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广西柳州市2015届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷


广西柳州市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.在复平面内,复数 z= A.第一象限 B.第二象限 对应的点位于下列哪个象限( C.第三象限 ) C.?x0∈R,|x0|+1<0 D.?x∈R,|x|+1≤0 ) D.第四象限

2.设命题 p:?x∈R,|x|+1>0,则¬p 为(

A.?x0∈R,|x0|+1>0 B.?x0∈R,|x0|+1≤0

3.采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,…, 1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8.抽到的 50 人中,编 号落入区间[1,400]的人做问卷 A,编号落入区间[401,750]的人做问卷 B,其余的人做问 卷 C.则抽到的人中,做问卷 C 的人数为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 4.某程序框图如图所示,若 a=3,则该程序运行后,输出的 x 的值为( )

A.33

B.31

C.29 个单位得到的,则

D.27 等于( D.﹣1 )

5.设 g(x)是将函数 f(x)=cos2x 向左平移 A.1 B.

C .0

6.若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为 3,3,2 的三角形,则该圆锥的表面积是

( A.π

) B.2π C.3π D.4π )

7.在区间(0, A.

)上随机取一个数 x,使得 0<tanx<1 成立的概率是( B. C. D.

8.已知 与 是两个互相垂直的单位向量,若 满足( ﹣ )?( ﹣ )=0,则| |的最大 值为( A.2 ) B. C .3 D. )

9.若△ ABC 为钝角三角形,三边长分别为 2,3,x,则 x 的取值范围是( A. D. B. C.

10.已知三棱锥 S﹣ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球 的半径为( ) A.3 B.6 C.36 D.9

11.已知函数

,则方程 f(2x +x)=a(a>2)的根的个数不可能为

2

( ) A.3 12. 过点 (

B.4 ) 引直线 l 与曲线 y=

C .5

D.6

相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 当△ ABO ) C. D.

的面积取得最大值时,直线 l 的斜率等于( A. B.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知集合 A={x|x ﹣4>0},B={x|2 < },则 A∩B=__________.
2 x

14.已知 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=2x+y 的最大值为__________.

15.已知点 P 是双曲线

﹣y =1(a>0,b>0)上的动点,F1,F2 分别是其左、右焦点,

2

若|PF1|=|PF2|+2,则此双曲线的渐近线方程是__________. 16.设 x∈R,若函数 f(x)为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f[f(x)﹣e ]=e+1 成 立,则 f(2)的值为__________.
x

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 2 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=n +n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= +2an﹣1, (n∈N )求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

18.某市为了了解市民对本市文明建设的满意程度,通过问卷调查了学生、在职人员、退休 人员共 250 人,结果如表: 学生 在职人员 退休人员 满意 x y 78 不满意 5 z 12 若在职人员中随机抽取 1 人,恰好抽到学生的概率为 0.32. (1)求 x 的值; (2)若 y≥70,z≥2,求市民对市政管理满意度不小于 0.9 的概率. (注:满意度= )

19.如图,四边形 ABCD 与 A′ABB′都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A′A 的中点,AA′⊥平 面 ABCD. (1)求证:A′C∥平面 BDE; (2)求体积 VA′﹣ABCD 与 VE﹣ABD 的比值.

20.已知函数 f(x)=ax ﹣blnx 在点(1,f(1) )处的切线为 y=2. (1)求实数 a,b 的值;

2

(2)是否存在实数 m,当 x∈(0,1]时,函数 g(x)=f(x)﹣2x +m(x﹣1)的最小值为 0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

2

21.已知椭圆

=1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 斜率为 k 的直线 l 过点 F, 且与椭圆交于 A, B 两点, P 为直线 x=3 上的一点, 若△ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程.

四、选做题,请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,A,B,C,D 四点共圆,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. (1)若 EA=2ED,EB=3EC,求 的值;

(2)若 EF∥CD,求证:线段 FA,FE,FB 成等比数列.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 已知: 直线 l 的参数方程为 (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. (t 为参数) , 曲线 C 的极坐标方程为: ρ cos2θ=1.
2

选修 4-5:不等式选讲 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a(其中 a>0) . (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围.

