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高中数学立体几何大题训练


高中数学立体几何大题训练
1.如图所示,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2, 1 M 是棱 CC1 的中点 (Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

2.如图, 在矩形 ABCD 中,点 E , F 分别在线段 AB, AD 上, AE ? EB ? AF ?
' ' 沿直线 EF 将 V AEF 翻折成 V A EF , 使平面 A EF ? 平面BEF .

2 FD ? 4 . 3

(Ⅰ)求二面角 A' ? FD ? C 的余弦值; (Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形

MNCD 向上翻折,使 C 与 A' 重合,求线段 FM 的长。

3.如图, 直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AC ? BC ,AA ? AB ,D 为 BB1 的中点, E 为 AB1 1 1 上的一点, AE ? 3EB1 . (Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角

A1 ? AC1 ? B1 的大小.

4.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V.

5.如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A BC1 ; 1 (Ⅱ)设 D 是 AC1 上的点,且 A B // 平面 B1CD ,求 A D : DC1 的值. 1 1 1

6.已知三棱锥 P-ABC 中, PA⊥ABC, AB⊥AC, PA=AC=?AB, 为 AB 上一点, N AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

7.如图△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD

? 平面 BCD,AB ? 平面 BCD, AB ? 2 3 。
(1) 求点 A 到平面 MBC 的距离; (2) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

8.如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2, EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°, E F BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; D (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积;
H A B

C

9.如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, E⊥AC,EF∥AC,AB= 2 , C CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小。

10.已知正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,点 M 是棱 AA'的中点,点 O 是对角线 BD' 的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线; D? (Ⅱ)求二面角 M-BC'-B'的大小; A? (Ⅲ)求三棱锥 M-OBC 的体积.
w_w w. k#s5_u.c o*m

C?

B?

M? D A

?O
C
B

参考答案 1.

2.(Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H,连结 A H ,因为 A E = A F 及 H 是 EF 的中 点,所以 A H
' '

'

'

'

? EF ,

又因为平面 A EF ? 平面 BEF .如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 A (2,2, 2
'

2) ,C(10,8,0) ,
?

F(4,0,0) ,D(10,0,0).
?

故 FA =(-2,2,2
?

'

2 ) FD =(6,0,0). ,
'

设 n =(x,y,z)为平面 A FD 的一个法向量, -2x+2y+2 所以 6x=0.

2 z=0

取z

? ? 2 ,则 n ? (0, ?2, 2) 。
?

又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,

? ? n ?m 3 ? ? 故 cos? n, m? ? ? ? ? 。 n ?m 3
所以二面角的余弦值为

3 3

(Ⅱ)解:设 FM

? x, 则 M (4 ? x,0,0) ,
A 重合,所以 CM ? A ' M


因为翻折后, C 与 故,

2 2 (6 ? x)2 ? 82 ? 02 =(? 2 ? x)? 22 ? 2 2),得 x ? (

21 , 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM 方法二:

?

21 。 4

(Ⅰ) 取线段 EF 的中点 H , AF 的中点 G ,连结 解: 因为 A ' E = 又因为平面 又

A ' G, A ' H , GH 。

A'F 及 H

是 EF 的中点,所以

A ' H ? EF

A ' EF ? 平面 BEF ,所以 A ' H ? 平面 BEF ,


AF ? 平面 BEF ,故 A ' H ? AF

又因为 G 、 H 是 易知 GH ∥

AF

、 EF 的中点, ,于是 AF

AB ,所以 GH ? AF

? 面 A ' GH



所以 ?A ' GH 为二面角 在 Rt ? A ' GH 中,

A '? DH ? C 的平面角,
=2, A ' G = 2

A ' H = 2 2 , GH

3

所以 cos ?A ' GH

?

3 3

.

故二面角

A '? DF ? C 的余弦值为 ?x,

3 。 3

(Ⅱ)解:设 FM

因为翻折后, C 与 而 CM
2

A ' 重合,所以 CM ? A ' M



? DC 2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x)2 ,

A ' M 2 ? A ' H 2 ? MH 2 ? A ' H 2 ? MG 2 ? GH 2 ? (2 2)2
得x

?

21 ,经检验,此时点 N 4

在线段 BC 上,

所以 FM

?

21 。 4

3.(I)连接 A1B,记 A1B 与 AB1 的交点为 F. 因为面 AA1BB1 为正方形,故 A1B⊥AB1,且 AF=FB1,又 AE=3EB1,所以 FE=EB1,又 D 为 BB1 的中点,故 DE∥BF, DE⊥AB1. ………………3 分 作 CG⊥AB,G 为垂足,由 AC=BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC⊥面 AA1B1B.连接 DG,则 DG∥AB1,故 DE⊥DG,由三垂线定理,得 DE⊥CD. 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (II)因为 DG∥AB1,故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角,∠CDG=45° 设 AB=2,则 AB1= ,DG= ,CG= ,AC= .

