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向量的数量积


向量的数量积

1.两个向量的夹角

(1)定义 已知两个 → → 向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角. ,a 与 b 同向时,夹角 θ= ;a 与 b 反向时,夹

(2)范围:向量夹角 θ 的范围是 角 . (3)向量垂直:如果向量 a 与 b 的夹角是 2.平面向量数量积的意义

,则 a 与 b 垂直,记作

.

(1)a,b 是两个非零向量,它们的夹角为 θ,则数|a|· |b|· cosθ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a· b,即 a· b = .规定 0· a=0. 当 a⊥b 时,θ=90° ,这时 a· b= (2)a· b 的几何意义:a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的 3.向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a= (2)a⊥b? (3)a· a= 且 a· b=0? ,|a|= a· a.(4)cos〈a,b〉= . .(5)|a· b| |a||b|. . . .

5.数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 (1)a· b= (4)cos〈a,b〉= .(2)a⊥b? . .(3)|a|= .

例 1.(2012 年辽宁)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x).若 a· b=1,则 x= A.-1 1 C.2 1 B.-2 D.1

(

)

→ → → → → → 变式练习。(1)(2011 年湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD· BE= ________. (2)若 a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)· (2a+3b)和|a+2b|.

例 2.(1)(2011 年江西)已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________.

变式练习。 (2012 年安徽)设向量 a=(1,2m), b=(m+1,1), c=(2, m), 若(a+c)⊥b, 则|a|=__________.

例 3.(1)(2012 年重庆)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|= A. 5 C .2 5 B. 10 D.10

(

)

(2)(2013 年宁夏银川月考)已知|a|=5,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 60° ,则当向量 ka-b 与 a+2b 垂 直时,k=________

变式练习已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为 1 A.-7 1 C.-6 1 B.7 1 D.6

(

)

(2)(2012 年陕西)设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 等于 2 A. 2 C .0 1 B.2 D.-1

(

)

课时作业??
1.已知下列各式: ①|a|2=a2; ② a· b b = ; |a|2 a

③(a· b)2=a2b2; ④(a-b)2=a2-2a· b+b2,其中正确的有 A.1 个 C .3 个 ( )

B.2 个 D.4 个

1 2.(2011 年大纲全国)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a· b=- ,则|a+2b|等于 2 ( A. 2 C. 5 B. 3 D. 7 )

3 . (2012 年东北三校联考 ) 已知 |a| = 6 , |b| = 3 , a· b =- 12 ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( A.-4 C.-2 B.4 D.2 ( ) )

4.已知向量 a,b 是非零向量,且满足 a· b=-|b|,则“|a|=1”是“向量 a 与 b 反向”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知 a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b· c)a 等于( A.(26,-78) C.-52 B.(-28,-42) D.-78

)

6. (2011 年安徽)已知向量 a、 b 满足(a+2b)· (a-b)=-6, 且|a|=1, |b|=2, 则 a 与 b 的夹角为________ 7.(2012 年课标全国)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________.
8.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

?



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