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邓肯-张模型研究认识


塑性力学读书报告 塑性力学读书报告

邓肯-张模型研究认识

学 姓 学 专 教

院:建设工程 名:王吉亮 2006631011 号:2006631011 业:地质工程 师:金英玉

塑性力学读书报告

邓肯-张模型研究认识
王吉亮(83分)
分析研究了邓肯-张模型与E-B模型的建立过程和模型中参数如何确定的问题, 结合对该模 摘 要:从邓肯-张模型的本源开始, 型的认识,提出该模型具有的缺点与不足。 关键词:邓肯-张模型;E-B模型;参数确定 关键词

CONGNITION ON THE STUDY OF DUNCAN-CHANG MODEL
Wang Jiliang
Abstract: rom the parent of Duncan-Chang model, studing the establish procedure of Duncan-Chang model and E-B model, introducing the problem of how to define the indexes in the model. Associate the congnition on this model, present the shortcomings. Keywords: Duncan-Chang model; E-B model; indexes define

1 引言
邓肯-张模型是一个非线性本构模型,既然 是一个本构模型,可想而之他反应的是应力与应 变之间的关系。说它是非线性的,那么反映应力 应变关系的模量就不是一个常数E那么简单。在 介绍该模型之前,先要介绍一个概念,就是反映 非线性关系的增量广义胡克定律:

将常规三轴压缩试验的结果按

σ1 ? σ 3

ε1

~ ε1

的关系进行整理,则二者近似成线性关系(见图 1)。其中,a 为直线的截距;b 为直线的斜率。 在 常 规 三 轴 压 缩 试 验 中 , 由 于

dσ 2 = dσ 3 = 0 ,所以切线模量为

ε /(σ -σ )
3

d ε1 =

dσ 1 vt ? ( dσ 2 + dσ 3 ) Et Et

(1)
b=1/(σ -σ )ult  
1 3 1

1963 年,康纳(Kondner)根据大量土的三 轴试验的应力应变关系曲线,提出可以用双曲线 拟合出一般土的三轴试验 (σ 1 ? σ 3 ) ~ ε a 曲线, 即:

1

1

σ1 ? σ 3 =

a + bε a

εa

(2) 图1

a=1/Ei

其中,a、b 为试验常数。对于常规三轴压缩 试验,ε a = ε1 。邓肯等人根据这一双曲线应力应 变关系提出了一种目前被广泛的增量弹性模型, 一般被称为邓肯-张(Duncan-Chang)模型。 在常规三轴压缩试验中,σ 1 ? σ 3 = 可以写成:

σ1 ? σ 3

ε1

~ ε1 线性关系图

Et =

d (σ 1 ? σ 3 ) a = dε1 (a + bε1 ) 2

(4)

a + bε a

εa

在试验的起始点, ε1 = 0 , Et = Ei ,则:

Ei =

1 , 这表明 a 表示的是在这个试验中的起始 a

σ1 ? σ 3

ε1

= a + bε1

(3)

变形模量 Ei 的倒数。如果 ε 1 → ∞ ,则:

(σ 1 ? σ 3 )ult =
1

1 b

(5)

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由此可以看出 b 代表的是双曲线的渐近线所 对应的极限偏差应力 (σ 1 ? σ 3 )ult 的倒数。 在土的试样中,如果应力应变曲线近似于双 曲线关系,则往往是根据一定的应变值(如

Et =

[a +

ab(σ 1 ? σ 3 ) 2 ] 1 ? b(σ 1 ? σ 3 )

a

= a[

1 1 1 ? b(σ 1 ? σ 3 )
和 Ei =

]2

ε1 = 15% )来确定土的强度 (σ 1 ? σ 3 ) f ,而不可
能在试验中使 ε 1 无限大,求取 (σ 1 ? σ 3 )ult ;对于 有峰值点的情况,取 (σ 1 ? σ 3 ) f = (σ 1 ? σ 3 )峰 , 定义破坏比 Rf 为: 这样 (σ 1 ? σ 3 ) f <(σ 1 ? σ 3 ) ult 。

将式 b =

1 (σ 1 ? σ 3 ) ult

=

Rf (σ 1 ? σ 3 ) f

1 代 a

入上式得到:

Et = Ei [1 ? Ri

σ1 ? σ 3 2 ] (σ 1 ? σ 3 ) f

(11)

根据莫尔-库仑强度准则,有

Rf =


(σ 1 ? σ 3 ) f (σ 1 ? σ 3 ) ult

(σ 1 ? σ 3 ) f =
(6)

2c cos ? + 2σ 3 sin ? 1 ? sin ?

