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导数


导数的应用

考纲再读
? 从近几年的高考试题来看,高考对本专题 的考察重点是导数的几何意义、导数的运 算、导数的综合应用及定积分的计算及应 用。典型考题如2011北京,18;2011山东 21;2011湖南6;2011福建5;2011江苏 19;2011江西19;

1.了解函数单调性和导数的关系,能利 用导数研究函数的单调性,会求函数的单 调区间及单调区间应用. 2.了解函数在某点取得的极值的必要条件 和充要条件;会用导数求函数的极大值、

极小值;会求闭区间上的函数的最大值、
最小值.

1、函数 f ( x) ? 3 ? log 2 (? x) 的导函数为
x

x 2.(教材改编)函数y= 2 的单调递增区 1? x 间为( B ) A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,2) 3.已知函数f(x)= x 3 +ax2+3x-9在x=-3时取得 极值,则a等于( D )

1 3 ln 3 ? x ln 2
x

A.2

B.3

C.4

D.5

1.函数的单调性与其导数的关系 2.函数的极值与其导数的关系

典例精讲
1 2 例 已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ? 2 ax ? x(a ? R)
2

(1)若a ? 0, 求 f (x) 的单调区间和极值;

典例精讲
1 2 例 已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ? 2 ax ? x(a ? R)
2

(2)求函数 f (x) 的单调区间和极值;

典例精讲
1 2 例 已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ? 2 ax ? x(a ? R)
2

(3)若f (x)在区间 求实数 范围;

a

?3,5? 上是单调递减,

典例精讲
1 2 例 已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ? 2 ax ? x(a ? R)
2

(4)若 f (x) 在区间?3,???存在单调减区间, 求实数 范围;

a

典例精讲
1 2 例 已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ? 2 ax ? x(a ? R)
2

(5)若f (x)在区间?3,???不是单调函数, 求实数 a 的范围;

典例精讲
例 已知函数
(1)若 a ? 0, 求 f (x) 的单调区间和极值; (2)求函数 f (x) 的单调区间和极值; (3)若f (x)在区间 求实数 范围;
1 2 f ( x) ? (ax ? x) ln x ? ax ? x(a ? R) 2
2

(4)若 f (x) 在区间?3,???存在单调减区间, 求实数 范围;

a

?3,5? 上是单调递减,

a

(5)若f (x)在区间?3,???不是单调函数, 求实数 a 的范围;

点评
(1)利用导数求单调区间时,必须先求

定义域; (2)f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某 个区间上为增函数(或减函数)的充分 条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b) 上递增(或递减)的充要条件是f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)对x∈(a,b)恒成立,但f(x)不 恒为0.区别恒成立和存在性问题;特别 是对参数的讨论;

走进高考
(2011· 江苏卷)已知a,b是实数,函数 3 2 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx, f ?(x)和 g ?(x) 是 f ( x), g ( x) 的导函数,若f ?( x) g ?( x) ? 0在 区间I上恒成立,则称f (x) 和g (x) 在区间 I上单调性一致. (1)设 a ? 0 ,若函数f (x) 和 g (x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数b的取值范围; (2)设 a ? 0,且a ? b ,若函数f (x) 和g (x) 在以a,b为端点的开区间上单调性一致, 求|a-b|的最大值.

作业布置练习卷4、5、6、8


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