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2000-2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开)


2011 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
题号 得分 评卷 复核 解答本试卷可以使用科学计算器
一、 填空题(每题 10 分,共 80 分) 1. 已知关于 x 的两个方程: x ? x ? 3m ? 0?? ①, x ? x ? m ? 0?? ②,其中 m ? 0 。若
2 2

(2011 年 12 月 4 日 上午 9:00~11:00) 二 一 (1~8) 9 10 11 12

总分

方程①中有一个根是方程②的某个根的 3 倍,则实数 m 的值是___________。 2. 已知梯形 ABCD 中, AB // CD , ?ABC ? 90? , BD ? AD , BC ? 5 , BD ? 13 ,则梯形

ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 的 6 张卡片中任意抽取 3 张,则抽出卡片的编号都大于等 于 2 的概率为______________。 4. 将 8 个数 ? 7 , ? 5 , ? 3 , ? 2 , 2 , 4 , 6 , 13 排列为 a , b , c , d , e , f , g , h , 使得 ?a ? b ? c ? d ? ? ?e ? f ? g ? h? 的值最小,则这个最小值为____________。
2 2

5.

已知正方形 ABCD 的边长为 4 ,E ,F 分别是边 AB ,BC 上的点, 使得 AE ? 3 ,BF ? 2 , 线段 AF 与 DE 相交于点 G ,则四边形 DGFC 的面积为_____________。

6.

在等腰直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , P 是 ?ABC 内一点,使得 PA ? 11 , PB ? 7 ,

PC ? 6 ,则边 AC 的长为______________。
7. 有 10 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场) ,规定获胜得 2 分,平局得 1 分,负 得 0 分。比赛结束后,发现每名选手的得分各不相同,且第 2 名的得分是最后五名选手的得分 和的 8.

4 ,则第 2 名选手的得分是_________。 5

已知 a ,b ,c ,d 都是质数(质数即素数,允许 a ,b ,c ,d 有相同的情况) ,且 abcd 是 35 个连续正整数的和,则 a ? b ? c ? d 的最小值为_________。

1

二、 解答题(第 9 , 10 题,每题 15 分,第 11 , 12 题,每题 20 分,共 70 分) 9. 如图,矩形 ABCD 的对角线交点为 O ,已知 ?DAC ? 60? ,角 DAC 的平分线与边 DC 交于 点 S ,直线 OS 与 AD 相交于点 L ,直线 BL 与 AC 相交于点 M。求证: SM // LC 。 解
L

D

S M O

C

A

B

10. 对 于 正 整 数 n , 记 n! ? 1? 2 ??? n 。 求 所 有 的 正 整 数 组 ?a , b, c, d , e, f ? , 使 得

a! ? b!? c!? d !? e!? f ! ,且 a ? b ? c ? d ? e ? f 。


11. (1)证明:存在整数 x , y ,满足 x ? 4 xy ? y ? 2022;
2 2

2

(2)问:是否存在整数 x , y ,满足 x ? 4 xy ? y ? 2011? 证明你的结论。
2 2



12. 对 每 一 个 大 于 1 的 整 数 n , 设 它 的 所 有 不 同 的 质 因 数 为 p1 , p2 , ... , pk , 对 于 每 个
3

pi ?1 ? i ? k ? ,存在正整数 a i ,使得 piai ? n ? pi
记 p?n ? ? p1
a1

ai ?1



? p2

a2

? ? ? pk k 例如, p?100? ? 2 6 ? 5 2 ? 89 。
a

(1)试找出一个正整数 n ,使得 p?n? ? n ; (2)证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 p?n? ? 1.1n 。 解

4

5

6

7

8

9

10

2010 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 小题,每题 10 分,共 90 分) 1. 已知 x ?

1 1 1 ? 3 ,则 x10 ? x 5 ? 5 ? 10 ? _________。 x x x
2 2 2

2. 满足方程 ?x ? 3? ? y ? ?x ? y ? ? 3 的所有实数对 ?x,y ? 为__________。 3. 已知直角三角形 ABC 中, C ? 90 ? ,BC ? 6,CA ? 3 , 为 ?C 的角平分线, CD 则_________。 ? 4. 若前 2011 个正整数的乘积 1? 2 ? ?? 2011 能被 2010 k 整除, 则正整数 k 的最大值为________。 5. 如图, 平面直角坐标系内, 正三角形 ABC 的顶点 B, 的坐标分别为 C (1, 0)(3,0) , ,过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB,AC 交于点 M,N, 若 OM=MN,则点 M 的坐标为_________。

y A M O B N C x

6. 如图,矩形 ABCD 中,AB=5,BC=8,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,使得 AE=2, BF=5, DG=3, AH=3, O 在线段 HF 上, 点 使得四边形 AEOH 的面积为 9, 则四边形 OFCG 的面积是_________。 7. 整 数 p,q 满 足 p ? q ? 2010 , 且 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程
A E O G C H D