广西柳州市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)

1.在复平面内,复数 z= A.第一象限 B.第二象限

对应的点位于下列哪个象限( C.第三象限

) D.第四象限

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 所对应的点的坐标得答案. 解答: 解:∵z= = = ,

∴复数 z=

对应的点的坐标为(

) ,位于第三象限.

故选:C. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题. 2.设命题 p:?x∈R,|x|+1>0,则¬p 为( A.?x0∈R,|x0|+1>0 B.?x0∈R,|x0|+1≤0 ) C.?x0∈R,|x0|+1<0 D.?x∈R,|x|+1≤0

考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解答: 解: 全称命题的否定是特称命题, 所以, 命题 p: ?x∈R, |x|+1>0, 则¬p 为: ?x0∈R, |x0|+1≤0. 故选:B. 点评:本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 3.采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,…, 1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8.抽到的 50 人中,编 号落入区间[1,400]的人做问卷 A,编号落入区间[401,750]的人做问卷 B,其余的人做问 卷 C.则抽到的人中,做问卷 C 的人数为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 考点:系统抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:由题意可得抽到的号码构成以 8 为首项、以 20 为公差的等差数列,求得此等差数列 的通项公式为 an,由 751≤an≤1000 求得正整数 n 的个数,即为所求. 解答: 解:由 1000÷50=20,故由题意可得抽到的号码构成以 8 为首项、以 20 为公差的等 差数列, 且此等差数列的通项公式为 an=8+(n﹣1)20=20n﹣12. 由 751≤20n﹣12≤1000 解得 38.2≤n≤50.6. 再由 n 为正整数可得 39≤n≤50,且 n∈Z, 故做问卷 C 的人数为 12,

故选 A. 点评:本题主要考查等差数列的通项公式,系统抽样的定义和方法,属于基础题. 4.某程序框图如图所示,若 a=3,则该程序运行后,输出的 x 的值为( )

A.33

B.31

C.29

D.27

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据框图的流程依次计算运行的结果,直到不满足条件 n≤3,计算输出 x 的值. 解答: 解:由程序框图知:当 a=3 时,第一次循环 x=2×3+1=7,n=1+1=2; 第二次循环 x=2×7+1=15,n=2+1=3; 第三次循环 x=2×15+1=31,n=3+1=4. 不满足条件 n≤3,跳出循环体,输出 x=31. 故选:B. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图, 根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此 类问题的常用方法.

5.设 g(x)是将函数 f(x)=cos2x 向左平移 A.1 B. C .0

个单位得到的,则 D.﹣1

等于(

)

考点:函数的值;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:根据函数图象的平移首先得到函数 g(x)的解析式,然后直接把 案. 代入即可得到答

解答: 解:将函数 f(x)=cos2x 向左平移 即 g(x)= 所以 g( )= ,

个单位得:f(x+

)=





故选 D. 点评:本题考查了函数图象的平移问题,函数图象在 x 轴上的平移遵循左加右减的原则,是 基础题. 6.若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为 3,3,2 的三角形,则该圆锥的表面积是

(

) A.π B.2π C.3π D.4π

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:圆锥的底面直径为 2,母线为 3,根据圆锥的表面积=底面直径为 2 的圆的面积+圆锥 的侧面积计算即可. 解答: 解:由已知,圆锥的底面直径为 2,母线为 3, 则这个圆锥的表面积是 ×2π×3+π?1 =4π. 故选:D. 点评:本题考查由三视图求几何体的表面积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几 何体是解此类题的关键.
2

7.在区间(0, A.

)上随机取一个数 x,使得 0<tanx<1 成立的概率是( B. C. D.

