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高中数学《函数的极限》教案




题:2.3

函数的极限(二)

教学目的: 1.理解函数在一点处的极限,并会求函数在一点处的极限. 2.已知函数的左、右极限,会求函数在一点处的左右极限. 3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系
王新敞
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教学重点:掌 握 当 x ? x0 时 函 数 的 极 限 教学难点:对 “ x ? x0 时 , 当 x ? x0 时 函 数 的 极 限 的 概 念 ” 的 理 解 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 上节课我们学习了当 x 趋向于∞即 x→∞时函数 f(x)的极限.当 x 趋向于∞ 时, 函数 f(x)的值就无限趋近于某个常数 a.我们可以把∞看成数轴上的一个特殊 的点.那么如果对于数轴上的一般的点 x0,当 x 趋向于 x0 时,函数 f(x)的值是否 会趋近于某个常数 a 呢? 教学过程: 一、复习引入: 1.数列极限的定义:
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一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列 {an } 的项 an 无限趋近于 某个 ..... 常数 a(即 an ? a 无限趋近于 0) ,那么就说数列 {an } 以 a 为极限,或者说 a 是 数列 {an } 的极限.记作 lim an ? a ,读作“当 n 趋向于无穷大时, an 的极限等
n ??

于 a ”“ n ?∞”表示“ n 趋向于无穷大” ,即 n 无限增大的意思 lim an ? a 有
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n ??

时也记作:当 n ?∞时, an ? a . 2.几个重要极限: (1) lim

1 ?0 n ?? n
n

(2) lim C ? C (C 是常数)
n??

(3)无穷等比数列 {q } ( q ? 1 )的极限是 0,即

lim q n ? 0( q ? 1)
n ??

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3.函数极限的定义: (1)当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常

第 1 页(共 5 页)

数 a,就说当 x 趋向于正无穷大时,函数 f(x)的极限是 a. 记作:
x ? ??

lim f(x)=a,或者当 x→+∞时,f(x)→a.

(2)当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于 一个常数 a,就说当 x 趋向于负无穷大时,函数 f(x)的极限是 a. 记作
x ? ??

lim f(x)=a 或者当 x→-∞时,f(x)→a.
(3)如果
x ? ??

lim f(x)=a 且 lim f(x)=a,那么就说当 x 趋向于无穷大时,函
x ? ??

数 f(x)的极限是 a, 记作: lim f(x)=a 或者当 x→∞时,f(x)→a.
x??

4.常数函数 f(x)=c.(x∈R),有 lim f(x)=c.
x??

lim f(x)存在,表示 lim f(x)和 lim f(x)都存在,且两者相等.所以 lim f(x)
x?? x ? ?? x ? ?? x??

中的∞既有+∞,又有-∞的意义,而数列极限 lim an 中的∞仅有+∞的意义
x??

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二、讲解新课: 1.研究实例 (1)探讨函数 y ? x ,当 x 无限趋近于 2 时的变化趋势.
2

当 x 从左侧趋近于 2 时,记为: x ? 2 .

?

x
y=x
2

1.1 1.21

1.3 1.69

1.5 2.25

1.7 2.89

1.9 3.61
?

1.99 3.9601

1.999 3.996

1.9999 3.9996

? ?

2 4

当 x 从右侧趋近于 2 时, 记为: x ? 2 .

x
y=x
2

2.9 8.41.

2.7 7.29
2

2.5 6.25

2.3 5.25

2.1 4.41
2

2.01 4.04

2.001 4.004

2.0001 4.0004
2

?

2 4

?

x ? 2 , ( 右 极 限 ) lim? x ? 2 , 因 此 有 lim x ? 2 . 发现(左极限) lim ?
x?2 x?2 x ?2

(2) 我 们 再 继 续 看

y?

x2 ?1 , 当 x 无限趋近于 1( x ? 1 )时的变化趋势: x ?1
第 2 页(共 5 页)

y?

x2 ?1 ? x ? 1, ( x ? 1) , 当 x 从左侧趋近于 1 时,即 x ? 1? 时 , y ? 2 . x ?1
?

当 x 从右侧趋近于 1 时, 即 x ? 1 时 , y ? 2 .

即(左极限)

x2 ? 1 ? lim( x ? 1) ? 2 , lim x ?1? x ? 1 x ?1? x2 ? 1 ? lim( x ? 1) ? 2 lim x ?1? x ? 1 x ?1?

(右极限)?