67 x 2 ? px ? q ? 0 的两个根均为正整数,则 p ? ________。

8. 已知实数 a,b,c 满足 a ? b ? c,a ? b ? c ? 0 且 a ? 0 。设 x1,x2 是 方 程 ax ? bx ? c ? 0 的 两 个 实 数 根 , 则 平 面 直 线 坐 标 系 内 两 点
2

B

F

A

A?x1,x2 ?,B?x2,x1 ? 之间的距离的最大值为_______。
9. 如图,设 ABCDE 是正五边形,五角星 ACEBD(阴影部分)的面积为 1,设 AC 与 BE 的交点为 P,BD 与 CE 的交点为 Q,则四边形 APQD 的 面积等于_______。 10. 设 a,b,c 是整数,1 ? a ? b ? c ? 9 ,且 abc ? bca ? cab ? 1能被 9 整除,则 a ? b ? c 的最小值是_________,最大值是__________。
B P E

Q C D

二、 解答题(每题 15 分,共 60 分) 11. 已知面积为 4 的 ?ABC 的边长分别为 BC ? a,CA ? b,AB ? c,c ? b , 是 ?A 的角平分 AD 线,点 C ' 是点 C 关于直线 AD 的对称点,若 ?C' BD 与 ?ABC 相似, 求 ?ABC 的周长的最小值。 A

C'
11

B D

C

12. 将 1,2,…,9 这 9 个数字分别填入图 1 中的 9 个小方格中,使得

def ghi beh cfi 三位数 abc, , , , 和 aei 都能被 11 整除, 求三位数 ceg 的
大值

a b c d e f g h i

7个 最

13. 设实数 x,y,z 满足 x ? y ? z ? 0 ,且 ?x ? y ? ? ? y ? z ? ? ?z ? x ? ? 2 ,求 x 的最大值和最
2 2 2

小值

14. 称具有 a ? 161b 形式的数为“好数”,其中 a,b 都是整数
2 2

(1)证明:100,2010 都是“好数”。 (2)证明:存在正整数 x,y ,使得 x
161

? y 161 是“好数”,而 x ? y 不是“好数”。

12

13

14

15

16

17

18

19

2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题 (2009年12月6日)
一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分) 1、对于任意实数a,b,定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5,则实数a的值 是 。

2、在三角形ABC中, AB ? b2 ? 1, BC ? a 2 , CA ? 2a ,其中a,b是大于1的整数, 则b-a= 。

3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能 是 。

4、已知关于x的方程 x 4 ? 2 x3 ? (3 ? k ) x 2 ? (2 ? k ) x ? 2k ? 0 有实根,并且所有实根 的乘积为?2,则所有实根的平方和为 。
B P

E

5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边 AB上一动点。PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的最小 值为 。
C F
第五题图

A

6、设a,b是方程 x2 ? 68x ? 1 ? 0 的两个根,c,d是方程 x2 ? 86 x ? 1 ? 0 的两个根, 则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值 。

20

7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx?1 的图像与线段 PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。

8方程xyz=2009的所有整数解有

组。

9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。设AD,BC 延长线交于E ,则∠AEB= 。

D
A

C

D

M
B C
第九题图

E

A 第十题图

B

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10,点M 在BC上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和 是 。

二、 本题15分) ( 如图, ΔABC 中∠ACB =90°, 点D在CA上, 使得CD=1, AD=3, 并且∠BDC=3∠BAC,求BC的长。 B

C

A D 第二大题图

三、(本题15分)求所有满足下列
21



件的四位数 abcd , abcd ? (ab ? cd )2 其中数字c可以是0。

四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两 两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。

五、 (本题15分) 若两个实数a,b,使得, a 2 ? b 与 a ? b2 都是有理数, 称数对(a,b) 是和谐的。 ①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的; ②证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数; ③证明:若(a,b)是和谐的,且 是有理数,则a,b都是有理数;
a b

2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分)
22

1、对于任意实数a,b,定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5,则实数a的值 是 。 【答案】4, ?
13 2

2、在三角形ABC中, AB ? b2 ? 1, BC ? a 2 , CA ? 2a ,其中a,b是大于1的整数,则 b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能 是 。 【答案】50,94 4、已知关于x的方程 x 4 ? 2 x3 ? (3 ? k ) x 2 ? (2 ? k ) x ? 2k ? 0 有实根,并且所有实根 的乘积为?2,则所有实根的平方和为 【答案】5 5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜
E P


B

边 小值

AB上一动点。PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的最 为 。 【答案】
2 5 5
C F
第五题图

A

6、设a,b是方程 x2 ? 68x ? 1 ? 0 的两个根,c,d是方程
x2 ? 86 x ? 1 ? 0 的两个根,则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值



【答案】2772 7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx?1 的图像与线段 PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。

23

【答案】 ? k ?

