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高中数学竞赛讲义十四


高中数学竞赛讲义(十四)
──极限与导数

一、基础知识

1.极限定义:(1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|<ε 成立(A 为常数),则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限, 记为 称右极限。类似地 ,另外 =A 表示 x 大于 x

0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,

表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。

2.极限的四则运算:如果

f(x)=a,

g(x)=b,那么

[f(x)±g(x)]=a±b,

[f(x)?g(x)]=ab,

3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且 称 f(x)在 x=x0 处连续。

f(x)存在,并且

f(x)=f(x0),则

4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在[a,b]上有 最大值和最小值。

5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δ x 时(Δ x

充分小),因变量 y 也随之取得增量Δ y(Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)).若 在 x0 处可导,此极限值称为 f(x)在点 x0 处的导数(或变化率),记作

存在,则称 f(x) (x0)或 或

, 即

。 由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必要

条件。若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何 意义是:f(x)在点 x0 处导数 (x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。

6.几个常用函数的导数:(1) 数);(3) (4)

=0(c 为常数);(2) ;(5) ;(6)

(a 为任意常 ;(7)

;(8)

7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则

(1)

;(2)

;(3)

(c 为常数) ; (4)

; (5)



8.复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= 点 u(u= = (x))处可导,则复合函数 y=f[ .

(x),已知

(x)在 x 处可导,f(u)在对应的 (x)]

(x)]在点 x 处可导,且(f[

9.导数与函数的性质:(1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续;(2)若对 一切 x∈(a,b)有 则 f(x)在(a,b)单调递减。 , 则 f(x)在(a,b)单调递增; (3) 若对一切 x∈(a,b)有 ,

10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则

11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0-δ ,x0+δ )内可导,(1) 若当 x∈(x-δ ,x0)时 (2)若当 x∈(x0-δ ,x0)时 得极大值。 , 当 x∈(x0,x0+δ )时 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 , 则 f(x)在 x0 处取得极小值; ,则 f(x)在 x0 处取

12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ ,x0+δ )内一阶可导,在 x=x0 处 二阶可导,且 (2)若 。(1)若 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值;

13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b),则存 在ξ ∈(a,b),使

[证明]

若当 x∈(a,b), f(x)≡f(a), 则对任意 x∈(a,b),

.若当 x∈(a,b)

时,f(x)≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续,所以 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有 一个不等于 f(a),不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m,则 c∈(a,b),且 f(c)为最大值,故 ,综上得证。

14.Lagrange 中值定理:若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ ∈(a,b),

使

[证明]

令 F(x)=f(x)-

,则 F(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)上可导,

且 F(a)=F(b),所以由 13 知存在ξ ∈(a,b)使

=0,即

15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数,(1)如果对任意 x∈I, ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的;(2)如果对任意 x∈I, ,则

y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。

16.琴生不等式:设α 1,α 2,…,α n∈R ,α 1+α 2+…+α n=1。(1)若 f(x)是[a,b]上的 凸函数,则 x1,x2,…,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+…+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).

+

二、方法与例题

1.极限的求法。

例1

求下列极限:(1)

;(2)

;(3)

;(4)

[解](1)

=



(2)当 a>1 时,

当 0<a<1 时,

当 a=1 时,

(3)因为



所以

(4)

例2

求下列极限:(1)

(1+x)(1+x )(1+

2

)…(1+

)(|x|<1);

(2)

;(3)



[解]

(1)

(1+x)(1+x )(1+

2

)…(1+

)

=

(2)

=

(3)

=

2.连续性的讨论。

例3

设 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且恒满足 f(x+1)=2f(x),又当 x∈[0,1)时,
2

f(x)=x(1-x) ,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。

[解]

当 x∈[0,1)时,有 f(x)=x(1-x) ,在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t,则 x=t-1,当
2 2 2

2

x∈[1,2)时,利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1),因为 t-1∈[0,1),再由 f(x)=x(1-x) 令 x+1=t,则当 t∈[2,3)时,有 f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t) .从而
2

得 f(t-1)=(t-1)(2-t) ,从而 t∈[1,2)时,有 f(t)=2(t-1)?(2-t) ;同理,当 x∈[1,2)时,

f(x)=

所以 以 f(x)= f(x)=f(2)=0,所以 f(x)在 x=2 处连续。

,所

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

[解]

因为点(2,0)不在曲线上,设切点坐标为(x0,y0),则

,切线的斜率为

,所以切线方程为 y-y0=

,即

。又因为此

切线过点 (2,0) , 所以 即 x+y-2=0.

, 所以 x0=1, 所以所求的切线方程为 y=-(x-2),

4.导数的计算。

例5

求下列函数的导数: (1) y=sin(3x+1); (2)

; (3) y=e

cos2x



(4)

;(5)y=(1-2x) (x>0 且

x

)。

[解]

(1)

3cos(3x+1).

(2)

(3)

(4)

(5)

5.用导数讨论函数的单调性。

例6

设 a>0,求函数 f(x)=

-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。

[解] x +(2a-4)x+a >0;
2 2 2

,因为 x>0,a>0,所以 x +(2a-4)x+a+<0.

(1)当 a>1 时,对所有 x>0,有 x +(2a-4)x+a >0,即 递增;(2)当 a=1 时,对 x≠1,有 x +(2a-4)x+a >0,即
2 2

2

2

(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调 ,所以 f(x)在(0,1)

内单调递增,在(1,+∞)内递增,又 f(x)在 x=1 处连续,因此 f(x)在(0,+∞)内递增; (3) 当 0<a<1 时,令 因此,f(x)在(0,2-a2-a(2-a<x<2-a+ ,2-a+ ,即 x +(2a-4)x+a >0,解得 x<2-a)内单调递增,在(2-a+ 时,x +(2a-4)x+a2<0,即 )内单调递减。
2 2 2

或 x>2-a+



,+∞)内也单调递增,而当 ,所以 f(x)在

6.利用导数证明不等式。

例7



,求证:sinx+tanx>2x.

