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【高考复习方案】(新课标)2015届高三数学二轮限时训练 第10讲 数列、等差数列、等比数列


[第 10 讲

数列、等差数列、等比数列]

(时间:5 分钟+40 分钟) 基础演练 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=2,a6=a1a2a3,则公比 q 的值为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 2.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 a9=( ) A.8 B.12 C.16 D.24 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则 S7=( ) A.10 B.12 C.14 D.20 4.等比数列{an}中,a2=1,a8=64,则 a5=( ) A.8 B.12 C.8 或-8 D.12 或-12 5.如果数列{an}满足 a1=2,an+1=an+2n,则数列{an}的通项公式 an=________. 提升训练 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a4=6,则 S5 等于( ) A.10 B.12 C.15 D.30 an-2 7.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= ,则 a2014 等于( ) 5 an-2 4 4 A.0 B.1 C. D.2 3 2 8.已知各项都不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2a7+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且 b7 =a7,则 b2b12 等于( ) A.1 B.2 C.4 D.8 * 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=2n(n∈N ),则下列数列中一定是等比数列 的是( ) A.{an} B.{an-1} C.{an-2} D.{an+2} 10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=2,a2+a4+a6=15,则 S10= ________. 2 11. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn , 若 a5 =2a3 a6 , S5 = -62, 则 a1 的值是________. * 12.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N .则 an=________. 13.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an= + 2+ 3+…+ n(n 为正整数),求数列{bn}的 2 2 2 2 前 n 项和 Sn.

b1 b 2 b3

bn

-1-

14.已知数列{an}的首项 a1=1,其前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n 都有 n,an,Sn 成等 差数列. (1)求证:数列{Sn+n+2}成等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

15.已知正项数列{an},a1=1,an=a2n+1+2an+1. (1)求证:数列{log2(an+1)}为等比数列; (2)设 bn=nlog2(an+1),数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:1≤Sn<4.

2

-2-

专题限时集训(十) 【基础演练】 5 3 3 2 2 1.C [解析] 由 a6=a1a2a3,得 a1q =a1q ,即 q =a1. 因为等比数列的各项都为正数,所以 q=a1=2. 3×2 2. C [解析] 设数列{an}的公差为 d, 则 a5=a1+4d=8, S3=3a1+ d=6,解得 a1=0, 2 d=2,所以 a9=0+8×2=16. 3.C [解析] 由 an+2=2an+1-an 得,数列{an}为等差数列.由 a5=4-a3,得 a5+a3=4= 7(a1+a7) a1+a7,所以 S7= =14. 2 2 4. C [解析] 设数列{an}的公比为 q.易知, a5 是 a2 和 a8 的等比中项, 所以 a5=a2a8=1×64 =64, 又由于 =q , q 的符号不确定, 故 a5 与 a2 符号可能相同, 也可能不相同, 因此 a5=±8. 5.n -n+2 [解析] 由于 an+1-an=2n,所以 a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an -1=2(n-1),将这 n-1 个等式叠加,整理得 an-a1=2[1+2+…+(n-1)]=n(n-1),故 an 2 =n -n+2. 【提升训练】 5(a1+a5) 5(a2+a4) 6.C [解析] S5= = =15. 2 2 4 7.B [解析] 经验算得,a1=0,a2=1,a3= ,a4=2,a5=0,…故可知数列{an}具有周 3 期性,且其周期为 4,所以 a2014=a4×503+2=a2=1. 2 2 8.C [解析] 因为 a4-2a7+3a8=0,所以 2a7=a4+3a8=4a7,所以 a7=2,所以 b7=2, 2 所以 b2 b12 =b7 =4. 9.C [解析] 由 Sn+an=2n①,可得 Sn-1+an-1=2(n-1)(n≥2)②,由①-②得 2an-an 1 -1=2,即 an-2= (an-1-2),可知数列{an-2}为等比数列. 2 10.65 [解析] 设数列{an}的公差为 d,则 a2+a4+a6=3a1+9d=6+9d=15,得 d=1, 10×9 所以 S10=10×2+ ×1=65. 2 2 4 2 2 5 11.-2 [解析] 设公比为 q.由 a5=2a3a6 得(a1q ) =2a1q ·a1q ,所以 q=2.又 S5= a1(1-25) =-62,解得 a1=-2. 1-2 n-1 12. 4 +n [解析] 由题设 an+1=4an-3n+1, n∈N*, 得 an+1-(n+1)=4(an-n), n∈N*. n-1 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1,且公比为 4 的等比数列,所以 an-n=4 ,所以 an=4n-1+n. 13.解:(1) {an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. ?a3a6=55, ?a3=5, ? ? ∴? 又公差 d>0,故? ∴d=2,a1=1. ? ? ?a3+a6=16, ?a6=11, ∴an=2n-1. (2)n≥2 时, n=2n-1-(2n-3)=2,bn=2 ,又 =a1=1,b1=2, 2 2 ? 2 , n = 1 , ? ∴bn=? n+1 ?2 ,n≥2, ? n 4(1-2 ) n+2 n≥2 时,Sn=(4+8+…+2n+1)-2= -2=2 -6, 1-2 n=1 时也符合,故 Sn=2n+2-6. 14.解:(1)证明:∵n,an,Sn 成等差数列, ∴2an=n+Sn,又 an=Sn-Sn-1(n≥2),
-32

a5 a2

3

bn

n+1

b1

∴2(Sn-Sn-1)=n+Sn(n≥2),即 Sn=2Sn-1+n(n≥2), ∴Sn+n+2=2Sn-1+2n+2(n≥2),∴Sn+n+2=2[Sn-1+(n-1)+2](n≥2), Sn+n+2 即 =2,∴数列{Sn+n+2}成等比数列. Sn-1+(n-1)+2 (2)由(1)知数列{Sn+n+2}是以 S1+3=a1+3=4 为首项,2 为公比的等比数列,∴Sn+n n-1 n+1 n+1 +2=4×2 =2 ,又 2an=n+Sn,∴2an+2=2 , n ∴an=2 -1. 2 2 15.证明:(1)∵an=an+1+2an+1,∴an+1=(an+1+1) . 1 ∵an>0,∴log2(an+1+1)= log2(an+1). 2 1 ∴{log2(an+1)}是以 1 为首项, 为公比的等比数列. 2 n -1 ?1? (2)由(1)可知 log2(an+1)=? ? , ?2? n-1 ?1? ∴bn=nlog2(an+1)=n·? ? , ?2? 2 3 n-1 n Sn=1+ + 2+…+ n-2 + n-1, 2 2 2 2 1 1 2 n-1 n Sn= + 2+…+ n-1 + n, 2 2 2 2 2 上面两式相减,得 1 1 1 1 n ? 1?n? n Sn=1+ + 2+…+ n-1- n=2?1-? ? ? ?- n, 2 2 2 2 2 ? ?2? ? 2 ∴Sn=4-

n+2
2
n-1

<4,

n-1 ?1? 又∵bn=n·? ? >0, ?2? ∴Sn≥S1=1,所以 1≤Sn<4.

-4-


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