1 3

3 2

8方程xyz=2009的所有整数解有 【答案】72

组。

9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。设AD,BC 延长线交于E ,则∠AEB= 【答案】21°
D
A



C

D

M
B C
第九题图

E

A 第十题图

B

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10,点M 在BC上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和 是 。

【答案】 300 ? 150 3 二、 本题15分) ( 如图, ΔABC 中∠ACB =90°, 点D在CA上, 使得CD=1, AD=3, 并且∠BDC=3∠BAC,求BC的长。 解:设BC=x,则 BD ? x 2 ? 1 ,
AB ? x 2 ? 16 ,如图,作∠ABD平分

B

C

A D 第二大题图 E

线BE,则 ? BDE ?? ADB ,因此
BD 2 ? DE ? DA ? 3DE 。

由角平分线定理可知

DE BD DE BD 3BD 。 ? ? ? ? DE ? AE AB AE ? DE AB ? BD AB ? BD
24

因此 x 2 ? 1 ?

9 x2 ? 1 x 2 ? 16 ? x 2 ? 1

,解得 BC ? x ?

4 11 11

三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数 abcd , abcd ? (ab ? cd )2 其中 数字c可以是0。 解:设 x ? ab, y ? cd ,,则 100 x ? y ? ( x ? y)2 ,故 x 2 ? (2 y ? 100) x ? ( y 2 ? y) ? 0 有整数 解,由于10< x < 100,故y≠0。因此 ? x ? (2 y ? 100)2 ? 4( y 2 ? y) ? 4(2500 ? 99 y) 是 完全平方数, 可设 t 2 ? 2500 ? 99 y ,故 99 y ?(50 ?)(50 )? t ,0≤ 50- t<50+ t 之和为100,而且 t 其中有11的倍数,只能有50?t= 1或50?t=45,相应得到y=1,25,代入解得
? x ? 98 ? x ? 20 ? x ? 30 ,? ,? ? 因此 abcd ? 9801, 2025,3025 。 ? ? y ? 1 ? y ? 25 ? y ? 25

四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两 两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。 解: 由于 22 ,32 ,52 , 72 ,112 ,132 ,172 ,192 , 232 , 292 ,312 ,372 , 412 , 432 这14个合数都小于2009 且两两互质,因此n≥15。 而n=15时,我们取15个不超过2009的互质合数 a1 , a2 ,?, a15 的最小素因子
p1 , p2 ,?, p15 ,则必有一个素数≥47, 不失一般性设 p15 ? 47 ,由于 p15 是合数 a15

的最小素因子,因此 a15 ? p152 ? 47 ? 2009 ,矛盾。因此,任意15个大于1且不 超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述,n最小是15。 五、 (本题15分) 若两个实数a,b,使得, a 2 ? b 与 a ? b2 都是有理数, 称数对(a,b) 是和谐的。 ①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的; ②证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数;
25

③证明:若(a,b)是和谐的,且 是有理数,则a,b都是有理数; 解:①不难验证 (a, b) ? ( 2 ? , ? 2) 是和谐的。 ②由已知 t ? (a 2 ? b) ? (a ? b2 ) ? (a ? b)(a ? b ? 1) 是有理数,a ? b ? s 是有理数,因此
a ?b ?
1 t ? t ,解得 a ? ? s ? ? ? 是有理数,当然b=s?a也是有理数。 2? s ?1 ? a ? b ?1

a b

1 1 2 2

③ 若 a ? b2 ? 0 , 则 b ? ? 是 有 理 数 , 因 此 a ? (a ? b 2 ) ? b 2 也 是 有 理 数 。 若
a ?b ? b a ? b ? 0 ,由已知 x ? a a ? b2 b
2

a b

2

? ? ? ? 1b ? 是有理数, y ? a 也是有理数,因此 b ? ?? 1b ? ? 1
a
2

1 y2 ? x xy ? 1 ? ,故 b ? 2 是有理数,因此 a ? (a ? b2 ) ? b2 也是有理数。 b xy ? 1 y ?x

2008 年新知杯上海市初中数学竞赛
26

一、填空题: 1、如图:在正 ?ABC 中,点 D 、 E 分别在边 BC 、 CA 上,使得 CD ? AE , AD 与 BE 交于点

P , BQ ? AD 于点 Q .则

QP ? _____________. QB

C Q E P A D

B

2、不等式 x ? 2 x ? 6 ? a 对于一切实数 x 都成立.则实数 a 的最大值为_____________.
2

4 3、设 a n 表示数 n 的末位数.则 a1 ? a 2 ? ? ? a 2008 ? _____________.

4、在菱形 ABCD 中, ?A ? 60? , AB ? 1 ,点 E 在边 AB 上,使得 AE : EB ? 2 : 1 , P 为对 角线 AC 上的动点.则 PE ? PB 的最小值为_____________.

ax 2 ? 2a ? a 2 ? 1 的解为_____________. 5、关于 x 的方程 x ?1

6、如图:设 P 是边长为 12 的正 ?ABC 内一点,过 P 分别作三条边 BC 、 CA 、 AB 的垂线,垂 足 分 别 为 D 、 E 、 F . 已 知 PD : PE : PF ? 1 : 2 : 3 . 那 么 , 四 边 形 BDPF 的 面 积 是 _____________.

A

F B
27

P D

E C

7、对于正整数 n ,规定 n! ? 1 ? 2 ? ?? n .则乘积 1!?2!??? 9! 的所有约数中,是完全平方数的共

有_____________个.

