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函数零点问题


浅析高考中的函数零点问题
根据函数零点的定义:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数
y ? f ( x)(x ? D) 的零点。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点的

横坐标 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。

围绕三者之间的关系,在高考数学中函数零点的题型主要① 函数的零点的分布;②函数的零点的个数问题;③利用导数结合图像的变动将两个函数的图 像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析: 类型一:函数零点的分布
1 例 1: (09 天津)设函数 f ( x) ? x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3 1 A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 e 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e

解析: 解决零点的分布问题, 主要依据零点的存在性定理: 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f ?a ?. f ?b? ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有 零点。既存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根。 由 题 得
f (1) ? 1 e 1 1 , f ?e ? ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ?1? 0 3 3 e 3e , 所 以
f ?x ?



?1, e?



f `( x ) ?

1 1 x?3 ? ? ,令 f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ;令 f `( x ) ? 0 得 0 ? x ? 3 ; ,故知函数 f ( x ) 在 3 x 3x

?1 ? 区间 (0,3) 上为减函数,在区间 ( 3,? ?) 为增函数,所以 y ? f ( x) 在区间 ? ,1? 内无零点,故选 ?e ?

择 D。
9 的零点所在的大致区间是( x

变式:函数 f ? x ? ? lg x ? A ?1,2? B ?2,5?



C ?5,10?

D ?10,???
9 9 ? 0 ,f ?5? ? lg 5 ? ? 0 , 2 5

由零点的存在性定理: 我们只需求得 f ?1? ? ?9 ? 0 ,f ?2? ? lg 2 ?

f ?10 ? ? lg10 ?

9 9 ? 1? ? 0 ,故选 C. 10 10

类型二:函数零点的个数 例 2:(2009 山东)若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 . 解析: 根据函数的零点与方程的根、 函数图像三者之间的关系: 方程 f ( x) ? 0 的实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标 ? 函数 y ? f ( x) 的零点。我们可将上述函数的零点 转换成两个函数的图像的交点个数问题。即: , 由图象可知当 0 ? a ? 1 时 , 当 a ? 1 时 , 因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象过点 (0,1), 而直线
y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范

围是 {a | a ? 1} . 我们可将方法简单总结如下: 1、构造函数(依据:构造的两个函数我们能准确的做出它的图像) 设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零 点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点 2、通过图像描绘题意:
y 1 1 0 0 x x y

3、依图得条件——将形转化成数 当 0 ? a ? 1 时(如图 1), 两函数只有一个交点,不符合;当 a ? 1 时(如图 2),因为函数

y ? a x (a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所 以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} . 变式: (08 湖北卷 13)方程 2? x ? x 2 ? 3 的实数解的个数为 .

1 解析:由上述方法我们可将方程转化成 ( ) x ? ? x 2 ? 3 的解的个数, 2

?1? 令 f ?x ? ? ? ? , g ?x ? ? ? x 2 ? 3 从而将原题转化成函数 y ? f ?x?, y ? g ?x? 的交点个数,如图 ? 2?
所示: 由图可知, 原方程有 2 个解。
1 0 x y 3

x

类型三:两个函数图像的交点 例 3: (2009 陕西卷节选) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0 , 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值, 直线 y=m 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围。 解析:因为 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,?a ? 1. 所以 f ?x ? ? x 3 ? 3x ? 1 令 h?x? ? f ?x? ? m ? x 3 ? 3x ? 1 ? m 则 h??x? ? 3x 2 ? 3 ,由 f ' ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。 则 x, h??x ?, h?x ? 的变化如下表:

x
h??x ?

?? ?,?1?
+ 单增

?1

(?1,1)

1

?1,???

0 极大值

单减

0

+

h?x ?

极 小 单增 值

当 x ? ?? 时, f ?x ? ? ?? ;当 x ? ?? 时, f ?x ? ? ??
-1

y

由上表可作出函数的草图: 由图像知,若直线 y=m 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点

0

1

x

?h?? 1? ? 3 ? 2 ? m ? 0 则: ? 解得: ? 3 ? m ? 1 ?h?1? ? ?3 ? m ? 0
变式: (1)若有两个交点呢?
-1

y

0

1

x

?h?? 1? ? 1 ? m ? 0 ?h?? 1? ? 1 ? m ? 0 则: ? 或? ?h?1? ? ?3 ? m ? 0 ?h?1? ? ?3 ? m ? 0
(2)若有一个交点呢?

?h?? 1? ? 3 ? 2 ? m ? 0 ? ?h?1? ? ?3 ? m ? 0 ?h?? 1? ? 3 ? 2 ? m ? 0 或? ?h?1? ? ?3 ? m ? 0

y -1 0 1 x

二、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各
表(每种情况对应的均是充要条件) 表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)

分 布 情 况

两个负根即两根都 小于 0

两个正根即两根都大 于0

一正根一负根即一个根小于 0,一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?
大 致 图 象

? x1 ? 0, x2 ? 0?

