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对数函数讲义


一、教学目标:
1.理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 2.掌握对数函数的概念、图象和性质;能利用对数函数的性质解题.

二、教学重、难点:
运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题

三、命题规律:
主要考察指数式 a ? N 与对数式 loga N ? b 的互化,对数函数的

图像和性质或由对
b

数函数复合成的函数,主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求 最值等,主要以填空为主。

四、教学内容:
【知识回顾】 1.对数的概念
如果 叫做对数的 ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 ,N 叫做对数的
b

, 其中 a



即指数式与对数式的互化: a

? N ? b ? loga N

2.常用对数:通常将以 10 为底的对数 log10 N 叫做常用对数,记作 lg N 。 自然对数:通常将以无理数 e ? 2.71828 ??? 为底的对数叫做自然对数,记作 ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式
(1)对数恒等式:①

alogaN

=

(a ? 0 且 a ? 1 ,N ? ② 0 ) loga a N =

(a ? 0且a ? 1, N ? 0)
(2)换底公式: log a N ?

log b N log b a
② 1 的对数是零,即 log a 1 ? 0 ④ loga b ? logb c ? logc d ? log a d

(3)对数的性质:①负数和零没有对数 ③底的对数等于 1,即 log a a ? 1

4.对数的运算性质 如果 a ? 0且a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么

1

(1) log a ( MN ) ? (3) log a M n ? (5) loga b ? logb a ?

; ;

(2) log a (4) log

M ? N
Mn ?

; 。

am



(6) loga b ?

1 log b a

5.对数函数 函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).、 6.对数函数图像与性质

注:对数函数 y ? log a x与y ? log 1 x(a ? 0且a ? 1) 的图像关于 x 轴对称。
a

7.同真数的对数值大小关系如图
在第一象限内,图像从左到右相应的底逐渐增大, 即0 ? c ? d ?1? a ? b

8.对数式、对数函数的理解
① 应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了数学的转化思想,也往往是解决“指数、 对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时, 应抓住定义的 “形式” , 像 y ? log x 2, y ? log2 2 x, y ? 3ln x 等函数均不符合形式 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) ,因此,它们都不是对数函数 ③ 画对数函数 y ? log a x 的图像,应抓住三个关键点 (a,1), (1.0), ( , ?1)

1 a

【例题精讲】 考点一:对数式的运算
例 1.计算

2

(1) 2 lg 2

?

?

2

? lg 2 ? lg 5 ?

? lg 2 ?

2

? lg 2 ? 1

(2) lg 5 ? lg 8 ? lg1000 ? ? lg 2

?

3

?

2

1 ? lg ? lg 0.06 6

【反思归纳】运用对数的运算法则时,要注意各字母的取值范围,只有所得结果中的对数 和所给出的数的对数都存在时才成立, 同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。 【举一反三】 1.求值: (1) log 2

7 1 ? log 2 12 ? log 2 42 ? 1 48 2

(2) ? lg 2 ? ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25
2

(3) ? log3 2 ? log9 2? ? ? log4 3 ? log8 3?

练习:

1.化简 lg 2 3 ? lg 9 ? 1 =
1

. . lg 2 = lg 3 .
. .

2 .计算 9 2

? log 3 9

=

3.计算(log 4 3+log 8 3) ·

4 .log( 6 + 4 2 ? 6 ? 4 2 ) = 5.已知log 3 2 = 1? a ,则log 2 3 = a
3

6.若 logπ (log3(lnx))=0,则 x=________. 7.化简 lg25+lg2·lg50=________.
8 1 8.计算log500+lg ? lg64 +50(lg2 +lg5) 2 = 5 2
考点二:对数值的大小比较 比较大小常用的方法有:①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法, 在比较两个幂的大小时,除上述一般方法外,还应注意以下情况: 1) 对于底数相同,真数不同的两个对数的大小比较,直接利用对数函数的单调性来判断。 2) 对于底数不同,真数相同的两个对数的大小比较,可利用对数函数的图像来判断。 3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较,可以利用中间值来比较 4) 对于三个及以上的数进行大小比较,则应先根据值的大小, (特别是 0 和 1)进行分组, 再比 较各组的大小。 5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时,要注意对底数进行讨论。 例 2.比较大小 (1) log2 3.4与log 2 8.5 (2) log2 3与log3 3 (4) log a b ? b ? 1 ? b ? R ?与log a
2



(3) log7 6与log 6 7

?