8、已知 k 为不超过 2008 的正整数,使得关于 x 的方程 x 2 ? x ? k ? 0 有两个整数根.则所有这样 的正整数 k 的和为_____________.

9、如图:边长为 1 的正 ?A1 B1C 1 的中心为 O ,将正 ?A1 B1C 1 绕中心 O 旋转到 ?A2 B2 C 2 ,使得

A2 B2 ? B1C 1 .则两三角形的公共部分(即六边形 ABCDEF )的面积为_________.
A2 A1 A F B E B1 C B2 D C1 C2

10、如图:已知 ?BAD ? ?DAC ? 9? , AD ? AE ,且 AB ? AC ? BE .则 ?B ? _____________.

A

B D C

E

二、如图:在矩形 ABCD 内部(不包括边界)有一点 P ,它到顶点 A 及边 BC 、 CD 的距离都等
28

D

F

C

于 1,求矩形 ABCD 面积的取值范围.

?x ? 2y ? 0 ? 三、已知实数 x 、 y 满足如下条件: ? x ? 2 y ? 0 ,求 x ? y 的最小值. ?? x ? 2 y ?? x ? 2 y ? ? 4 ?

四、 如图: 在凹六边形 ABCDEF 中,?A 、?B 、?D 、?E 均为直角, p 是凹六边形 ABCDEF
29

内一点, PM 、 PN 分别垂直于 AB 、 DE ,垂足分别为 M 、 N ,图中每条线段的长度如图所示 (单位是米) ,求折线 MPN 的长度(精确到 0.01 米).

五、 求满足不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 的最大正整数 n , 其中 ? x ? 表示不超过实数 x 的最 ? 2 ? ? 3 ? ? 11? ? 13 ? 大整数.

?n?

?n?

?n?

?n?

2008 年“新知杯”上海市初中数学竞赛
30

参考答案

提示:
8、答案:48°。 延长 BA 至 F,则△ADE≌△AFE,AE 平分∠FED,且∠BFE=∠ABE,代换一下即可。 10、1×2+2×3+3×4+?+44×45=30360 基本功题:首先是:x2-x-k 的因式分解,其次是求和问题。

二、答案:2<S≤3/2+21/2。 本题是考察基本不等式的运用技巧。我估计我的学生可以得一半分。 三、答案:4×31/2/3。换元法技巧而已。只要令 x=(a+b)/2,y=(a-b)/2, 利用对称性,设 y>0 即可。 四、答案:15.50。 纯粹的解三角形的死做题。 只要边 CF,则与 NP 的交点即为中点,并取 AB 中点,慢慢解了。 希学生注意:可以使用计算器,一定要掌握。 五、答案:1715。 高斯函数题再加上放大与缩小的应用。 ∵[n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]<n,其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数。 ∴[n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]≤n-1 即 n-1≥(n-

31

32

33

34

35

36

37

38

2006 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 题,每题 10 分,共 90 分) 1、 如图,在△ ABC 中, ?A ? 70 °, ?B ? 90 °,点 A 关于 BC 的对称点是 A? ,点 B 关于 AC 的对称点是 B? ,点 C 关于 AB 的对称点是 C ? ,若△ ABC 的面积是 1,则 △ A?B?C ? 的面积是________________.

B'

A
A C

B
B C'
第 1 题图

D E C F
第 3 题图

A'

? 2a ? b ? c ? d ? e ? f ? 20, ? a ? 2b ? c ? d ? e ? f ? 40, ? ? a ? b ? 2c ? d ? e ? f ? 80, ? 2、 已知实数 a、b、c、d、e、f 满足如下方程组 ? , ? a ? b ? c ? 2d ? e ? f ? 160 , ?a ? b ? c ? d ? 2e ? f ? 320 , ? ?a ? b ? c ? d ? e ? 2 f ? 640 . ?
则 f ? e ? d ? c ? b ? a 的值是_______________. 3、 如图, 菱形 ABCD 中, 顶点 A 到边 BC , 那么菱形 ABCD CD 的距离 AE, AF 都为 5,EF ? 6 , 的边长为________________. 4、 已知二次函数 y ? x ? x ? a 的图像与 x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过 5,则 a
2

的取值范围是__________________. 5、 使得 n ? 1 能整除 n
2006

? 2006 的正整数 n 共有_____________个.

6、 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,方程 ?2 x? ? ?3x? ? 8 x ?

7 的所有实数解为_________. 2 7、 如图, ABCD 为直角梯形( ?B ? ?C ? 90 °) ,且 AB ? BC ,若在边 BC 上存在一点 M , CD 使 得 △ AMD 为 等 边 三 角 形 , 则 的 值 为 AB C D
_________________.

