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高二上数学必修五综合测试(解三角形数列不等式)6


数学必修 5 模块检测题
一、选择题 ) 1.在等比数列{an}中,若 a1=2,a3=4,则 a7 等于( (A)8 (B)16 (C)32 (D)64 2.设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a+c>b+d (B)a-c>b-d(C)ac>bd (D)

a b > d c

3.已知函数 y=-x2+x,那么使 y<-2 成立时 x 的取值范围是( ) (A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞) 4.在数列{an}中,a1=4,an+1=2an-1(n=1,2,3,…),则 a4 等于( ) (A)7 (B)13 (C)25 (D)49 5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 满足 A<B<C(C≠

π ),则下列不等式一定成立的是( 2

)

(A)sinA<sinC (B)cosA<cosC(C)tanA<tanC (D)tanA>tanC 6.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有( (A)10 项 (B)11 项 (C)12 项 (D)13 项
? x ? y + 5 ≥ 0, ? 7.若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ?0 ≤ x ≤ 2 ? (A)a<5 (C)5≤a<7 8.若不等式(-1)na<2+ (B)a≥7 (D)a<5,或 a≥7

)

)

( ?1) n+1 n 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
3 (D) (?3, ) 2

)

3 3 3 (A) [?2, ) (B) (?2, ) (C) [?3, ) 2 2 2

二、填空题 9.不等式 x(2-x)>0 的解集为________. 10.已知正数 a,b 满足 ab=4,那么-a-b 的最大值是________. 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,a3=7,则 S10 等于________.
? x ≤ 1, ? 12. 已知点 P(x, )的坐标满足条件 ? y ≤ 1, y 点 O 为坐标原点, 那么|PO|的最大值等于______, 最小值等于________. ? x + y ? 1 ≥ 0, ?
13.等比数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 8S6=9S3,则{an}的公比等于________. 14.Rt△ABC 的三个内角的正弦值成等比数列,设最小的锐角为角 A,则 sinA=________. 三、解答题 15.解不等式:0<x2-3x<4. 16.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc. (1)求角 A 的大小; (2)求 b sin B 的值. c

17.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=6,S3=12. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 +L+ <1. (2)求证: + S1 S 2 Sn

18.电视台为某个广告公司特约播放两套片集:片集甲每集播映时间为 21 分钟,其中含广告时间 1 分钟,收视观众为 60 万人;片集乙每集播映时间为 11 分钟,含广告时间 1 分钟,收视观众为 20 万人.广告公司规定每周至少有 6 分 钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于 86 分钟的节目时间(含广告时间).电视台每周应播映两套片各多少 集,才能获得最高的收视率?

19.对于定义域分别是 Df,Dg 的函数 y=f(x),y=g(x),规定:函数

? f ( x) ? g ( x), 当x ∈ D f 且x ∈ Dg , ? h( x) = ? f ( x), 当x ∈ D f 且x ? Dg , ? 当x ? D f 且x ∈ Dg . ? g ( x),
(1)若函数 f ( x) =
1 ,g(x)=x2,x∈R,写出函数 h(x)的解析式; x ?1

(2)求问题中(1)函数 h(x)的值域.

20.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2(n=1,2,3,…). (1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,3,…),求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式; (2)设 cn=

an (n=1,2,3,…),求证数列{cn}是等差数列,并求其通项公式; 2n

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式.

参考答案
数学必修 5 模块检测题
一、选择题 1.B 2.A 提示: 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.A

8.①当 n 是正奇数时,原不等式化为 a>-(2+

1 ), n

欲使上式对于任意正奇数 n 恒成立,则 a≥-2. ②当 n 是正偶数时,原不等式化为 a<2-

1 , n 1 3 = . 2 2

欲使上式对于任意正偶数 n 恒成立,则 a<2- 综上,a 的取值范围是[-2, 二、填空题 9.{x|0<x<2 } 12. 2 ,
2 2

3 ). 2
11.120

10.-4
13. 1 2

14.