?

1 2

【举一反三】

(1)

log0.3 0.7与log0.4 0.3

(2)

?1? log0.6 0.8, log3.4 0.7和? ? ? 3?

?

1 2

(3) log0.3 0.1和log0.2 0.1 解: (1) ∵ log0.3 0.7 ? log0.3 0.3 ? 1 ∴ log0.3 0.7 ? log0.4 0.3 (2) ∵ 0 ? log0.6 0.8 ? 1

log0.4 0.3 ? log0.4 0.4 ? 1

log3.4 0.7 ? 0
? 1 2

?1? ? ? ? 3?

?

1 2

?1

?1? ∴ log3.4 0.7 ? log0.6 0.8 ? ? ? ? 3?
(3) 解: log0.3 0.1 ?

1 log0.1 0.3

?0

log0.2 0.1 ?

1 log0.1 0.2

?0

∵ log0.1 0.3 ? log0.1 0.2

∴ log0.3 0.1 ? log0.2 0.1

4

考点三:与对数函数有关的定义域问题 求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样,但 应注意真数大于 0 且不等于 1,若遇到底数含有参数,则应对参数进行讨论。 例 3. 求下列函数的定义域 (2) y ? loga (4 ? x2 ) ; (3) y ? log a . ?1? y ? loga x2 ; 4? x 解 (1) 因为 x ? 0 , 即x ? 0, 所以函数 y ? log a x 2 的定义域是 ? ??,0?
2

x

?0, ??? .

( 2 ) 因 为 4 ? x ? 0 , 即 x ? 4 ? 0 , 所 以 函 数 y ? loga (4 ? x2 ) 的 定 义 域 是
2 2

? ?2, 2? .
(3) 因为

x x ? 0 ,即 x ? x ? 4? ? 0 ,所以函数 y ? log a 的定义域是 ? 0, 4 ? . 4? x 4? x

考点四:与对数函数有关的值域问题 (1) 型如 y ? f (loga x) :采用换元法,令 t ? loga x ,根据定义域先求 t ? loga x 值域, 再求 y ? f (t ) 的值域。 (2) 型如 y ? loga f ( x) :由真数 f ( x) ? 0 求出定义域,再求出 y ? f ( x) 的值域,再根据

a 的值确定复合函数的值域.
例 4.求下列函数的定义域、值域: (1) y ?

2?x

2

?1

?

1 4
2

(2) y ? log2 ( x ? 2 x ? 5)
2

(3) y ? log1 (? x ? 4 x ? 5)
3

(4) y ?
? x 2 ?1

log a (? x 2 ? x)

解(1):要使函数有意义,必须: 2 值域:∵ ? 1 ? x ? 1 ∴
2

?

1 ? 0 即: ? x 2 ? 1 ? ?2 ? ?1 ? x ? 1 4
2 2

∴ ? 1 ? ? x ? 0 从而 ? 2 ? ? x ? 1 ? ?1 ∴0 ? 2
2
? x 2 ?1

1 ? 2? x 4
2

2

?1

?

1 2

?

1 1 ? 4 4

∴0 ? y ?

1 2

(2)∵ x ? 2 x ? 5 对一切实数都恒有 x ? 2 x ? 5 ? 4 从而 log2 ( x ? 2 x ? 5) ? log2 4 ? 2
2 2

∴函数定义域为 R

即函数值域为 y ? 2

(3)函数有意义,必须: ? x ? 4 x ? 5 ? 0 ? x ? 4 x ? 5 ? 0 ? ?1 ? x ? 5 由?1 ? x ? 5
2

∴在此区间内 (? x ? 4 x ? 5) max ? 9
2

∴ 0 ? ? x ? 4x ? 5 ? 9 从而 log1 (? x ? 4 x ? 5) ? log1 9 ? ?2
2 3 3

即:值域为 y ? ?2

5

(4)要使函数有意义,必须: ? x ? x ? 0
2

① ②

loga (? x 2 ? x) ? 0
由①: ? 1 ? x ? 0
2 由②:当 a ? 1 时 必须 ? x ? x ? 1

x ??
x? R

2 当 0 ? a ? 1 时 必须 ? x ? x ? 1

综合①②得

? 1 ? x ? 0且0 ? a ? 1

当?1 ? x ? 0时
2

( ? x 2 ? x ) max ?