M A
第 7 题图

39

B

A' A h B B'
第 8 题图

h h C C'

8、 如图,△ ABC 的面积为 S ,周长为 p ,△ A?B?C ? 的三边在△ ABC 外,且与对应边的距离均为

h ,则△ A?B?C? 的周长为______________,面积为_______________.
9、 n(? 1) 个整数(可以相同) a1 , a 2 ,? a n 满足a1 ? a2 ? ? ? a n ? a1 a 2 ? a n ? 2007 ,则 n 的最 小值是________________. 10、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列: a1 , a 2 ,?, a n ,? ,例如:

a1 ? 2 2 ? 12 ? 3, a 2 ? 32 ? 2 2 ? 5, a3 ? 4 2 ? 32 ? 7, a 4 ? 32 ? 12 ? 8,?,







a1 ? a 2 ? ? ? a99 ? a100 的值是___________________.
二、 (本题 20 分) 如图,已知半径分别为 1,2 的两个同心圆,有一个正方形 ABCD ,其中点 A, D 在半径为 2 的 圆周上,点 B, C 在半径为 1 的圆周上,求这个正方形的面积.

O

第二题图

40

三、 (本题 20 分) 关于 x、y、z 的方程组 ?

? 3 x ? 2 y ? z ? a, 有实数解 ( x, y, z ) ,求正实数 a 的最小值. ? xy ? 2 yz ? 3zx ? 6

四、 (本题 20 分) 设 A 是给定的正有理数. (1) 若 A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积, 证明: 一定存在 3 个正有理数 x、y、z , 使得 x ? y ? y ? z ? A .
2 2 2 2

(2) 若存在 3 个正有理数 x、y、z ,满足 x ? y ? y ? z ? A ,证明:存在一个三边长都是
2 2 2 2

有理数的直角三角形,它的面积等于 A .

41

42

43

44

45

2005 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷 (2005 年 12 月 11 日 题号 得分 评卷 复核 解答本试卷不得使用计算器 一、填空题: (本大题 10 小题,前 5 题每题 8 分,后 5 题每题 10 分,共 90 分) 1.在小于 100 的正整数 n 中,能使分数 有可能值是 。
1 化为十进制有限小数的 n 的所 (3n ? 32)(4n ? 1)

上午 9:00——11:00) 三 四 总分





2.将数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 按某种次序写成一个九位数:
abcdefghi, 令A ? abc ? bcd ? cde ? def ? efg ? fgh ? ghi ,则 A 的最大可能值是

。 3.如果一个两位数 X 5 与三位数 3YZ 的积是 29400,那么 X+Y+Z= #. 已知 a, x, 都为实数, y ? b, y 且 值为 。 18 。 的

x ? 2 ? 1 ? a 2 , x ? 4 ? 3 y ? 3 ? b 2 , a ?b ?x ? y 则
y C A 1 O D

5.如图:△OAB 的顶点 O(0,0) ,A(2,1) , B(10,1) ,直线 CD ? X 轴,并且把△OAB 面积二等分,若点 D 的坐标为(x,0) ,则 x 的值是 。

B 10 x

6.如果两个一元二次方程 x 2 ? x ? m ? 0与mx 2 ? x ? 1 ? 0 分别有两个不相同的实根,但其 中有一个公共的实根 ? ,那么实根 ? 的大小范围是 7.如图:在梯形 ABCD 中,AB∥DC,DC=2AB=2AD, 若 BD=6,BC=4,则 SABCD= 。
D C


A B

(SABCD 表示四边形 ABCD 的面积,下同)

46

8.如图,? ABCD 中,点 M、N 分别是边 BC、DC AN=1 , AM=2 , 且 ∠ MAN=60 ° , 则 AB 的 长
D

A

B M N C

的中点, 是
A



#如图:△ABC 中,点 E、F 分别在这 AB、AC 上,EF∥
E

BC,若 S△ABC=1,S△AEF=2S△EBC,则 S△CEF=


B

F

C

10.设 P 为质数,且使关于 x 的方程 x2-px-580p=0 有两个整数根, 则 p 的值为 二、 (本题 20 分) 已知矩形 ABCD 的相邻两边长为 a、b,是否存在另一个矩形 A’B’C’D’,使它的周长
1 和面积分别是矩形 ABCD 的周长和面积的 ?证明你的结认论。 3



三、 (本题 20 分) 已知 a、b、c 都是大于 3 的质数,且 2a ? 5b ? c 。 (1)求证:存在正整数 n>1,使所有满足题设的三个质数 a、b、c 的和 a+b+c 都能被 n 整除; (2)求上一小题中 n 的最大值。

47

四、 (本题 20 分) 如图:在 Rt△ABC 中,CA>CB,∠C=90°,CDEF、KLMN 是△ABC 的两个内接 正方形,已知 SCDEF=441,SKLMN=440,求△ABC 的三边长。

B M E F N C K D A L

48

2005 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题 1、6,31; 6、 ? ? 1 2、4648; 7、18; 3、18; 8、
2 13 3

4、5; 9、 3 3 ? 5

5、 10 ? 2 10 ; 10、29

1 1 二、设矩形 A’B’C’D’的相邻两边长为 m、n,则按题意有 m+n= (a ? b) , mn ? ab ,因 3 3 1 1 此 m、n 是二次方程 x 2 ? (a ? b) x ? ab ? 0 的两正根。 3 3 1 1 ∵ (a ? b) ? 0, ab ? 0 ∴上述二次方程有两正根的条件是 3 3 1 4 1 1 ? ? (a ? b)2 ? ab ? (a 2 ? 100b ? b2 ) ? [a ? (5 ? 2 b )b]? a ? (5 ? 2 b )b] ? 0 [ 9 3 9 9

