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直线与圆锥曲线解题策略


一,考点与题型预测
直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、 参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲 线定义不能忘”.

二,范例选讲 例 1. 已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线与圆 x 2

? y 2 ? 10 x ? 20 ? 0 相切. 过 点 P ? ?4, 0 ? 作斜率为
1 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y 轴交于点 C ,并 4
2

且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB ? PC . (Ⅰ)求双曲线 G 的渐近线的方程; (Ⅱ)求双曲线 G 的方程; 讲解:(Ⅰ)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx ,则由渐近线与圆
x 2 ? y 2 ? 10 x ? 20 ? 0 相切可得:

1 ? 5 .所以, k ? ? . 2 k ?1
2

5k

1 双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? ? x . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可设双曲线 G 的方程为: x 2 ? 4 y 2 ? m . 把直线 l 的方程 y ?
8 则 xA ? xB ? , 3

1 ? x ? 4? 代入双曲线方程,整理得 3x2 ? 8x ? 16 ? 4m ? 0 . 4 16 ? 4m (*) xA xB ? ? 3
2

∵ PA ? PB ? PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴

? xP ? xA ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ?

2



即: ? xB ? 4 ?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0 将(*)代入上式可解得: m ? 28 . 所以,双曲线的方程为
x2 y 2 ? ? 1. 28 7

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段 的关系为横坐标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中 点的问题,常常用到“设而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥 曲线问题的常用工具). 例 2.设抛物线过定点 A ? ?1, 0 ? ,且以直线 x ? 1为准线.

(Ⅰ)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 平分,设弦 MN 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 讲解:(Ⅰ)设抛物线的顶点为 G ? x, y ? ,则其焦点为 F ? 2 x ? 1, y ? .由抛物 线的定义可知: AF ? 点A到直线x ? 1的距离=2 .
2

1 2

所以, 4 x 2 ? y 2 ? 2 .

y2 所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x ? ?1 4

? x ? 1? .

(Ⅱ)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确 定.所以,要求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 1 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y ? ? x ? b , k 代入椭圆方程得:
? 4k 2 ? 1 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k ? k ?

由 于 l 与 轨 迹 C 交 于 不 同 的 两 点 M,N , 所 以 ,
?? ? 4k 2 ? 1 ? 2 4b 2 ? 4 ? ? ? b ? 4 ? ? 0 ,即 2 k2 ? k ?

4k 2 ? k 2 b 2 ? 1 ? 0

? k ? 0 ? .(*)

2bk 1 ? 1? ? 2??? ?. 又线段 MN 恰被直线 x ? ? 平分,所以, xM ? xN ? 2 2 4k ? 1 ? 2?

所以, bk ?

4k 2 ? 1 . ?2
3 3 ?k? 2 2

代入(*)可解得: ?

? k ? 0? .

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为
? 1 ? 弦 MN 的垂直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? . ? 2 ?

1 1 4k 2 ? 1 1 1 ?b ? ? ? ?2k . 在 l : y ? ? x ? b 中,令 x ? ? ,可解得: y0 ? 2k 2k 2k k 2

3k ? 1 ? 将点 P ? ? , ?2k ? 代入 y ? kx ? m ,可得: m ? ? . 2 ? 2 ?

所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 . 4 4

从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们 可以得到下面的另一种解法:
y ? 1 ? 解法二.设弦 MN 的中点为 P ? ? , y0 ? ,由点差法得: k ? ? 0 . 2 ? 2 ?
? 1 ? 又点 P ? ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上, ? 2 ?

1 1 3 所以,y0 ? ? k ? m . 所以,m ? y0 ? k ? y0 . 2 2 4
? 1 ? 由点 P ? ? , y0 ? 在线段 BB’上(B’、B 为直 ? 2 ?

B



P M

线 x??

1 与椭圆的交点,如图),所以, 2

yB ' ? y0 ? yB .也即: ? 3 ? y0 ? 3 .
B'

所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4

点评: 解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时, 对于消元后的一元二次方程, 必须讨论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求),必须以直 线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说,“将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大
? 1 ? 于 0”与“弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? 在椭圆内”是等价的. ? 2 ?

三,高考真题
(2013 广东高考)20.(本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C1:

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= , 2 3 a b

且椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对 应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由。 答案:(1)由 e ?
2 得 a 2 ? 3b2 ,椭圆方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 3
2 2

椭圆上的点到点 Q 的距离 d ? x2 ? ? y ? 2? ? 3b2 ? 3 y 2 ? ? y ? 2?
? ?2 y 2 ? 4 y ? 4 ? 3b 2 ? ?b ? y ? b ?

当① ?b ? ?1 即 b ? 1 , d max ? 6 ? 3b 2 ? 3 得 b ? 1 当② ?b ? ?1即 b ? 1 , d max ? b 2 ? 4b ? 4 ? 3 得 b ? 1(舍)∴ b ? 1 ∴ 椭圆方程为 (2) S?AOB ?
x2 ? y2 ? 1 3

1 1 OA ? OB sin ?AOB ? sin ?AOB 2 2 1 当 ?AOB ? 90? , S ?AOB 取最大值 , 2

点 O 到直线 l 距离 d ?
3 1 解得: m2 ? , n 2 ? 2 2

1 m2 ? n2

?

m2 2 ? n2 ? 1 ∴ m2 ? n2 ? 2 又∵ 2 3

? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? , 或 ? , 或 , ? 或 ? , ? 所以点 M 的坐标为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?

?AOB 的面积为

1 2

四,作者简介 段贵胜,数学与应用数学师范专业毕业,现就职于广州学大教育天河校区, 现任高中数学学科教师。


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