5 ?1 2

提示: 13.设{an}的公比为 q, ①当 q=1 时,S6=6a1,S3=3a1,此时不适合 8S6=9S3,所以 q≠1. ②当 q≠1 时,由 8 ?
a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 3 ) = 9? 1 ,且 a1≠0,得 1? q 1? q

8(1+q3)=9,即 q3=

1 1 ,所以 q= . 8 2

14.不妨设∠C 为直角.由题意 sinA·sinC=sin2B,即 sinA=sin2B,

又因为 A+B=

π ,所以 sinB=cosA,故 sinA=cos2A=1-sin2A. 2

解此方程得 sinA= 三、解答题

5 ?1 ?1± 5 ,又 sinA∈(0,1),故 sinA= . 2 2

? x 2 ? 3 x > 0, ? x > 3, 或x < 0, ? 15.原不等式 ? ? ?? ? {x|-1<x<0,或 3<x<4 } . ? x 2 ? 3 x < 4. ?? 1 < x < 4. ?
16.解:(1)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac. 又 a2-c2=ac-bc,所以 b2+c2-a2=bc.

b2 + c2 ? a2 1 = ,所以∠A=60°. 2bc 2 b sin A (2)根据正弦定理,得 sinB= . a

根据余弦定理得 cosA=

因为 b2=ac,∠A=60°,
b sin B b 2 sin 60o 3 = = sin 60o = . ac 2 c 17.解:(1)设等差数列{an}的公差是 d,依题意得

所以

?a1 + 2d = 6, ?a = 2, ? 解得 ? 1 3× 2 ? d = 12. ?d = 2. ?3a1 + 2 ? 所以数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n.

(2)证明:an=2n,所以 Sn=

n(a1 + an ) =n(n+1). 2

1 1 1 1 1 1 + +L+ = + +L+ S1 S 2 Sn 1× 2 2 × 3 n(n + 1)
1 1 1 1 1 1 1 = ( ? ) + ( ? ) +L+ ( ? ) =1? . 1 2 2 3 n n +1 n +1 1 1 1 所以 + +L+ <1. S1 S 2 Sn

? x + y ≥ 6, ? 18.解:设片集甲播映 x 集,片集乙播映 y 集,则有 ?21x + 11 y ≤ 86, 设此不等式组表示的平面区域为 D.要获得最高 ? x, y ∈ N. ?
的收视率,只要 z = 60 x + 20 y 最大即可,问题转化为求目标函数 z = 60 x + 20 y 在区域 D 上的最大值即可.画图 分析得,当 x=2,y=4 时,z 取得最大值 200 万.
19.解:(1)由函数 f ( x ) =

1 , g ( x) = x 2 ,x∈R,可得: x ?1

Df={x|x≠1},Dg=R,从而当 x≠1 时, h( x ) = (2)当 x>1 时, h( x) =

x2 ;当 x=1 时,h(x)=1. x ?1

x2 ( x ? 1) 2 + 2( x ? 1) + 1 1 = = x ?1+ + 2 ≥ 4; x ?1 x ?1 x ?1

x2 ( x ? 1) 2 + 2( x ? 1) + 1 1 = = ?(1 ? x + )+2≤0; x ?1 x ?1 1? x 所以,h(x)的值域为{y|y≥4,或 y≤0,或 y=1}.

当 x<1 时, h( x) =

20.(1)证明:由 S n +1 = 4a n + 2, S n+ 2 = 4an +1 + 2 ,两式相减得 an + 2 = 4a n+1 ? 4a n .

整理得 an + 2 ? 2an +1 = 2( an +1 ? 2an ) ,即 bn+1=2bn. 故{bn}是公比为 2 的等比数列, 而 b1 = a2 ? 2a1 = S 2 ? 3a1 = a1 + 2 = 3 ,可得 bn = 3 ? 2
(2)证明: cn =
n ?1

(n∈N*)

an a a ? 2a b 3 ? 2 n?1 3 , cn+1 = n+1 ? cn+1 ? cn = n+1 n+1 n = nn 1 = n+1 = , 2n 2 n+1 2 2+ 2 4 a1 1 1 3 1 = ,故 cn = + (n ? 1) ? = (3n ? 1) . 2 2 2 4 4
n? 2

所以{cn}是等差数列, c1 =
n

(3) an = 2 ? cn = (3n ? 1) ? 2

(n ∈ N* ) .
n ?1

当 n≥2 时, S n = 4an ?1 + 2 = (3n ? 4) ? 2 故 S n = (3n ? 4) ? 2
n ?1

+ 2 ,因为 S1=a1=1 也适合,

+ 2.



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