?a ? (5 ? 2 b )b ? 0 ?a ? (5 ? 2 b )b ? 0 ? ? 即 a ? (5 ? 2 b )b或 ? 或? ?a ? (5 ? 2 b )b ? 0 ?a ? (5 ? 2 b )b ? 0 ? ?
) b b b ∴ 当 a ? ( 5 ? 2 b 或0 < a ? ( 5 - 2 时), 满 足 条 件 的 矩 形 A’B’C’D’ 存 在 ; 当 ( 5? 2 b b ? a ? ( 5 ) ? 2 时,满足条件的矩形 A’B’C’D’不存在。 b b)

三、 (1)∵c=2a+5b, ∴a+b+c=3a+6b=3(a+2b) 又 a、b、c 都是大于 3 的质数,故引(a+b+c), 即存在正整数 n>1(例如 n=3),使 n (a ? b ? c) (2)∵a、b、c 都是大于 3 的质数 若 a ? 1(mod3), b ? 2(mod)3 ,例
c ? 2a ? 5b ? 2 ? 10 ? 0(mod3) ,这与 C 不是 3 的倍数矛盾

∴a、b、c 都不是 3 的倍数

同理, a ? 2(mod 3), b ? 1(mod 3) ,也将导致矛盾 因此,只能 a ? b ? 1(mod 3)或a ? b ? 2(mod 3) , 于是 a ? 2b ? 3a ? 0(mod 3), 从而9 (a ? b ? c) 当 a ? 7, b ? 13时, c ? 2 ? 7 ? 5 ?13 ? 79 为质数,a+b+c=99=9×11; 当 a ? 7, b ? 19时, c ? 2 ? 7 ? 5 ?19 ? 109 为质数,a+b+c=135=9×15;
49

∴在所有 n (a ? b ? c)的n 中,最大为 9

四、论正方形 CDEF 的边长为 x,正方形 KLMN 的边长为 y, 则按题设 x=21,y= 2 110 ,设 BC=a,CA=b,AB=c,则 a2+b2=c2 注意到 ax ? by ? 2( S?CEB ? S?CEA ) ? 2S?ABC ? ab ∴x?
ab ??① a?b a 同理,MB= y ? b

b 又由△AKL∽△ABC 得 AL= y ? a

b a c 2 ? ab 故 c ? AL ? LM ? MB ? x( ? 1 ? ) ? y ? a b ab

y?

abc ??② c ? ab
2

于是

1 1 1 c 1 1 1 2 c2 1 2 1 1 ? 2 ? ( ? )2 ? ( ? )2 ? ( 2 ? ? 2 2)?( 2 ? ? 2)? 2 2 y x c ab a b c ab a b a ab b c

c?

1 1 1 ? 440 441

? 21 440 ? 42 110

将它代入②式,可得 ab ?
a?b ? ab ? 21?22 x

yc 2 ? 212 ?22 c? y

进而

于是 a、b 是二次方程 t 2 ? 21?22 ? 212 ? 22 ? 0 的两根 ∵b>a ∴ a ? 231 ? 63 11 , b ? 231 ? 63 11

50

2004 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(前 5 题每题 6 分,后 5 题每题 8 分,共 7 O 分) 1.若关于 x 的二次方程 x2+(3a-1)x+a+8=0 有两个不相等的实根 x1、x2,且 x1<1,x2>1,则实数 a 的取值范围是 . 2.方程

1 2 3 =3 的解是 ? ? 5? x 4? x 3? x



3.一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的 2 倍;又若这二位数加上 9,则得到的和 恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的 2 倍;原二位数是 4.如图,△ABC 中,CD、CE 分别是 AB 边上高和中线,CE=BE=1,又 CE 的中垂线过点 B, 且交 AC 于点 F,则 CD+BF 的长为 .

5. 如图, 分别以 Rt△XYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF、 BCYX、 DEZY, 若直角边 YZ=1,XZ=2,则六边形 ABCDEF 的面积为 .

6.如图,正方形纸片 ABCD 的面积为 1,点 M、N 分别在 AD、BC 上,且 AM=BN=2/5,将 点 C 折至 MN 上,落在点 P 的位置。折痕为 BQ(Q 在 CD 上),连 PQ,则以 PQ 为边长的正 方形面积为 .

7.三个不同的正整数 a、b、c,使 a+b+c=13 3,且任意两个数的和都是完全平方数,则 a、 b、c 是 . 8.若实数 a、b、c、d 满足 a2+b2+c2+d2=10,则 y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2 的 最大值是 . 9.已知实系数一元二次方程 ax2+2bx+c=O 有两个实根 x1、x2,若 a>b>c,且 a+b+c=0,则 d=|x1-x2|的取值范围为 . 1O. 如图, △ABC 中。 AB=AC, P、 分别在 AC、 上, AP=PQ=QB=BC, 点 Q AB 且 则∠A 的大小是 . 二、(本题 16 分)如图 PQMN 是平行四边形 ABCD 的内接四边形 (1)若 MP∥BC,NQ∥AB,求证:S 四边形 PQMN= (2)若 S 四边形 PQMN=

1 S□ABCD; 2

1 2

□ABCD

,问是否能推出 MP∥Bc 或 NQ∥AB?证明你的结论.