? lim
x ?1

x2 ? 1 ? ( x ? 1) ? 2 x ? 1 lim x ?1

? x ? 1( x ? 0) ? (3)分段函数 f ( x) ? ?0( x ? 0) 当 x→0 的变化趋势. ? x ? 1( x ? 0) ?
y

1

O

x

-1

f ( x ) ? ?1 ①x 从 0 的左边无限趋近于 0,则 f ( x ) 的值无限趋近于-1.即 lim ?
x ?0

f ( x) ? 1 ②x 从 0 的右边无限趋近于 0,则 f ( x ) 的值无限趋近于 1. 即 lim ?
x?0

可以看出

x ? x0?

lim f ( x) ? lim? f ( x) ,并 且 都 不 等 于 f (0) ? 0 .象 这 种 情 况 ,
x ? x0

就 称 当 x ? 0 时 , f ( x ) 的极限不存在. 2. 趋 向 于 定 值 的 函 数 极 限 概 念 :当 自 变 量 x 无限趋近于 x0 ( x ? x 0 )时, 如果函数 y ? f ( x) 无限趋近于一个常数 a , 就说当 x 趋向 x0 时, 函数 y ? f ( x) 的极限是 a ,记作 lim f ( x) ? a
x ? x0
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第 3 页(共 5 页)

特别地, lim C ? C ; lim x ? x 0
x ? x0 x ? x0

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3. lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a
x ? x0 x ? x0 x ? x0

f ( x )? a 表 示 当 x 从左侧趋近于 x0 时的左极限, lim? f ( x) ? a 表 其 中 lim ?
x ? x0 x ? x0

示 当 x 从右侧趋近于 x0 时的右极限 三、讲解范例: 例 1 求 下 列 函 数 在 X= 0 处 的 极 限 ( 1 ) lim

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x ?1 x ?0 2 x 2 ? x ? 1
2

( 2 ) lim
x ?0

x x

( 3 ) f ( x) ?

?2 x , x ? 0 ? ?0, x ? 0 ?1 ? x 2 , x ? 0 ?

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解: ( 1 ) lim

x2 ? 1 x ?1 ? lim ?1 2 x ?0 2 x ? x ? 1 x ?0 2 x ? 1 x x x ? ?1, lim ? 1 ? lim 不 存 在 . ? x ? 0 x ?0 x x x

( 2 ) lim ?
x ?0

( 3 ) f ( x) ?

?2 x , x ? 0 ? ?0, x ? 0 ?1 ? x 2 , x ? 0 ?
x ?0 x ?0 x ?0

? lim f ( x) ? lim (1 ? x 2 ) ? 1, lim f ( x) ? lim 2x ? 1 ? ? ? ?
x ?0

? lim f ( x) ? lim f ( x) ? 1 ? lim f ( x) ? 1 . ? ?
x ?0 x ?0 x ?0
y

2x 1+x2

1
O

x

四、课堂练习: 1.对于函数 y ? 2 x ? 1 填写下表,并画出函数的图象,观察当 x 无限趋近于 1 时的 变化趋势,说出当 x ? 1 时 函 数 y ? 2 x ? 1 的 极 限
第 4 页(共 5 页)

x
y=2X+1

0.1

0.9

0.99

0.999

0.9999

0.99999

? 1 ? ? 1 ?

x
y=2X+1

1.5

1.1

1.01

1.001

1.0001

1.00001

2.对于函数 y ? x 2 ? 1 填写下表,并画出函数的图象,观察当 x 无限趋近于 3 时的 变化趋势,说出当 x ? 3 时 函 数 y ? x 2 ? 1 的 极 限

x
y=X -1
2

2.9

2.99

2.999

2.9999

2.99999

2.999999

? 3 ? ? 3 ?

x
y=X -1
2

3.1

3.01

3.001

3.0001

3.00001

3.000001

3. 求 如 下 极 限 :

x2 ?1 ⑴ lim 2 ; x ?1 2 x ? x ? 1
⑷ lim
x ?4

( x ? 1) 3 ? (1 ? 3x) ⑵ lim ; x ?0 x 2 ? 2x3
; ⑸ lim
x ?0

⑶ lim 2(sin x ? cos x ? x )
2

? x? 2

1 ? 2x ? 3 x ?2

a2 ? x ? a ( a ? 0 ); x

⑹ lim

1 x?0 x

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答案:⑴ lim

x2 ?1 x ?1 2 ( x ? 1)3 ? (1 ? 3x) x ?3 ? lim ? lim ? lim ? ?3 ⑵ 2 2 3 x ?1 2 x ? x ? 1 x ?1 2 x ? 1 x ?0 x ?0 1 ? 2 x 3 x ? 2x
2

⑶ lim 2(sin x ? cos x ? x ) ? 2 ?
? x? 2

?2 2

⑷ lim
x ?4

1 ? 2x ? 3 2( x ? 2) 4 ? lim ? x ?4 1 ? 2 x ? 3 3 x ?2
1 不存在. x?0 x
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⑸ lim
x ?0

a2 ? x ? a 1 1 ? lim ? x ?0 x a 2 ? x ? a 2a
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⑹ lim

五、小结 :函 数 极 限 存 在 的 条 件 ; 如 何 求 函 数 的 极 限 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:
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