1 4

∴0 ? ?x ? x ?
2

1 4

∴ loga ( ? x ? x ) ? loga 考点五:定义域或值域为 R 的问题

1 4

y ? loga

1 4

(0 ? a ? 1)

(1) 若 y ? loga ?? ( x)? 的定义域为 R,则对任意实数 x ,恒有 ? ( x) ? 0 。 特别地,当 ? ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 时,要使定义域为 R,则必须 a ? 0且? ? 0 (2) 若 y ? loga ?? ( x)? 的值域为 R,则 ? ( x) 必需取遍 ? 0 , ? ?? 内所有的数。 特别地,当 ? ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 时,要使值域为 R,则必须 a ? 0且? ? 0
2

例 5. 对于函数 f ( x) ? log1 ( x ? 2ax ? 3) ,解答下述问题:
2 2

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围; (3)若函数在 [?1,??) 内有意义,求实数 a 的取值范围; (4)若函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) ,求实数 a 的值; (5)若函数的值域为 (??,?1] ,求实数 a 的值; (6)若函数在 (??,1] 内为增函数,求实数 a 的取值范围.

例 7、函数 f(x)=log2|x|,g(x)=-x +2,则 f(x)·g(x)的图象只可能是

2

A D.

B

C

D

解析:∵f(x)与 g(x)都是偶函数,∴f(x)·g(x)也是偶函数,由此可排除 A、

6

又由 x→+∞时,f(x)·g(x)→-∞,可排除 B. 答案:C 练习: (一)选择题

1.函数y = log (a 2 -1) x是减函数,实数a的取值范围是 ( )

A.0<a<1 C.a> 2 或a<- 2
2 .设log a

B.a>1 D.- 2 <a<-1或1<a< 2

2 <1,则实数a的取值范围是 ( ) 3

3.已知a = log 0.5 0.6 b=log 2 0.5 c = log
A.a<b<c B.b<a<c

3

5,则 ( )
C.a<c<b D.c<a<b

4 .若|log a

1 1 |= log a ,则|log b a|= -log b a,则a、b满足关系 ( ) 4 4
B.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1

A.a>1,b>1 C.a>1 且 0<b<1

5.若 m>n>1,且 0<a<1,则下面四个结论中不正确的是( ) A.m-a<n-a B.am<a-n
C.m?a <na D.log2 <log2 am an

7.设 f(x)=|lgx|,则其递减区间是( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.不存在

8.已知偶函数f(x) 在[2,4]上单调递减,那么f(log 1 8) 与f( -π ) 的大小关系
2



A.f(log 1 8) >f( -π )
2

B.f(log 1 8) = f( -π )
2

C.f(log 1 8) <f( π )
2

D.不能确定

9.函数y = log 1 (x 2 -3x+2) 的递增区间是 ( )
2

A.(-∞,1)

B.(2,+∞)

3 C. ( -∞, ) 2

3 D. ( ,+∞ ) 2

10. 如图 2. 8-11 所示, 已知 0<a<1, 则在同一坐标系中, 函数 y=a-x, 和 y=loga(-

7

x)的图像只可能是( )

(二)填空题 1. 函数 f ( x) ? a x ? loga x 在区间 ?1 , 2? 上的最大值与最小值之和为 ? 之积为 ?

1 ,最大值与最小值 4

3 ,则 a 等于 8



2 .函数y =

1 的定义域是 lg(x ? 1)



3.函数 y=log2(2-x2)的值域是________.

4.已知函数f(x) =(log 1 x) 2 -log 1 x+5,x∈[2,4],则当x ?
4 4

________时,f(x)有最大值________.当 x=________时,f(x)有最小值________. 5.函数 f(x)的定义域是(-∞,1),则 f(log2(x2-1))的定义域是________.

1 ? 6) ? 3 的解集为 。 x 4 x 7.若 f ( x) ? lg(5 ? x ? m) 的值域为 R,则 m 的取值范围是 5
6.不等式 log 2 ( x ?