51

三、(本题 l 6 分)设 n 是正整数,d1<d2<d3<d4 是 n 的四个最小的正整数约数,若 n=d12+d22+d32+d42, 求 n 的值.

四、(本题 l 8 分)如图,已知△ABC,且 S△ ABC=1,D、E 分别是 AB、AC 上的动点,BD 与 CE 相交于 点 P,使 SBCDE=

16 S△ BPC,求 S△ DEP 的最大值. 9

52

53

54

55

2003 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题
(2003 年 12 月 7 日 上午 9∶00~11∶00) 解答本试卷不得使用计算器. 一、填空题(本大题 10 小题,前 5 题每题 6 分、后 5 题每题 8 分,共 70 分.) 1、设曲线 C 为函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象,C 关于 y 轴对称的曲线为 C1,C1 关于 x 轴对称
2

的曲线为 C2,则曲线 C2 是函数 y =________的图象. 2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是 1 元。一天学生小王欲购这种铅笔,发现甲、乙两商店都让利优 惠:甲痁实行每买 5 支送 1 支(不足 5 支不送) ,乙店实行买 4 支或 4 支以上打 8.5 折,小王买 13 支这种铅笔,最少需要化_____元。 3、已知实数 a、b、c 满足 a+b+c=0, a ? b ? c ? 0.1 ,则 a ? b ? c 的值是___.
2 2 2 4 4 4

4、已知凸四边形 ABCD 的四边长为 AB=8,BC=4,CD=DA=6,则用不等式表示∠A 大小的范 围是______。 5、在 1,2,3,?,2003 中有些正整数 n,使得 x ? x ? n 能分解为两个整系数一次式的乘积,则
2

这样的 n 共有_____个。 6、设正整数 m,n 满足 m < n,且 ____。 7、数 1,2,3,?, k 按下列方式排列: 1 2
2

1 ? 1 ? ? ? 2 1 ? 1 ,则 m ? n 的值是 m 2 ? m ? m ? 1?2 ? ? m ? 1? n ? n 23

k ?1

k ?2
??

? ?

k 2k
k2

? k ? 1? k ? 1 ? k ? 1? k ? 2

?

任取其中一数,并划去该数所在的行与列;这样做了 k 次后,所取出的 k 个数 的和是___。 8、如图,边长为 1 的正三角形 ANB 放置在边长为 MN=3,NP=4 的正方形 MNPQ 内,且 NB 在边 NP 上。若正三角形在长方形内沿着边 NP、PQ、 QM、MN 翻转一圈后回到原来起始位置,则顶点 A 在翻转过程中形成轨 迹的总长是_____(保留π ) 。

9、如图,△ABC 中,AB=BC=10,点 M、N 在 BC 上,使得 MN=AM=4,∠MAC= ∠BAN,则△ABC 的面积是____。 10、△ABC 中,∠C=3∠A,AB=10,BC=8,则 AC 的长是____。 二、 (本题 16 分)

m , n 均为正整数,若关于 x 的方程 4 x2 ? 2mx ? n ? 0 的两个实数根都大于 1,且
56

小于 2,求 m , n 的值。 三、 (本题 16 分) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M、N 分别在 BC、CD 上,使得△CMN 的周长为 2。求 (1)∠MAN 的大小; (2)△MAN 面积的最小值。

四、 (本题 18 分) 某学生为了描点作出函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,取自变量的 7 个值: x1 ? x2 ? ? ? x7 ,且

x2 ? x1 ? x3 ? x2 ? ?? x7 ? x6 ,分别算出对应的 y 的值,列出下表:
x y x1 51 x2 107 x3 185 x4 285 x5 407 x6 549 x7 717

但由于粗心算错了其中一个 y 值。请指出算错的是哪一个值?正确的值是多少?并说明理由。

57

参考答案
一、1.-ax +bx-c 2.10.95 3.O.005 4.0°<∠A<90° 5.44 7.
2

6.527

1 2 k(k +1) 8.5π 2
2

9.

50 57 19

10.3

二、令 f(x)=4x —2mx+n,则 y=f(x)的图像是开口向上的抛物线,对称轴为 x=

m . 4

58

2002 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛
一、填空题(1~5 题每小题 6 分,6~10 题每小题 8 分,共 70 分) 1.在 2002 当中嵌入一个数码组成五位数 20□02.若这个五位数能被 7 整除,则嵌入的数码“□” 是 . 3 2 2.若实数 a 满足 a <a<a ,则不等式 x+a>1-ax 解为 . 3.如图,一张矩形纸片沿 BC 折叠,顶点 A 落在点 A’处,第二次过 A’ 再 折 叠,使折痕 DE∥BC 若 AB=2,AC=3,则梯形 BDEC 的面积为 . 2 4.已知关于正整数 n 的二次式 y=n +an(n 为实常数).若当且仅当 n=5 时 , y 有最小值,则实数 n 的取值范围是 . 5.如图,在平面直角坐标系中有一个正方形 ABCD,它的 4 个顶点为 A(10, O) 、 B(0, 10)、 C(-10, O)、 D(O, -10), 则该正方形内及边界上共有 个 整 点 (即纵、横坐标都是整数的点). 6.如图,P 为△ABC 形内一点,点 D、E、F 分别在 BC、CA、AB 上.过 A、B、 C 分别 作 PD、PE、PF 的平行线,交对边或对边的延长线于点 X、Y、Z.若

