] 解不等式 x2-8x-20>0 得 p:A={x|x>10,或 x<-2}. 解不等式 x2-2x+1-a2>0 得 q:B={x|x>1+a,或 x<1-a,a>0}. 依题意,p?q 但 q?/ p,说明 A ? B. a>0 ? ? 于是,有?1+a≤10 ,且等号不同时取得,解得 0<a≤3. ? ?1-a≥-2 ∴正实数 a 的取值范围是 0<a≤3. 5.反证法 如果遇到正面证明一个问题比较困难时,可通过假设结论的反面成立,从假设出发,推 证出明显的矛盾,从而肯定假设不正确,原结论正确.这种方法适合于结论本身为否定形式 或含有“至少” “至多”等限制词的情况 [例 8] 求证:若 p2+q2=2,则 p+q≤2. [证明]假设 p+q>2, 1 则 p2+q2= [(p-q)2+(p+q)2] 2 1 1 ≥ (p+q)2> ×22=2, 2 2 即 p2+q2>2,这与题设矛盾. 因此假设不成立.即 p+q≤2 成立.


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