)

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:求出满足 0<tanx<1,x∈(0, 解答: 解:∵0<tanx<1,x∈(0, ∴0<x< )的 x 的范围,以长度为测度,即可求得概率. )

以区间长度为测度,可得所求概率为

=

故选 C. 点评:本题考查几何概型,考查学生的计算能力,确定以长度为测度是关键.

8.已知 与 是两个互相垂直的单位向量,若 满足( ﹣ )?( ﹣ )=0,则| |的最大 值为( A.2 ) B. C .3 D.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: 可作 所以| , 根据已知条件, 容易说明点 C 在以 AB 为直径的圆上, .

|的最大值,即| |的最大值便是该圆的直径,而直径容易得到为 = , = , = ;

解答: 解:如图,设

∵ ∴ ;



∴AC⊥BC; ∴点 C 在以 AB 为直径的圆上; ∴OC 为该圆直径时| ∴ 最大为 . |最大,即 最大;

故选 B. 点评:考查单位向量的概念,两非零向量垂直的充要条件,以及向量减法的几何意义,直径 所对的圆周角为直角. 9.若△ ABC 为钝角三角形,三边长分别为 2,3,x,则 x 的取值范围是( )

A. D.

B.

C.

考点:三角形的形状判断. 专题:计算题. 分析:根据三角形为钝角三角形,得到三角形的最大角的余弦值也为负值,分别设出 3 和 x 所对的角为 α 和 β,利用余弦定理表示出两角的余弦,因为 α 和 β 都为钝角,得到其值小于 0,则分别令余弦值即可列出关于 x 的两个不等式,根据三角形的边长大于 0,转化为关于 x 的两个一元二次不等式,分别求出两不等式的解集,取两解集的交集即为 x 的取值范围.

解答: 解:由题意,



∴x 的取值范围是 , 故选 D. 点评:此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值,会求一元二次不等式组的解集,是一道综 合题.学生在做题时应注意钝角三角形这个条件. 10.已知三棱锥 S﹣ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球 的半径为( ) A.3 B.6 C.36 D.9 考点:球内接多面体;棱锥的结构特征;球的体积和表面积. 专题:计算题. 分析:三棱锥扩展为四棱柱(长方体) ,两个几何体的外接球是同一个球,求出四棱锥的对 角线的长度就是外接球的直径,即可求解半径. 解答: 解:三棱锥 S﹣ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外 接球, 就是三棱锥扩展为长方体的外接球,所以长方体的对角线的长度为: =6,

所以该三棱锥的外接球的半径为:3. 故选 A. 点评:本题考查球内接多面体,棱锥的结构特征,球的半径的求法,考查空间想象能力、计 算能力.

11.已知函数

,则方程 f(2x +x)=a(a>2)的根的个数不可能为

2

(

) A.3

B.4

C .5

D.6

考点:函数与方程的综合运用.

专题:压轴题;数形结合. 分析:先画出 y=f(x)与 y=2x +x 的图象,结合两个函数图象,利用分类讨论的数学思想 2 讨论 f(2x +x)=a(a>2)根可能的根数即可.
2 2

解答: 解:画图

,和 y=2x +x 图象,

结合两个函数的图象可知 或 a>3,4 个根, ,5 个根, ,6 个根. 故选 A. 点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及分类讨论的数学思想,属于难题之列. 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 当△ ABO ) D.

12. 过点 (

) 引直线 l 与曲线 y=

的面积取得最大值时,直线 l 的斜率等于( A. B. C.

考点:直线与圆的位置关系;直线的斜率. 专题:压轴题;直线与圆. 分析:由题意可知曲线为单位圆在 x 轴上方部分(含与 x 轴的交点) ,由此可得到过 C 点的 直线与曲线相交时 k 的范围, 设出直线方程, 由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离, 由勾股定理求出直线被圆所截半弦长,写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值. 解答: 解:由 y= 所以曲线 y= ,得 x +y =1(y≥0) . 表示单位圆在 x 轴上方的部分(含与 x 轴的交点) ,
2 2

设直线 l 的斜率为 k,要保证直线 l 与曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合, 则﹣1<k<0,直线 l 的方程为 y﹣0= 则原点 O 到 l 的距离 d= ,即 . .