( a?0 ) 得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

大 致 图 象 ( a?0 ) 得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ?0? ? 0
? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ?0? ? 0
? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

f ?0? ? 0

论 a )

a ? f ?0? ? 0

分 布 情 况 大 致 图 象 ( a?0 ) 得 出 的 结 论

两根都小于 k 即

两根都大于 k 即

一个根小于 k , 一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

k

k

k

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

大 致 图 象 ( a?0 )

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论 分 布 情 况 大 致 图 象 ( a?0 )

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a )

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0
两根有且仅有一根在

a ? f ?k ? ? 0

两根都在 ?m, n ?内

?m, n?内(图象有两种情
况,只画了一种)

一根在 ?m, n ? 内,另一根在

? p, q ?内, m ? n ?

p?q

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

大 致 图 象 ( a?0 )

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?
综 合 结 论 ( 不 讨 论

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a )

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

例 1、已知二次方程 ? 2m ?1? x2 ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。

例 2、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1, 一个小于 1,求实数 m 的取值范围。

例 3、已知函数 f(x)=x2+(a2-1)x+a-2 的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求 a 的取值范 围。

例 4、已知关于 x 的方程 ax2-2(a+1)x+a-1=0,探究 a 为何值时: (1)方程的两根都大于 1 (2)方程的一个根大于 1,一个根小于 1

例 5.若关于 x 的方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两实根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之 间,求实数 k 的取值范围

作业: 1.函数 f ( x) ? ? x2 ? 4x ? 1的零点为( A、 ?1 ?
2 2

) C、 ?1 ? )
6 2

B、 ?1 ?

6 2

D、不存在

2.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x 的零点个数为( A、0 B、1 C、2 D、3

3. 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点一定位于区间( A. (1, 2) 4. 求证方程 3x ? B. (2 , 3)

). D. (4, 5)

C. (3, 4)

2? x 在 (0,1) 内必有一个实数根. x ?1

5. (1)若方程 2ax 2 ? 1 ? 0 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是

. .

) 0 ? , (2) 已知函数 f ( x) ? 3mx ? 4 , 若在 [?2,0] 上存在 x0 , 使 f ( x0 则实数 m 的取值范围是

6. 已知关于 x 的方程 x2+2mx+2m+3=0 的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数 m 的取 值范围.

7.

已知函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 分别满足下列条件,求实数 a 的取值范围. (1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.

8. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有三个零点,分别是 0、1、2,如图所示, 求证:b<0.

参考答案:1.C

2.D

3.易知函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 内是增函数. ∵ f (1) ? ln1 ? 2 ? 6 ? ?4 ? 0 , f (2) ? ln 2 ? 4 ? 6 ? ln 2 ? 2 ? 0 , f (3) ? ln 3 ? 6 ? 6 ? ln 3 ? 0 . ∴ f (2) f (3) ? 0 ,即函数 f ( x) 的零点在区间(2,3). 所以选 B. 4. 证明:设函数 f ( x) ? 3x ? 函数. 而 f (0) ? 30 ? 2 ? ?1 ? 0 , f (1) ? 31 ? ? ? 0 ,即 f (0) f (1) ? 0 ,说明函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有 零点,且只有一个. 所以方程 3x ?
2? x 在 (0,1) 内必有一个实数根. x ?1 1 2 5 2 2? x . 由函数的单调性定义,可以证出函数 f ( x) 在 (?1, ?? ) 是减 x ?1

点评:等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想,它是将不熟悉的问题转化 为熟悉的问题,每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化 . 此题可变式为研究方程
3x ? 2? x x ? 1 的实根个数.

5. 解: (1)设函数 f ( x) ? 2ax2 ? 1 ,由题意可知,函数 f ( x) 在 (0,1) 内恰有一个零点. ∴ f (0) f (1) ? ?1? (2a ? 1) ? 0 , 解得 a ? . (2)∵在 [?2,0] 上存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0 , 则 f (?2) f (0) ? 0 , ∴ (?6m ? 4) ? (?4) ? 0 ,解得 m ? ? . 所以, 实数 m 的取值范围是 (??, ? ] . 点评:根的分布问题,实质就是函数零点所在区间的讨论,需要逆用零点存在性定理, 转化得到有关参数的不等式
2 6. 解:令 f ( x) ? x ? 2mx ? 2m ? 3 有图像特征可知方程 f(x)=0 的两根都在(0,2)内需满

1 2

2 3

2 3

足的条件是

35 ? m ? ?1 解得 4 。 ?

7. 因为函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 的零点个数不易讨论,所以可转化为方程 |x2-2x-3|-a=0 根的个数来讨论,即转化为方程|x2-2x-3|=a 的根的个数 问题,再转化为函数 f(x)=|x2-2x-3|与函数 f(x)=a 交点个数问题.

解: 设 f(x)=|x2-2x-3|和 f(x)=a 分别作出这两个函数的图象(图 3-1-1-5), 它们交点的个数, 即函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 的零点个数. (1)若函数有两个零点,则 a=0 或 a>4. (2)若函数有三个零点,则 a=4. (3)函数有四个零点,则 0<a<4.

8.证:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0. 所以 a= ?
b 2 b b ,c= ? b.所以 f(x)= ? x(x2-3x+2)= ? x(x-1)(x-2). 3 3 3 3

当 x<0 时,f(x)<0,所以 b<0. 证法二:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 f(x)=ax(x-1)(x-2). 当 x>2 时,f(x)>0,所以 a>0.比较同次项系数,得 b=-3a.所以 b<0.


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