作 B1H⊥A1C1,H 为垂足,因为底面 A1B1C1⊥面 AA1CC1,故 B1H⊥面 AA1C1C.又作 HK⊥AC1,K 为垂足,连接 B1K, 由三垂线定理,得 B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角 A1-AC1-B1 的平面角,由此可求出二面角大小 4.解 (Ⅰ)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

(Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=

1 PA. 2

在△PAB 中,AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB=

2 ,EG=

2 2

.

∴S△ABC=

1 1 AB·BC= 2 2

×

2 ×2= 2 ,

∴VE-ABC=

1 1 2 1 S△ABC·EG= × 2 × = . 3 3 2 3

5. 解: (Ⅰ)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C ? BC1
又已知 B1C 所又 B1C 所以平面

? A1 B,且A1 B ? BC1 ? B


? 平面 A1BC1,又 B1C ? 平面 AB1C AB1C ? 平面 A1BC1 .

(Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线, 因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D:DC1=1.

6.证明: 设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图。

则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0,

? 1 ??? 1 1 ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0) , 2 2 2 ???? ??? ? ? 1 1 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 , 2 2
(Ⅰ) CM 所以 CM⊥SN (Ⅱ) NC

???? ?

1 2

) ,N(

1 2

,0,0) ,S(1,

1 2

,0).

????

1 ? (? ,1, 0) , 2

设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,

1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0, ? 令x ? 2,得a=(2,1,-2). 则? ?? 1 x ? y ? 0. ? 2 ? 1 ?1 ? ??? ? 2 ? 2 cos a, SN ? 2 2 3? 2

因为

所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45°。 7.解法一: (1)取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD, OM⊥CD.又平面 MCD

? 平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD ,所以 MO∥AB,

A、B、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E,则∠AEB 就是 AM 与平面 BCD 所 成的角.OB=MO= MO∥AB, MO//面 ABC, O 到平面 ABC 的距离相等, M、 3,

作 OH ? BC 于 H,连 MH,则 MH ? BC,求得:

OH=OCsin60 =

0

2 15 3 15 ,MH= ,利用体积相等得: VA? MBC ? VM ? ABC ? d ? 5 2 2



(2)CE 是平面

ACM

与平面 BCD 的交线.

由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形. 作 BF⊥EC 于 F,连 AF,则 AF⊥EC,∠AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角,设为 ? . 因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.

BF ? BC ? sin 60? ? 3 ,
AB 2 5 ? 2 , sin ? ? BF 5 2 5 所以,所求二面角的正弦值是 . 5 tan ? ?
解法二:取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD,又平面 MCD 平面 BCD . 以 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 如图. OB=OM= ,C(1,0,0) ,M(0,0, 3 ,则各点坐标分别为 O(0,0,0)

? 平面 BCD ,则 MO⊥

A

z

,B(0,- 3 ,0) ,A(0,- 3 ,2 3 ) , 3) ? ??? ? (1)设 n ? ( x, y, z) 是平面 MBC 的法向量,则 BC=(1, 3,0) ,

M B O
y

D

???? ? BM ? (0, 3, 3)

,由

? ? ? ?? n ? B C得 x ? 3 y ? 0

; 由

? ? ? ? ?? n ? B M得

? ??? ? 3 y ? 3z ? 0 ;取 n ? ( 3, ?1,1), BA ? (0,0, 2 3) ,则距离 ??? ? ? BA ? n 2 15 d? ? ? 5 n
(2) CM

x

C

z

??? ? ? (?1,0, 3) , CA ? (?1, ? 3, 2 3) . ? ?? ? ?? ? ?? ?n1 ?C ?? x ? 3z ? 0 M ? ? 设平面 ACM 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , ? ? ? 由 ? ? 得? .解得 x ? 3z , ? A ?? x ? 3 y ? 2 3 z ? 0 ?n1 ?C ? ? ?? ? ?? ?? ? ? n1 ? n 1 y ? z ,取 n1 ? ( 3,1,1) .又平面 BCD 的法向量为 n ? (0,0,1) ,则 cos ? n1 , n ?? ?? ? ? 5 n1 ? n
设所求二面角为 ? ,则 sin ?

???? ?

? 1? (

1 2 2 5 ) ? 5 5

.

8.(1)设底面对角线交点为 G,则可以通过证明 EG∥FH,得 FH ∥平面 EDB ; (2)利用线线、线面的 平行与垂直关系,证明 FH⊥平面 ABCD,得 FH⊥BC,FH⊥AC,进而得 EG⊥AC,

AC ? 平面 EDB ; (3)

证明 BF⊥平面 CDEF,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进而求体积. 9.

(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG , GH,由于H 为BC的中点,故 1 GH / / AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, FH / / 平面EDB ?

证明: (I) 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF//AG,且 EF=1,AG=

1 2

AC=1.