,l 被半圆截得的半弦长为



=

= 令 ,则

= ,当 ,即



时,S△ ABO 有最大值为 .

此时由

,解得 k=﹣



故答案为 B. 点评:本题考查了直线的斜率,考查了直线与圆的关系,考查了学生的运算能力,考查了配 方法及二次函数求最值, 解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值, 是中档 题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知集合 A={x|x ﹣4>0},B={x|2 < },则 A∩B=(﹣∞,﹣2) .
2 x

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式解得:x<﹣2 或 x>2,即 A=(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) , 由 B 中不等式变形得:2 < =2 ,即 x<﹣2, ∴B=(﹣∞,﹣2) , 则 A∩B=(﹣∞,﹣2) . 故答案为: (﹣∞,﹣2) 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
x
﹣2

14.已知 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 6.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求最大值. 解答: 6 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) .

由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(2,2) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×2+2=6. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 6. 故答案为:6.

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.

15.已知点 P 是双曲线

﹣y =1(a>0,b>0)上的动点,F1,F2 分别是其左、右焦点,

2

若|PF1|=|PF2|+2,则此双曲线的渐近线方程是 y=±x. 考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:运用双曲线的定义,可得||PF1|﹣|PF2||=2a,由条件可得 a=1,再由双曲线的渐近线方 程,即可得到所求. 解答: 解:由双曲线 ﹣y =1 的定义可得,||PF1|﹣|PF2||=2a,
2

若|PF1|=|PF2|+2,即有|PF1|﹣|PF2|=2, 即 2a=2,解得 a=1, 即双曲线的方程为 x ﹣y =1, 则有渐近线方程为 y=±x. 故答案为:y=±x. 点评:本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要考查渐近线方程的求法,运用双曲线的定 义是解题的关键. 16.设 x∈R,若函数 f(x)为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f[f(x)﹣e ]=e+1 成 2 立,则 f(2)的值为 e +1.
x 2 2

考点:抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用已知条件求出函数的解析式,然后求解函数值即可. x 解答: 解:设 t=f(x)﹣e , x x 则 f(x)=e +t,则条件 f[f(x)﹣e ]=e+1 等价为 f(t)=e+1, t 令 x=t,则 f(t)=e +t=e+1, ∵函数 f(x)为单调递增函数, ∴函数为一对一函数,解得 t=1, x ∴f(x)=e +1, 2 即 f(2)=e +1. 2 故答案为:e +1. 点评:本题考查函数的解析式的求法,函数值的求法,考查分析问题解决问题的能力. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 2 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=n +n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= +2an﹣1, (n∈N )求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件得 2an=2Sn﹣2Sn﹣1=2n,从而得到 an=n(n≥2) ,又 n=1 时,a1=1 适合 上式.由此能求出数列{an}的通项公式. (2)bn= +2an﹣1=( )+(2n﹣1) ,由此能求出数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2

解答: 解: (1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=n +n, 2 n≥2 时,2Sn﹣1=(n﹣1) +(n﹣1) ,… ∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=2n∴an=n(n≥2)… 又 n=1 时,a1=1 适合上式. ∴an=n… … ∴ = .… …

点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意裂项求和法的合理运用. 18.某市为了了解市民对本市文明建设的满意程度,通过问卷调查了学生、在职人员、退休 人员共 250 人,结果如表: 学生 在职人员 退休人员 满意 x y 78 不满意 5 z 12

若在职人员中随机抽取 1 人,恰好抽到学生的概率为 0.32. (1)求 x 的值; (2)若 y≥70,z≥2,求市民对市政管理满意度不小于 0.9 的概率. (注:满意度= )