(12)

如 果 绘 制 lg( Ei / Pa ) 与 lg(σ 3 / Pa ) 的 关 系 图,可以发现二者近似呈直线关系,所以得式: (7)

b=

1 (σ 1 ? σ 3 ) ult
1 代入 a

=

Rf (σ 1 ? σ 3 ) f

Ei = KPa (

σ3
Pa

)n

(13)

将上式与 Ei =

其中, Pa 为大气压( Pa =101.4k Pa ) ,量纲 (8) 与 σ3 相 同 ; K、 n 为 试 验 常 数 , 分 别 代 表

Et =
得到:

d (σ 1 ? σ 3 ) a = dε1 (a + bε1 ) 2
2

lg( Ei / Pa ) 与 lg(σ 3 / Pa ) 直线的截距和斜率。将 (σ 1 ? σ 3 ) f =
(9) 和 Ei = KPa (

? ? ? ? 1 ? 1 ? Et = Rf Ei ? 1 ? ? E + (σ ? σ ) ε 1 ? 1 3 ? i ?

2c cos ? + 2σ 3 sin ? 1 ? sin ?

(14)

σ3
Pa

)n

该式表示为应变 ε 1 的函数,使用时不方便, 可将 Et 表示为应力的函数形式。由式

代入 Et = Ei [1 ? Ri

σ1 ? σ 3 2 ] ,则得到: (σ 1 ? σ 3 ) f
]2 (15)

σ1 ? σ 3
可以得到 ε 1 =

ε1

= a + bε1

(10)

Et = KPa (

σ3
Pa

) n [1 ?

R f (σ 1 ? σ 3 )(1 ? sin ? ) 2c cos ? + 2σ 3 sin ?

a (σ 1 ? σ 3 ) ,将该式代入 1 ? b(σ 1 ? σ 3 )

可见切线变形模量中包括 5 个材料常数 K、 ? 、 n、 c、 R f 。

Et =

d (σ 1 ? σ 3 ) a = 得到 dε1 (a + bε1 ) 2

2 切线泊松比(poisson's ratio)
Duncan等人根据一些试验资料,假定在常规三 轴压缩试验中轴向应变 ε 1 与侧向应变 ?ε 3 之间也
2

王吉亮(2006631011)

存在双曲线关系

ε1 =
或者

?ε 3 f + D ( ?ε 3 )

式上式可见当 ?ε 3 → 0 时, (16)

? ?ε3 ? → 0 = f = V ? ? i ε1 ? ? Vi 即 为 初 始 泊 松 比 。 见 图 (a) 。 D 为

(17) ε1 = f + D ( ?ε 3 ) = f ? Dε 3 ε 从上式,试验得到的 ? 3 与 ?ε 3 的关系可 ε1

?

ε3

ε1

?ε 3 关系渐近线的倒数,见图(b)。试验表明

近似为直线关系,从而确定截距 f 与斜率 D。从

土的切线

泊松比 Vi 是与试验的围压 σ 3 有关的。它们画在单 对数坐标中,可假设是一条直线,见图(c),这样:

vi = f=G-Flg (σ 3 Pa )
G、F 为试验常数,其确定见图(c)。 将(16)式微分:

(18)

设与实际情况相差较多;同时使用切线泊松比Vt计 算也有一些不便之处。1980 年邓肯等人提出了E- B模型,其中Et的确定与式(11)相同,另外引入 体变模量B代替切线泊松比Vt。

B=

E 3 (1 ? 2v )

(20)

vt =

?d ε 3 (1 ? Dε1 ) f + Dε1 f Vi (19) = = 2 2 d ε1 (1 ? Dε1 ) (1 ? Dε1 )

在三轴试验中用下式确定B:

B=

将 ε 1 表达式代入式(19),则得到

(σ 1 ? σ 3 )70% 3 ( ε v )70%

(21)