8.如果log a

2 <1,则a的取值范围是 5



1 求下列各式中的 x 的值: (1) 3x ? 1 ;(2) 4 x ?
3

1 ;(3) 2 x ? 9 ; 64

(4) 5 2 x

? 125 ;(5) 7 2 x ?1 ? 1 .

2 有下列 5 个等式,其中 a>0 且 a≠1,x>0 , y>0 ① loga (x ? y) ? loga x ? loga y ,② loga (x ? y) ? loga x ? loga y , ③ loga
x 1 ? loga x ? loga y ,④ loga x ? loga y ? loga (x ? y) , y 2

⑤ loga (x 2 ? y 2 ) ? 2(loga x ? loga y) ,
8

将其中正确等式的代号写在横线上_____________. 3 化简下列各式: (1) 4 lg 2 ? 3 lg 5 ? lg 1 ;
5
1 lg 9 ? lg 240 (2) 2 2 36 1 ? lg 27 ? lg 3 5 1?



(3) lg 3 ? lg 70 ? lg 3 ;
7

(4) lg 2 2 ? lg 5 lg 20 ? 1 . 4 利用对数恒等式 a log
4 5
a

N

? N ,求下列各式的值:

(1) ( 1 ) log 3 ? ( 1 ) log 4 ? ( 1 ) log 5
3

4

5

3

(2) 3

log 1 4
3

? 10 log0.01 2 ? 7
2

log 1 2
7

(3) 25log (4) 2

5

? 49log7 3 ? 100lg
?3
log9 27

6

log4 12

?5

log25

1 3

5 化简下列各式: (1) (log 4 3 ? log8 3) ? (log3 2 ? log9 2) ; (2) [(1 ? log6 3) 2 ? log6 2 ? log6 18] ? log4 6

5b ? 7 , 6 已知 log 3 5 ? a , 用 a、 b 的代数式表示 log63 105 =________.

7 (1) y ? log3 (x ? 1) 的定义域为_________值域为____________. (2) y ? log2 x 2 的定义域为__________值域为_____________. 8 求下列函数的定义域: (1) y ?
25 ? x 2 ;(2) y ? log(2x?1) (x 2 ? 6x ? 8) ;(3) y ? log2 (log 1 x) . loga (3x ? 2) 2

9

9

(1) 已知 a ? 0.33,b ? 30.3,c ? log3 0.3,d ? log0.3 3 ,将 a 、 b 、 c 、 d

四数从小到大排列为_____________________. (2)若 log n 2 ? log m 2 ? 0 时,则 m 与 n 的关系是( A.m>n>1 B.n>m>1
a

) D.1>n>m>0 )

C.1>m>n>0
3 则实数 ? 1, 4

10 (1)若 a>0 且 a≠1, 且g o l A.0<a<1 B. 0 ? a ? 3
4

a 的取值范围是(
4

C. a ? 3 或0 ? a ? 3
4 4

D. 0 ? a ? 3 或 a>1 )

(2)若 1<x<d,令 a ? (logd x) 2,b ? logd x 2,c ? logd (logd x) ,则( A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b

11 已知函数 y1 ? log3 (2x ? 4),y 2 ? log3 (5 ? 3x) . (1)分别求这两个函数的定义域; (2)求使 y1 ? y 2 的 x 的值; (3)求使 y1 ? y 2 的 x 值的集合.

12 已知函数 f (x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) (1)求函数的定义域; (2)证明 f(x)是减函数.