所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF//平面 EG, 因为 EG

? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE,

所以 AF//平面 BDE. (II)因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直,且 CE ? AC, 所以 CE ? 平面 ABCD. 如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C- xyz . 则 C(0,0,0) ,A(

2 , 2 ,0) ,B(0, 2 ,0).


所 以

??? ? 2 2 CF ? ( , ,1) 2 2

??? ? BE ? (0, ? 2,1)



??? ? DE ? (? 2,0,1) .
所 以

? C ?

? ?0 F

?

B1 ?

?

E,? 1

?

? ?0

?

?

??? ??? ? ? CF ?DE ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0
所以 CF

? BE , CF ? DE .

所以 CF

? BDE.
??? ? ?( 2 2 , ,1) 是平面 BDE 的一个法向量. 2 2

(III) 由(II)知, CF

设平面 ABE 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n? BA ? 0 , n?BE

??? ?

??? ?

? 0.

即?

? ( x, y , z )?( 2,0,0)?0 ? ( x, y , z )?(0,? 2,1)?0

所以 x ? 0, 且 z 令

? 2 y,

y ? 1, 则 z ? 2 .

所以 n ? (0,1,

2) .

??? ? ??? ? n? CF 3 ??? ? ? 从而 cos? n, CF ? ? 。 | n || CF | 2
因为二面角 A ? BE ? D 为锐角, 所以二面角 A ? BE ? D 的大小为

? 6

.

10.解法一: (1)连结 AC,取 AC 中点 K,则 K 为 BD 的中点,连结 OK 因为 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点 所以 AM //

1 DD ' //OK 2

所以 MO //AK w_w w. k#s5_u.c o*m 由 AA’⊥AK,得 MO⊥AA’ 因为 AK⊥BD,AK⊥BB’,所以 AK⊥平面 BDD’B’ 所以 AK⊥BD’ 所以 MO⊥BD’ 又因为 OM 是异面直线 AA’和 BD’都相交 w_w w. k#s5_u.c o*m 故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线 (2)取 BB’中点 N,连结 MN,则 MN⊥平面 BCC’B’ 过点 N 作 NH⊥BC’于 H,连结 MH 则由三垂线定理得 BC’⊥MH 从而,∠MHN 为二面角 M-BC’-B’的平面角

MN=1,NH=Bnsin45°=

1 2 2 ? ? 2 2 4

在 Rt△MNH 中,tan∠MHN=

MN 1 ? ? 2 2 w_w w. k#s5_u.c o*m NH 2 4

故二面角 M-BC’-B’的大小为 arctan2

2

(3)易知,S△OBC=S△OA’D’,且△OBC 和△OA’D’都在平面 BCD’A’内 点 O 到平面 MA’D’距离 h= VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’= 解法二: 以点 D 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1) (1)因为点 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点 所以 M(1,0,

1 2
△MA’D’

1 S 3

h=

1 24

1 1 1 1 ),O( , , ) 2 2 2 2 ???? ? 1 1 ???? ???? ? OM ? ( , ? , 0) , AA ' =(0,0,1), BD ' =(-1,-1,1) 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? ? 1 1 OM ?AA ' =0, OM ?BD ' ? ? ? +0=0w_w w. k#s5_u.c o*m 2 2

所以 OM⊥AA’,OM⊥BD’ 又因为 OM 与异面直线 AA’和 BD’都相交 故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线. (2)设平面 BMC'的一个法向量为 n1 =(x,y,z)

??

???? ? 1 BM =(0,-1, 2

),

???? ? BC ' =(-1,0,1)

?? ???? ? ?n1 ?BM ? 0 ? ? ? ?? ???? ?n1 ?BC ' ? 0 ?

1 ? ?? y ? z ? 0 即? 2 ?? x ? z ? 0 ?

取 z=2,则 x=2,y=1,从而 n1 =(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m 取平面 BC'B'的一个法向量为 n2 =(0,1,0)

??

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 1 1 ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? | n1 |? n2 | | 9? 3 1
由图可知,二面角 M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角 M-BC'-B'的大小为 arccos

1 3

(3)易知,S△OBC=

1 4

S△BCD'A'=

1 2 ?? 2 ? 1 4 4

设平面 OBC 的一个法向量为 n3 =(x1,y1,z1) w_w w. k#s5_u.c o*m

?? ?

??? ? ???? ? BD ' =(-1,-1,1), BC =(-1,0,0)

?? ???? ? ? ?n3 ?BD ' ? 0 ? ? ? ?? ??? ?n1 ?BC ? 0 ?

即?

?? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ?? x1 ? 0

取 z1=1,得 y1=1,从而 n3 =(0,1,1)

?? ?

1 ???? ? | BM ? 2 | 2 ? ? ? 点 M 到平面 OBC 的距离 d= ?? 4 | n3 | 2
VM-OBC=

w_w w. k#s5_u.c o*m

1 1 2 2 1 S?OBC ?d ? ? ? ? 3 3 4 4 24


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