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (1)抽到学生的概率可得学生数,从而得 x 值; (2)根据学生数和退休人员人数得在职人员人数,再条件 y≥70,z≥2,且 y+z=80 下,写出 所有基本事件,再根据市民对市政管理满意度不小于 0.9 的概率可得 y≥72,从中找出 y≥72 的基本事件,利用个数比求概率 解答: 解: (1)依题意可得 =0.32,

解得 x=75. (2)∵学生人数为 80,退休人员人数为 90 ∴在职人员人数为:250﹣80﹣90=80, 由 y≥70,z≥2,且 y+z=80, 则基本事件(y,z)为 (70,10) , (71,9) , (72,8) , (73,7) , (74,6) , (75,5) , (76,4) , (77,3) , (78,2) . 共有 9 组. 由 ≥0.9,得 y≥72,

所以满足条件的基本事件共有 7 组, 故所求的概率 P= . 点评:本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想. 19.如图,四边形 ABCD 与 A′ABB′都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A′A 的中点,AA′⊥平 面 ABCD. (1)求证:A′C∥平面 BDE; (2)求体积 VA′﹣ABCD 与 VE﹣ABD 的比值.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离.

分析: (1)设 BD 交 AC 于 M,连接 ME.利用正方形的性质可得:M 为 AC 中点,利用三 角形的中位线定理可得:ME∥A′C.利用线面平行的判定定理即可证明. (2)VE﹣
ABD= ABCD,即可得出.

=

=

= VA′﹣

解答: (1)证明:设 BD 交 AC 于 M,连接 ME. ∵ABCD 为正方形,∴M 为 AC 中点, 又∵E 为 A′A 的中点, ∴ME 为△ A′AC 的中位线, ∴ME∥A′C. 又∵ME?平面 BDE,A′C?平面 BDE, ∴A′C∥平面 BDE. (2)解:∵VE﹣
ABD= ABCD.

=

=

= VA′﹣

∴VA′﹣ABCD:VE﹣ABD=4:1.

点评:本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计 算公式,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.已知函数 f(x)=ax ﹣blnx 在点(1,f(1) )处的切线为 y=2. (1)求实数 a,b 的值; 2 (2)是否存在实数 m,当 x∈(0,1]时,函数 g(x)=f(x)﹣2x +m(x﹣1)的最小值为 0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)求函数的导数,利用导数的几何意义,建立方程关系即可求实数 a,b 的值; (2)求函数的导数,利用函数的最小值,建立条件关系即可得到结论. 解答: 解: (1)f′(x)=2ax﹣ (x>0) ,
2

依题意可得 解得 a=2,b=4; 2 (2)∵g(x)=f(x)﹣2x +m(x﹣1)=m(x﹣1)﹣4ln x,x∈(0,1], ∴g′(x)=m﹣ = ,

①当 m≤0 时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=0. ②当 0<m≤4 时,g′(x)= ∴g(x)min=g(1)=0. ③当 m>4 时,g′(x)<0 在(0, )上恒成 立,g′(x)>0 在( ,1]上恒成立, ∴g(x)在(0, )上单调递减,在( ,1]上单调递增, ∴g(\frac{4}{m})<g(1)=0, ∴g(x)min≠0. 综上 所述,存在 m 满足题意,其范围为(﹣∞,4]. 点评:本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性,最值与函数导数之间的关系,综合性 较强,有一定的难度. ≤0,∴g(x)在(0,1]上单调递减,

21.已知椭圆

=1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 斜率为 k 的直线 l 过点 F, 且与椭圆交于 A, B 两点, P 为直线 x=3 上的一点, 若△ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件得 c=2, ,a =b +c ,由此能求出椭圆方程.
2 2 2

(Ⅱ) 直线 l 的方程为 y=k (x﹣2) . 联立方程组

, 得 (3k +1) x ﹣12k x+12k

2

2

2

2

﹣6=0.由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合等边三角形性质能求出直线 l 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆
2 2 2

=1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为



∴c=2,
2 2

,a =b +c ,

解得 a =6,b =2. ∴椭圆方程为 .