10

【同步达纲练习】 一、选择题 1.
log8 9 的值是( log 2 3

) C. 3
2

A. 2
3

B.1

D.2 ) C.(0,1) D.[1,

2.函数 f (x) ? log2 (x 2 ? 2x ? 1) 的定义域是( A. R +∞] 3 . 若 函 数
f (x) ? 2 x

B.(-∞,1)∪(1,+∞)

, 它 的 反 函 数 是

f ?1 (x)



a ? f ?1 (3),b ? f ?1 (4),c ? f ?1 (?) ,则下面关系式中正确的是(

)

A.a<b<c 4. 3log A.16
3

B.a<c< b ) C.3

C.b<c<a

D.b<a<c

4

的值是( B.4

D.2

5. f (x) ? log5 (x 2 ? 2x ? 2) ,使 f(x)是单调增函数的 x 值的区间是 ( ) A.R +∞) 6. (log 3 2 ? log 2 3) 2 ? A. log2 6
log 3 2 log 2 3 ? 的值是( log 2 3 log3 2

B.(-∞,1)

C.[1,+∞]

D.(-∞,1)∪(1,

)

B. log3 6

C .2

D.1

7.命题甲:a>1 且 x>y>0 命题乙: loga x ? loga y 那么甲是乙的( )
11

A.充分而非必要条件 C.充分必要条件

B.必要而非充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

8.如果 0<a<1,那么下列不等式中正确的是( A. (1 ? a) 3 ? (1 ? a) 2 C. log(1?a ) (1 ? a) ? 0 9. 2 2 log 5 的值是(
2

1

1

B. (1 ? a)1?a ? 1 D. log(1?a ) (1 ? a) ? 0 ) C.125 D.625 )

A.5

B.25

10.函数 f (x) ? log3 (2 ? x) 在定义域区间上是( A.增函数 B.减函数

C.有时是增函数有时是减函数 D.无法确定其单调性 11. f (x) ? log 2 x ,若 f ?1 (a) ? 2 ? 14 ,则实数 a 的值是( A.4 B.3 C.2 D.1 ) )

12.在区间(0,+∞)上是增函数的函数是( A. f (x) ? ( 2 ) x ?1
3

B. f (x) ? log 2 (x 2 ? 1)
3

C. f (x) ? lg(x 2 ? x)
2 5? 13. log3 5 log3 15 ? log3

D. f (x) ? 101?x
1 的值是( log 5 3

)

A.0

B.1

C. log3 5

D. log5 3 ) D.(-∞,2)

14.函数 y ? log5 x ? 2 (x≥1)的值域是( A.R B.[2,+∞]

C.[3,+∞]

12

15.如果 f (x) ? loga (2 ? x) 是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(0,1) D.(0,2) )

)

16.函数 y ? log3 (x 2 ? 2x ? 3) 是单调增函数的区间是( A.(1,+∞) -1) 17.如果 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,那么下面不等关系式中正确的是( A.0<a<b<1 二、填空题 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 B.(3,+∞) C.(-∞,1)

D.(-∞,

)

1 .函数 f(x) 的定义域是 [ - 1 , 2] ,则函数 f (log 2 x) 的定义域是 _____________. 2.若 2 log
3

x

?

1 ,则 4

x=_____________.

3.若 f (x) ? log3 (x ? 1) 使 f(a)=2,那么 a=_____________. 4.函数 f (x) ? log3 (x 2 ? ax ? a) 的定义域是 R(即(-∞,+∞)),则实 数 a 的取值范围是_____________. 5.函数
1 y ? ( )x 3

的图象与函数

y ? ? log3 x

的图象关于直线

_____________对称. 6 .函数 f (x) ? log4 (x 2 ? 1) ,若 f(a)>2 ,则实数 a 的取值范围是 _____________. 7.已知 f ( x ) ?
3x ? 1 ,则 f ?1 ( 1 ) =_____________. x 2 3 ?1

13

8. f (x) ? log 1 x ,当 x ?[a,a 2 ] 时,函数的最大值比最小值大 3,则
2

实数 a=_____________. 9. (lg 2)[(log 1
2

1 ?1 ) ? (log 4

5

2) ?1 ] =_____________.

三、解答题 1.试比较 (lg x) 2 与lg x 2 的大小.

2.已知 f (x) ? loga (a x ? 1) (a>1) (1) 求 f(x)的定义域; (2)求使 f (2x) ? f ?1 (x) 的 x 的值.

3.实数 x 满足方程 x ? log2 (2 x ? 31) ? 5 ,求 x 值的集合.

log14 5 ? b ,求 log35 28 (用 a、b 表示). 4.已知 log14 7 ? a,

14


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指数函数与对数函数经典讲义

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