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高中数学教学案例[1]


高中数学必修·2 教学案例
——直线与平面平行的判定
孙立全 【教学内容分析】
本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用, 具有重要的意义与地位。 本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,结合 有关的实物模型,通过直观感知、操作确认(合情推理,不要求证明)归纳出直 线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推

理能力起 到重要作用,特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

【学生学习情况分析】
任教的学生在年段属中下程度,学生学习兴趣较低,并且学习立体几何所 具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足,学习方面有一定困难。 【设计思想】 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则,适当运用多媒体辅助教学手段, 借助实物模型,通过直观感知,操作确认,合情推理,归纳出直线与平面平行 的判定定理,将合情推理与演绎推理有机结合,让学生在观察分析、自主探索、 合作交流的过程中,揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念,领会数学 的思想方法,养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式,发展学生的空 间观念和空间想象力,提高学生的数学逻辑思维能力。

【教学目标】
通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平 行的判定定理,掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字 语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑 思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习,在自主合作、交流中学习,体 验学习的乐趣,增强自信心,树立积极的学习态度,提高学习的自我效能感。

【教学重点与难点】
重点是判定定理的引入与理解,难点是判定定理的应用及立几空间感、空 间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

【教学过程设计】
(一)知识准备、新课引入 提问 1:根据公共点的情况,空间中直线 a 和平面 ? 有哪几种位置关系? 并完成下表: 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外,用符号表 示为 a ? ? 提问 2:根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行 你认为方便吗?谈谈你的看法,并指出是否有别的判定途径。 (设计意图:通过提问,学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本 节课题,并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备) (二)判定定理的探求过程 1、直观感知 提问:根据同学们日常生活的观察,你们能感知到并举出直线与平面平行 的具体事例吗? 学生 1:例举日光灯与天花板,树立的电线杆与墙面。 学生 2:门转动到离开门框的任何位置时,门的边缘线始终与门框所在的 平面平行(由学生到教室门前作演示),然后教师用多媒体动画演示。 (学情预设:此处的预设与生成应当是很自然的,但老师要预见到可能出 现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。 ) 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:当把互相平行的一边放在讲 台桌面上并转动,观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉,而当把直角腰 放在桌面上并转动,观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲 台,则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙面平行,如老师向前或后倾斜则 感觉老师(视为线)与左、右墙面平行,如老师向左、右倾斜,则感觉老师(视为 线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的 演示)。 (设计意图:设置这样动手实践的情境,是为了让学生更清楚地看到线面

平行与否的关键因素是什么,使学生学在情境中,思在情理中,感悟在内心中, 学自己身边的数学,领悟空间观念与空间图形性质。 ) 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素 起了作用呢?通过观察感知发现直线与平面平行,关键是三个要素:①平面外 一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行 (2)如果平面外的直线 a 与平面 ? 内的一条直线 b 平行, 那么直线 a 与平面

? 平行吗?
4、归纳确认: (多媒体幻灯片演示) 直线和平面平行的判定定理: 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线和这个平面平行。 简单概括: (内外)线线平行 ? 线面平行

a? ?? ? ? 符号表示: b ? ? ? ? a || ? ? 温馨提示: a || b ?
作用:判定或证明线面平行。 关键:在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。 思想:空间问题转化为平面问题 (三)定理运用,问题探究 1、想一想: (1)判断下列命题的真假?说明理由: ①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与平面平行( ②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行( ) ) ) )

③一直线上有二个点到平面的距离相等,则这条直线与平面平行( (2)若直线 a 与平面 ? 内无数条直线平行,则 a 与 ? 的位置关系是( A、a || ? B、a ? ? C、a || ? 或 a ? ? D、 a ? ?

(学情预设:设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性,同时预 设(1)中的③学生可能认为正确的,这样就无法达到老师的预设与生成的目的, 这时教师要引导学生思考,让学生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准 备好的羊毛针与泡沫板进行演示,让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例,如 果有的学生空间想象力强,能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学生进 行演示。 )

2、作一作: 设 a、 是二异面直线, b 则过 a、 外一点 p 且与 a、 都平行的平面存在吗? b b 若存在请画出平面,不存在说明理由? 先由学生讨论交流,教师提问,然后教师总结,并用准备好的羊毛针、铁 线、泡沫板等演示平面的形成过程,最后借多媒体展示作图的动画过程。 (设计意图:这是一道动手操作的问题,不仅是为了拓展加深对定理的认 识,更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性) 3、证一证: 例 1:已知空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点,求证:EF || 平面 BCD。 变式一:空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 中点, 连结 EF、FG、GH、HE、AC、BD 请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情 况。(共 6 组线面平行) 变式二:在变式一的图中如作 PQ ? EF,使 P 点在线段 AE 上、Q 点在线段 FC 上,连结 PH、QG,并继续探究图中所具有的线面平行位置关系?(在变式一的 基础上增加了 4 组线面平行), 并判断四边形 EFGH、 PQGH 分别是怎样的四边形, 说明理由。 (设计意图:设计二个变式训练,目的是通过问题探究、讨论,思辨,及 时巩固定理,运用定理,培养学生的识图能力与逻辑推理能力。 ) 例 2:如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC 与 C1D1 中点, 求证:EF || 平面 BDD1B1
A1 B1 D1 F C1

D E A B

C

分析:根据判定定理必须在平面 BDD1B1 内找(作)一条线与 EF 平行,联想到 中点问题找中点解决的方法,可以取 BD 或 B1D1 中点而证之。 思路一:取 BD 中点 G 连 D1G、EG,可证 D1GEF 为平行四边形。 思路二:取 D1B1 中点 H 连 HB、HF,可证 HFEB 为平行四边形。 (知识链接:根据空间问题平面化的思想,因此把找空间平行直线问题转 化为找平行四边形或三角形中位线问题,这样就自然想到了找中点。平行问题

找中点解决是个好途径好方法。这种思想方法是解决立几论证平行问题,培养 逻辑思维能力的重要思想方法) 4、练一练: 练习:将两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 拼在一起,设 M、N 分别为 AC、 BF 中点,求证:MN || 平面 BCE。 变式:若将练习 2 中 M、N 改为 AC、BF 分点且 AM = FN,试问结论仍成立 吗?试证之。 (设计意图:设计这组练习,目的是为了巩固与深化定理的运用,特别是 通过练习 2 及其变式的训练,让学生能在复杂的图形中去识图,去寻找分析问 题、解决问题的途径与方法,以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。 ) (四)总结 先由学生口头总结,然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示) : 1、线面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则 该直线与这个平面平行。 a ? ? ? ? ? 2、定理的符号表示: b ? ? ? ? a || ? a || b ? 简述: (内外)线线平行则线面平行 ? 3、定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行,途径有:取中点 利用平行四边形或三角形中位线性质等。

【教学反思】
本节“直线与平面平行的判定”是学生学习空间位置关系的判定与性质的 第一节课,也是学生开始学习立几演泽推理论述的思维方式方法,因此本节课 学习对发展学生的空间观念和逻辑思维能力是非常重要的。 本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程, 注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动,从多 角度认识直线和平面平行的判定方法,让学生通过自主探索、合作交流,进一 步认识和掌握空间图形的性质,积累数学活动的经验,发展合情推理、发展空 间观念与推理能力。 本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、 文字语言及图形语言, 加强各种语言的互译。 比如上课开始时的复习引入, 让学生用三种语言的表达, 动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达,对例题的讲解 与分析也注意指导学生三种语言的表达。


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