? ? ? ? D (σ 1 ? σ 3 ) ? ? ?1 ? ? n ? KPa ? σ 3 ? ?1 ? R f (σ 1 ? σ 3 )(1 ? sin ? ) ? ? ? ? ? ? ? 2c cos ? + 2σ 3 sin ? ? ? ? Pa ? ? ? ? 在切线泊松比式中又引入G、F、D 三个材料常数。
加上 Et 中五个常数,共有八个常数。根据弹性理 论, 0 < vt < 0.5 。

vt =

G ? F lg (σ 3 Pa )
2

其中 (σ 1 ? σ 3 )70% 与 ( ε v )70% 为 σ 1 ? σ 3 达到

70% (σ 1 ? σ 3 ) f
时的偏差应力和体应变的试验值。这样对于每一个

σ 3 =常数的三轴压缩试验,B就是一个常数。试验
表明,B与 σ 3 有关,二者关系在双对数坐标中可近 似为一直线,这样:

3 邓肯(Duncan)等人的E-B模型
试验表明,在上述模型中,ε1与ε3间的双曲线假
3

?σ ? B = K b Pa ? 3 ? ? Pa ?

m

(22)

其中 K b 和m 是材料常数,分别为 lg ( B Pa )

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与 lg (σ 3 Pa ) 直 线 关 系 的 截 距 和 斜 率 。 从 式 (2.4.36)可知, Et / 3 < B 。当B=17 Et 时, vt =0.49,这时它可用于饱和土体的总应力分析。关 于E、ν 模型与E、B 模型哪一个更适用,存在不 同意见。在我国土石坝数值计算中,人们认为E、

对于有剪胀性的土,在高应力水平 vt 的确定实际 意义不大。为此Duncan 等人在总结许多试验资料 的基础上建议如下计算有关参数的方法: 参数b的确定:

b=

ν模型计算结果更好一些。

1 (σ 1 ? σ 3 )ult

? ε1 ? ? ε1 ? ? ? ?? ? ? σ 1 ? σ 3 ?95% ? σ 1 ? σ 3 ?70% = (ε1 )95% ? ( ε1 )70%

参数B的确定:

4 Duncan-Chang模型参数的确定
在确定a、b时,用式

σ1 ? σ 3

ε1

B ?p (σ 1 ? σ 3 )70% = = Pa ?ε V 3 ( ε V )70%
其中下标95%、70%分别代表 σ 1 ? σ 3 等于

= a + bε1 及图(b)

求取

σ1 ? σ 3

ε1

与 ε 1 之间的直线关系时,常常发生低

(σ 1 ? σ 3 ) f

应力水平和高应力水平的试验点偏离直线的情况。 对于同一组试验,不同的人可能取不同的a、b值。 切线泊松比 vt 中的参数确定的任意性更大。尤 其是 参数a 的确定:

E 1 1 2 = i = aPa Pa Pa ? ε1 ? ? ε1 ? ? 1 ? ? ? +? ? ?? ? ?( ε1 )95% + ( ε1 )95% ? ? ? ? σ 1 ? σ 3 ?95% ? σ 1 ? σ 3 ?70% ? σ 1 ? σ 3 ?ult
(2)由于该模型是建立在增量广义胡克定 律基础上的变模量的弹性模型,无法反映土 的剪胀性。 参考文献
[1]罗刚,张建民.邓肯-张模型和沈珠江双屈服面模 型的改进[J].岩土力学,2004,25(6):887-890. [2]程保河,冯卫星.亚粘土邓肯-张模型参数试验研究

的95%及70%时的试验数据。 用上式列表对不同 σ 3 的 结果进行计算。 然后用双对数坐标中确定,Ei 、Eur 及B 的截距和斜率,从而可以确定出所有的材料常 数。这样计算的结果一般离散性较小,也不会因人 而异。

5 缺陷
(1)邓肯-张模型是在轴向应力增加,而 侧向应力不变的情况下获得的, 但在现实中, 土体往往经历的应力路径不是轴向压缩,还 有可能是其它的应力路径(侧向卸载、侧向 加载、轴向卸载、轴向加载),这就造成该 模型不能很好的模拟它们。
4

[J].石家庄铁道学院学报,1998,11(2):44-48. [3]殷德顺,王保田,王云涛.不同应力路径下的邓肯-张 模型模量公式[J].岩土工程学报,2007,29(9):13801385 [4] 李 广 信 . 高 等 土 力 学 [M]. 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社,2004

王吉亮(2006631011)

5



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