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第二章2.2-2.2.4课后知能检测


一、选择题 3 2 1.若点(1,a)到直线 x-y+1=0 的距离是 2 ,则实数 a 为( A.-1 C.-1 或 5 【解析】 B.5 D.-3 或 3 )

由点到直线距离公式:

|1-a+1| 3 2 = 2 , 2 ∴a=-1 或 5,故选 C. 【答案】 C )

2.到直线 3x-4y-11=0 的距离

为 2 的直线方程为( A.3x-4y-1=0 B.3x-4y-1=0 或 3x-4y-21=0 C.3x-4y+1=0 D.3x-4y-21=0 【解析】 设所求的直线方程为 3x-4y+c=0.由题意 得 c=-1 或 c=-21.故选 B. 【答案】 B

|c-(-11)| =2,解 32+42

3.已知直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离 是( ) A.4 5 13 C. 26 【解析】 2 13 B. 13 7 13 D. 26 由两直线平行可知

3 2 -3 6=m≠ 1 ,故 m=4.

1 又方程 6x+4y+1=0 可化简为 3x+2y+2=0, ?1 ? ?2-(-3)? ? ? 7 13 ∴平行线间的距离为 = 26 .故选 D. 2 2 2 +3 【答案】 D )

4.直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程是( A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 【解析】

法一:设所求直线的方程为 2x+3y+C=0,由题意可知

|2-3-6| |2-3+C| = . 22+32 22+32 ∴C=-6(舍)或 C=8. 故所求直线的方程为 2x+3y+8=0. 法二:令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称 点为(2-x0,-2-y0),此点在直线 2x+3y-6=0 上,代入可得所求直线方程为 2x+3y+8=0. 【答案】 D

5.已知点 A(0,2)、B(2,0).若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( A.4 【解析】 B.3 C.2 ) D.1

由题意可得|AB|=2 2,直线 AB 的方程为 x+y-2=0.

1 由于△ABC 的面积为 2, 则 AB 边上的高 h 满足方程 ×2 2h=2, 即 h= 2. 2 |t+t2-2| 设点 C(t,t ),则由点到直线的距离公式得 2= ,即|t2+t-2|=2, 2
2

即 t2+t-4=0 或 t2+t=0, 这两个方程各自有两个不相等的实数根, 故满足题意 的点 C 有 4 个. 【答案】 二、填空题 A

6.(2014· 保定高一检测)过点 A(-3,1)的直线中,与原点距离最远的直线方 程为________. 【解析】 线, ∵kOA= 1-0 1 =-3,∴要求直线的斜率 k=3, -3-0 设原点为 O,要求的直线为过点 A(-3,1),且与 OA 垂直的直

其方程为:y-1=3(x+3),即 3x-y+10=0. 【答案】 3x-y+10=0

7.与三条直线 l1:x-y+2=0,l2:x-y-3=0,l3:x+y-5=0 可围成正 方形的直线方程为________. 【解析】 其距离 d= 因为 l1∥l2, |2-(-3)| 5 =2 2. 2

所求直线 l4∥l3, 设 l4:x+y+c=0, 则 |c+5| 5 =2 2, 2

所以 c=0 或-10, 所以所求直线方程为 x+y=0 或 x+y-10=0. 【答案】 x+y-10=0 或 x+y=0

8.已知 x+y-3=0,则 (x-2)2+(y+1)2的最小值为________. 【解析】 设 P(x , y) , A(2 ,- 1) ,且点 P 在直线 x + y - 3 = 0 上,

(x-2)2+(y+1)2=|PA|. |PA|的最小值为点 A(2, -1)到直线 x+y-3=0 的距离 d= 2. 【答案】 三、解答题 9.如图 2-2-6,已知三角形的顶点为 A(2,4),B(0,-2),C(-2,3), 求: 2 |2+(-1)-3| = 12+12

图 2-2-6 (1)AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (2)求△ABC 的面积. y-1 【解】 (1)AB 中点 M 的坐标是 M(1,1),中线 CM 所在直线的方程是 3-1 x-1 = , -2-1 即 2x+3y-5=0. (2)|AB|= (0-2)2+(-2-4)2=2 10,

直线 AB 的方程是 3x-y-2=0, 点 C 到直线 AB 的距离是 d= |3·(-2)-3-2| 11 = , 10 32+(-1)2

所以△ABC 的面积是 1 S=2|AB|·d=11. 10.已知一直线经过点(1,2),并且点(2,3)和(0,-5)到该直线的距离相等, 求此直线的方程. 【解】 假设所求直线的斜率存在,

则可设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0. 由题设,得 |2k-3-k+2| |0+5-k+2| = , 1+k2 1+k2

即|k-1|=|k-7|,解得 k=4. 此时直线方程为 4x-y-2=0. 当所求直线的斜率不存在时,方程为 x=1,符合题意. 故所求直线的方程为 4x-y-2=0 或 x=1.

11.已知直线 l 经过点 A(2,4),且被平行直线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y -1=0 所截得的线段的中点 M 在直线 x+y-3=0 上.求直线 l 的方程. 【解】 法一:∵点 M 在直线 x+y-3=0 上,

∴设点 M 坐标为(t,3-t), 则点 M 到 l1,l2 的距离相等, 即 |t-(3-t)+1| |t-(3-t)-1| = , 2 2

3 ?3 3? 解得 t=2,∴M?2,2?. ? ? 又 l 过点 A(2,4), 3 y-2 3 x-2

由两点式得

3= 3,即 5x-y-6=0, 4-2 2-2

故直线 l 的方程为 5x-y-6=0. 法二:设与 l1、l2 平行且距离相等的直线 l3:x-y+C=0, 由两平行直线间的距离公式得 解得 C=0,即 l3:x-y=0. 由题意得中点 M 在 l3 上,点 M 在 x+y-3=0 上. 3 x = ? ? 2, ?3 3? ?x-y=0, 解方程组? 得? ∴M?2,2?. ? ? 3 ?x+y-3=0, y = , ? ? 2 又 l 过点 A(2,4), 故由两点式得直线 l 的方程为 5x-y-6=0. 法三:由题意知直线 l 的斜率必存在, 设 l:y-4=k(x-2), 2k-3 ? x = , k-1 ?y-4=k(x-2), ? 由? 得? 3k-4 ?x-y+1=0, y= ? ? k-1 . |C-1| |C+1| = , 2 2

2k-5 ? x= , ? k-1 ?y-4=k(x-2), 由? 得? k-4 ?x-y-1=0, y= ? ? k-1. ∴直线 l 与 l1,l2 的交点分别为 ?2k-3 3k-4? ?2k-5 k-4? , , ? ?,? ?. k-1 ? ? k-1 k-1? ? k-1 ?2k-4 2k-4? , ?. ∵M 为中点,∴M? ? k-1 k-1 ? 又点 M 在直线 x+y-3=0 上, ∴ 2k-4 2k-4 + -3=0,解得 k=5. k-1 k-1

故所求直线 l 的方程为 y-4=5(x-2), 即 5x-y-6=0.


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