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切线的斜率


切线的斜率教案

岗位代码:0729 学科学段:高三年级数学

切线的斜率
一.教学目标:
1、知识与技能 (1) 理解曲线的斜率的概念。 (2) 会通过已知求一曲线的切线的斜率以及切线的方程。 2.过程 通过割线的斜率以及过一点的割线和切线的联系探求曲线上一点处切线的斜 率。 3.情态与价值观 通过学生对切线斜率的探

求过程的学习让学生进一步理解和体会运用已学知 识解决问题的方法,进一步提高学生对已学知识的运用能力。

二、教学重点、难点:
(1) 重点:曲线某一点处的切线。 (2) 难点:曲线某一点处的切线的求解。

三、教学方法:
探究式

四、学生学习方法:
小组讨论式

五、教学过程:
教师问: 对于曲线上某一点的切线我们都并不陌生, 但关于曲线的切线下个定 义不知道同学们能不能做到?(学生分组讨论并回答) 综述:根据我们以前所用过的切线的特点,我们不妨暂且这样来说:把在曲线 上过某一点与该曲线附近有且只有这一个交点的直线叫做此曲线在这点的切 线, 请同学们认真体会看是不是这样。 但我们要强调的是这样一个对曲线上某 一点的切线的定义是不准确的, 当我们学习了今天的内容后我相信同学们能对 此给出一个相对准确的定义。 教师问: 我们笼统的知道了曲线上某一点的切线是什么。 那么求该切线的斜率 是不是还得把它找出来啊,请同学们思考一下看怎么才能找到它呢?
y

y ? 2x ?1

y ? x2
p ?1,1?

x

分析: 1.我们不妨以实例来寻找一下曲线上某点的切线。如图 P ?1,1? 是曲线 y ? x2 上 的一点,求此曲线上点 P 处的切线的斜率。 2.通过以前所学我们知道, 要求一直线的斜率(提问学生,看学生对已学知识的 掌握情况) 要么

?1? 已知直线与直角坐标轴的交角,
要么

? 2 ? 已知直线的方程,
不然知道

? 3? 直线上的两点
也行。 但根据已知我们知道这三个条件都不具备。 那么请同学们思考我们现在 怎么办呢? 分析: 我们观察后发现直接求是不可能实现的但由题设我们知道已经知道要求 直线上的一点 P ?1,1? 那么我们只要找到另一点即可。 我们结合切线的初步定义 (把在曲线上过某一点与该曲线附近有且只有这一个交点的直线叫做此曲线 在这点的切线) 于是产生转而求其次的想法, 找 Q 是曲线上点 P 附近的一个点, 观察点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时割线 PQ 斜率的变化情况。 (因为不论过 P 点的切线还是割线 PQ 它们都过定点 P ,所以让割线 PQ 的点 Q 沿曲线向点 P 运动时就会和过点 P 的切线重合。 ) 3.研究割线 PQ 的斜率当点 Q 沿曲线向点 P 运动时的变化情况: 不妨设点 Q 的横坐标为 1 ? ?x ,则点 Q 的综坐标为 ?1 ? ?x ? ,点 Q 对于点 P 的
2

增量(即函数的增量) ?y ? ?1 ? ?x ? ? 1 ? 2?x ? ? ?x ? 所以割线 PQ 的斜率
2 2

kPQ

?y 2?x ? ? ?x ? ? ? ? 2 ? ?x ?x ?x
2

因为当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时, 则 ?x 变得越来越小, 所以 k PQ 越来越接 近 2 .当点 Q 沿曲线无限接近于点 P 时,则 ?x 无限趋近于 0 时,相应的 k PQ 无 限趋近于 2 。这表明当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时割线 PQ 无限趋近于过点
P 且斜率为 2 的直线。我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线。

从而我们根据直线的点斜式可进一步求得这条切线的方程为 y ?1 ? 2 ? x ?1? 即
y ? 2x ?1 。

六、小结:
一般地,已知函数 y ? f ? x ? 的图象, P ? x0 , y0 ? , Q ? x0 ? ?x, y0 ? ?y ? 是曲线上 的两点,当点 Q 沿着曲线逐渐向点 P 接近时,割线 PQ 绕点 P 转动。当点 Q 沿 曲线无限接近于点 P ,即 ?x 趋向于 0 时,如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位 置 PT , 那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。 此时, 割线 PQ 的斜率 k PQ ?
?y ?x

无限趋近于切线 PT 的斜率 k 。 教师问: 请同学们考虑这样一个问题, 是不是任一曲线的任意点处都有切线?

七、课后作业:
判断曲线 y ? 2x2 在点 P ?1, 2 ? 处是否有切线,如果有,求出切线的方程。


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