PD 1 PE 1 PF = ? , ? ,则 AX 4 BY 3 CZ
7.若△ABC 的三边两两不等,面积为 和 2,则中线 CF 的长为 8.计算:

15 ,且中线 AD、BE 的长 3

分别为 1

12 22 k2 99 2 ? ? ? ... ? 2 ? 12 ? 100 ? 5000 2 2 ? 200 ? 5000 k 2 ? 100 k ? 5000 99 ? 9900 ? 5000
9.若正数 x、y、z 满足 xyz(x+y+z)=4,则(x+y)(y+z)的最小可能值为 lO. 若关于 x 的方程 x ?
2

14 2 1 则实数 a 的取值范围是 x ? ? c 恰有两个不同的实数解, 2 3
2 2



二、(16 分)已知 p 为质数,使二次方程 x -2px+p -5p-1=0 的两根都是整数.求出 p 的所有可能 值. 三、(16 分)已知△XYZ 是直角边长为 l 的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的 3 个顶点分别在等腰 Rt△ABC(∠C=90°)的三边上.求△ABC 直角边长的最大可能值. 四、(18 分)平面上有 7 个点,它们之间可以连一些线段,使 7 点中的任意 3 点必存在 2 点有线段相 连.问至少要连多少条线段?证明你的结论.

59

四、(1)若 7 个点中,有一点孤立(即它不与其他点连线),则剩下 6 点每 2.点必 须连线,此时至少要连 1 5 条.
60

(2)若 7 点中,有一点只与另一点连线,则剩下 5 点每 2 点必须连线,此时至少要连 11 条. (3)若每一点至少引出 3 条线段,则至少要连 21/2 条线段.由于线段数为整数,故此时至少要 连 1 1 条. (4)若每点至少引出 2 条线段,且确有一点(记为 A)只引出 2 条线段 AB、AC,则不与 A 相连的 4 点每 2 点必须连线,要连 6 条.由 B 引出的线段至少有 2 条,即除 BA 外还至少有一条.因此,此时 至少要连 6+2+1=9 条.图中所给出的是连 9 条线的情况.综合(1)~(4),至少要连 9 条线段,才能 满足要求.

61

2000 年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分.) 1.如图,已知□ABCD 中,过点 B 的直线顺次与 AC、AD 及 CD 的延长线相交于点 E、F、 G.若 BE=5,EF=2,则 FG 的长是 . 2.有四个底面都是正方形的长方体容器 A、B、C、D,已知 A、B 的底面边长均为 3, C、D 的底面边长均为 a,A、C 的高均为 3,B、D 的高均为 a,在只知道 a≠3,且不考 虑容器壁厚度的条件下,可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3 3,若 n 的十进位制表示为 99??9(20 个 9),则 n 的十进位制表示中含有数码 9 的个数是 . 4.在△ ABC 中,若 AB=5,BC=6,CA=7,H 为垂心,则 AH 的长为 . 5.若直角三角形两直角边上中线的长度之比为 m,则 m 的取值范围是 . 6.若关于 x 的方程|1-x|=mx 有解,则实数阴的取值范围是 7.从 1 000 到 9 999 中,四个数码各不相同,且千位数与个位数之差的绝对值为 2 的四位数有 个. 8.方程

1 1 1 3 ? - 2 ? 的整数解(x,y)= x y xy 4

9.如图,正△ABC 中,点 M、N 分别在 AB、AC 上,且 AN=BM,BN 与 CM 相交于点 O.若 S△ABC=7,S△OBC=2 则

BM = BA
x ? 100 =y。则 y 的最大值为

10.设 x、y 都是正整数,且使 x - 116 ?

二、(16 分)求所有满足下列条件的四位数:能被 111 整除,且除得的商等于该四位数的各位数 之和. 三、(16 分)(1)在 4×4 的方格纸中,把部分小方格涂成红色,然后画去其中 2 行与 2 列.若无 论怎样画,都至少有一个红色的小方格没有被画去,则至少要涂多少个小方格?证明你的结论. (2)如果把上题中的“4×4 方格纸”改成“n×n 的方格纸(n≥5)” ,其他条件不 变,那么,至少要涂多少个小方格?证明你的结论 四、(18 分)如图,ABCD 是一个边长为 l 的正方形,U、V 分别是 AB、CD 上的点, AV 与 DU 相交于点 P,BV 与 CU 相交于点 Q.求四边形 PUQV 面积的最大值.

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