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直线方程的几种形式


名称

已知条件 点P1(x1,y1) 和斜率k 斜率k和在y轴 上的截距b 点P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)

方程

适用范围 直的直线

温 故 知

点斜式 斜截式

y ? y1 ? k ?x ? x1 ? 不包括与x轴垂

/>y ? k x? b
y ? y1 x ? x1 ? y 2 ?y1 x 2 ? x 1

不包括与x轴垂 直的直线 不包括与坐标轴 垂直的直线 不包括过原点及 与坐标轴垂直的 直线 A,B不同时为零

两点式



在x轴上的截距 x y 截距式 a.在y轴上的截 ? ? 1, a b 距b. 一般式 Ax+By+C=0

例1、若直线 l满足下列条件,求其直线方程. x+y-3=0 (1) 过点(2,1),k=-1; (2) 过点(2,3)且与x轴平行; y=3 (3) 过点(-7,2)且与x轴垂直。x=-7

变式练习1、求满足下列条件的直线方程. (1)过点(0,3),斜率为-3; 3x+y-3=0 x=3 (2)过点(3,-4),且与y轴平行; (3)过点(-2,3)和点(5,-4). x+y-1=0 (4)过点(2,2)和点(2,4). x=2

例2、求过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

例2、求过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
解:若直线在两坐标轴上的截距不为0 x y 则可设直线方程为 ? ?1 a a 4 1 代入点A(4,1)得 ? ?1 a a x y 所以a ? 5, 直线为 ? ?1 5 5 即x ? y ? 5 ? 0 若直线在两坐标轴上的截距为0 则可设直线方程y ? kx 代入A(4,1), 得方程x ? 4 y ? 0 综上:直线为x+y-5=0或x-4y=0

例2、求过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
解:由于直线过点(4,1)且与两坐标轴上的截距相等, 所以直线与x轴和y轴不垂直,斜率必存在且不为0 设直线方程为y-1=k(x-4) (k ? 0) 令x ? 0, y ? 1 ? 4k ; 1 y ? 0, x ? 4 ? k 1 所以1-4k=4k 1 解得k ? ?1或 4 所以直线方程x ? y ? 5 ? 0或x ? 4 y ? 0

变式训练2、直线过点(1,2)和第一、二、四象限, 若直线的横截距与纵截距和为6,求直线方程. 解:因为直线过第一、二、四象限,

所以直线在坐标轴上的截距存在且 x y 不为0,设直线方程 ? ?1 a 6?a 代入(1,2)点得, 1 2 2 ? ? 1,即a ? 5a ? 6 ? 0 a 6?a 所以a ? 2或3 直线方程为2 x ? y ? 4 ? 0或x ? y ? 3 ? 0

例3、已知直线的斜率为2,在y轴上的截距为m.
(1)求直线的方程;(2)当m为何值时,直线过(1,1), 并求此时直线与坐标轴围成的三角形的面积.

解:(1)利用直线斜截式方程,得y=2x+m (2)将点(1,1)代入得m=-1 即:y=2x-1 令x=0,y=-1, 与y轴交于点(0,-1) 1 1 y=0,x= , 与x轴交于点( , 0) 2 2 1 1 1 所以三角形面积 S= ? ?1 ? 2 2 4

y
1 2

x

?1

变式练习3、已知直线的斜率为 ,且和两坐标轴围 成的三角形的面积为3,求直线的方程。 1 解:设直线方程为y= x ? b 6 令x=0,y=b;
令y=0,x=-6b 1 ? 三角形面积S= ?|b | ? | ?6b |? 3 2 ? b= ? 1 1 1 ? 直线方程y= x+1 或y= x-1 6 6 即直线方程x-6y+6=0或x-6y-6=0

1 6

小结
1、直线方程的五种形式 2、根据已知条件,选择合适的直线方程 的形式,从而使求解过程简单明确。 3、使用截距式时要注意是否漏掉过原点的直 线;设点斜式时注意直线的斜率是否存在。


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