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) .

联立方程组

,消去 y 并整理,得(3k +1)x ﹣12k x+12k ﹣6=0.

2

2

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 故 , .

则|AB|= =

|

|

=



设 AB 的中点为 M(x0,y0) . 可得 , .

直线 MP 的斜率为

,又 xP=3,

所以



当△ ABP 为正三角形时,|MP|=







解得 k=±1. ∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣2=0,或 x+y﹣2=0. 点评:本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意椭圆弦长 公式的合理运用. 四、选做题,请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,A,B,C,D 四点共圆,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. (1)若 EA=2ED,EB=3EC,求 的值;

(2)若 EF∥CD,求证:线段 FA,FE,FB 成等比数列.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;立体几何. 分析: (1)根据圆内接四边形的性质,可得∠CDE=∠ABE,∠DEC=∠BEA,从而 △ ABE∽△CDE,所以有 = = ,利用比例的性质可得 的值;

(2)由 EF∥CD,得∠AEF=∠CDE,∠AEF=∠EBF,结合公共角可得△ BEF∽△EAF,于 是 = ,即可证明结论.

解答: (1)解:由 A,B,C,D 四点共圆,得∠CDE=∠ABE, 又∠DEC=∠BEA,∴△ABE∽△CDE,于是 设 DE=a,CE=b,则由 代入①,得 = = = .
2 2

=

= a

.①

,得 3b =2a ,即 b=

(2)证明:由 EF∥CD,得∠AEF=∠CDE. ∵∠CDE=∠ABE,∴∠AEF=∠EBF. 又∠BFE=∠EFA, ∴△BEF∽△EAF,于是 = ,

故 FA,FE,FB 成等比数列. 点评:本题在圆内接四边形的条件下,一方面证明线段 FA,FE,FB 成等比数列,另一方 面求线段的比值. 着重考查了圆中的比例线段、 圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与 性质等知识点,属于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 已知: 直线 l 的参数方程为 (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 考点:直线的参数方程;直线与圆锥曲线的综合问题;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题. 分析: 本题考查直线与圆的位置关系问题, 直线被圆所截得的弦长可用代数法和几何法来加 以求解 2 2 2 2 解答: 解: (1)由曲线 C:ρ cos2θ=ρ (cos θ﹣sin θ)=1, 2 2 2 2 2 2 得 ρ cos θ﹣ρ sin θ=1,化成普通方程 x ﹣y =1.① (t 为参数) , 曲线 C 的极坐标方程为: ρ cos2θ=1.
2

(2) (方法一)把直线参数方程化为标准参数方程

,②

把②代入①

,整理,得 t ﹣4t﹣6=0,

2

设其两根为 t1,t2,则 t1+t2=4,t1?t2=﹣6, . 从而弦长为 (方法二)把直线 l 的参数方程化为普通方程为 ﹣12x+13=0, . 设 l 与 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∴ 点评:方法一:利用了直线参数方程中参数的几何意义 方法二:利用了直线被圆所截得的弦长公式 选修 4-5:不等式选讲 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a(其中 a>0) . (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)当 a=4 时,不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2,分类讨论,去掉绝对值,分别求出解集, 再取并集,即得所求. (Ⅱ) 化简 ( f x) =|2x+1|﹣|x﹣1|的解析式, 求出 ( f x) 的最小值为 解得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ) 当 a=4 时, 不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2, 当 解得 当 时 x 不存在. 综上,不等式的解集为 . . 时,不等式为 3x≤2,解得 . 当 x>1 时,不等式为 x+2≤2,此 时, 不等式为﹣x﹣2≤2, , 则由 , .
2 2

. ,代入 x ﹣y =1,得 2x , .
2

(Ⅱ)设 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣1|=





,即 f(x)的最小值为



所以,当 f(x)≤log2a 有解,则有 .

,解得

,即 a 的取值范围是

点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组来 解,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.


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