[证明]

设 f(x)=sinx+tanx-2x,则

=cosx+sec x-2,当

2

时,

(因为 0<cosx<1),所以

=cosx+sec x-2=cosx+

2

.又 f(x)在

上连续, 所以 f(x)在

上单调

递增,所以当 x∈

时,f(x)>f(0)=0,即 sinx+tanx>2x.

7.利用导数讨论极值。

例8

设 f(x)=alnx+bx +x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求 a 与 b 的值,并指出这

2

时 f(x)在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。

[解]

因为 f(x)在(0,+∞)上连续,可导,又 f(x)在 x1=1,x2=2 处取得极值,所以

,又

+2bx+1,所以

解得

所以

.

所以当 x∈(0,1)时,

,所以 f(x)在(0,1]上递减;

当 x∈(1,2)时,

,所以 f(x)在[1,2]上递增;

当 x∈(2,+∞)时,

,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。

综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。

例9 值。

设 x∈[0,π ],y∈[0,1], 试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小

[解]

首先,当 x∈[0,π ],y∈[0,1]时,

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y) x

2

=(1-y) x

2

,令 g(x)=

,



时,因为 cosx>0,tanx>x,所以





时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以



又因为 g(x)在(0,π )上连续,所以 g(x)在(0,π )上单调递减。

又因为 0<(1-y)x<x<π ,所以 g[(1-y)x]>g(x),即



又因为

,所以当 x∈(0,π ),y∈(0,1)时,f(x,y)>0.

其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π 时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π ?0.

当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx?0.

综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π 且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。

三、基础训练题

1.

=_________.

2.已知

,则 a-b=_________.

3.

_________.

4.

_________.

5.计算

_________.

6.若 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且

存在,则

_________.

7.函数 f(x)在(-∞,+∞)上可导,且 _________.

,则

8.若曲线 f(x)=x -x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 坐标为_________.

4

9.函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________.

10.函数

的导数为_________.

11.若曲线

在点

处的切线的斜率为

,求实数 a.

12.求 sin29 的近似值。

0

13.设 0<b<a<

,求证:

四、高考水平练习题

1.计算

=_________.

2.计算

_________.

3.函数 f(x)=2x -6x +7 的单调递增区间是_________.。

3

2

4.函数

的导数是_________.

5.函数 f(x)在 x0 邻域内可导,a,b 为实常数,若

,则

_________.

6.函数 f(x)=

e (sinx+cosx),x

x

的值域为_________.

7.过抛物线 x =2py 上一点(x0,y0)的切线方程为_________.

2

8.当 x>0 时,比较大小:ln(x+1) _________x.

9.函数 f(x)=x -5x +5x +1,x∈[-1,2]的最大值为_________,最小值为_________.

5

4

3

10. 曲线 y=e (x?0)在点 M(t,e )处的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 S(t), 则 S(t)的最大值为_________.

-x

-t

11.若 x>0,求证:(x -1)lnx?(x-1) .

2

2

12.函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数

是减函数,且

>0,x0∈(0,+

∞).y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程,另设 g(x)=kx+m,(1)用 x0,f(x0), 表示 m;(2)证明:当 x∈(0,+∞)时,g(x)?f(x);(3)若关于 x 的不

等式 x +1?ax+b? 足的关系。

2

在(0,+∞)上恒成立,其中 a,b 为实数,求 b 的取值范围及 a,b 所满

13.设各项为正的无穷数列{xn}满足 lnxn+

,证明:xn?1(n∈N+).

五、联赛一试水平训练题

1.设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0?

只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1),an=1},

Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则

_________.

2.若(1-2 ) 展开式的第 3 项为 288,则

x 9

_________.

3.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,

,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为_________.

4.曲线



的交点处的切线夹角是_________.

5.已知 a∈R ,函数 f(x)=x e 的单调递增区间为_________.

+

2 ax

6.已知

在(a,3-a )上有最大值,则 a 的取值范围是_________.

2

7.当 x∈(1,2]时,f(x)= _________.

恒成立,则 y=lg(a -a+3)的最小值为

2

8.已知 f(x)=ln(e +a)(a>0),若对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式 |m-f (x)|+ln[
-1

x

]<0 恒成立,则实数 m 取值范围是_________.

9.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大值;(2)设 0<a<b,

证明:0<g(a)+g(b)-

<(b-a)ln2.

10.(1)设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1),求 f(x)的最小值;(2)设正数 p1,p2,…, 满足 p1+p2+p3+…+ =1,求证:p1log2p1+p2 log2p2+…+ log2 ?-n.

11.若函数 gA(x)的定义域 A=[a,b),且 gA(x)= 正实数,且 a<b,(1)求 gA(x)的最小值;

,其中 a,b 为任意的

(2)讨论 gA(x)的单调性;

(3)若 x1∈Ik=[k ,(k+1) ],x2∈Ik+1=[(k+1) ,(k+2) ],证明:

2

2

2

2

六、联赛二试水平训练题

1.证明下列不等式:(1)



(2)



2.当 0<a?b?c?d 时,求 f(a,b,c,d)=

的最小值。

3.已知 x,y∈(0,1)求证:x +y >1.

y

x


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