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常宁二中高二数学第一次月考试卷


常宁二中高二数学第一次月考试卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.如果 log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是( A.4 B. 4 3 C.9 ) D.18 ) D. 30
?

2、△ ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? bc ,则 A 的度数等于( A. 120
?

B. 60

?

C. 150

?

3、△ ABC 中,若 c ? 2a cos B ,则△ ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形

D.锐角三角形

2 4、若不等式 8x ? 9 ? 7 和不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集相同,则 a 、 b 的值为(



A. a =﹣8 b =﹣10 C. a =﹣1 b =9

B. a =﹣4 b =﹣9 D. a =﹣1 b =2

5、在等比数列 ?a n ?中, a7 ? a11 =6, a 4 ? a14 =5,则 A.

2 3

B.

3 2

a 20 等于( a10 3 2 C. 或 2 3

) D.﹣

2 3 或﹣ 3 2

? x ? 1, ? 6、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? y 的最小值是( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.7 B.5 C.3



D.1

7、若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个 数列有( ) (A)10 项 (B)11 项 (C)12 项 (D)13 项

8、在△ ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3 ,则 A.3 3 C.

8 3 3

a?b?c 等于 sin A ? sin B ? sin C 2 39 B. 3 39 D. 2

(

)

1

1 ?2an (0 ? an ? ) 6 ? 2 若 9、已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? a1 ? ,则 a2008 的值为( , 7 ?2a ? 1 ( 1 ? a ? 1) n ? n 2
A.



6 7

B.

3 7

C.

5 7

D.

1 7

10 、 已 知 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x 2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的 两 个 实 根 为 x1 , x 2 , 且

b 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 ,则 的取值范围是( ) a 1 1 1 1 (A) (?1,? ] (B) (?1,? ) (C) (?2,? ] (D) (?2,? ) 2 2 2 2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11、数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , n ? N ,且 S n ? 2n 2 ,则 an ?
*

.

12、正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值是 x y

.

13、若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围是
x x

.

14、在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足: 2sin(A+B)- 3 =0,则△ ABC 的面积为 .

2

15、等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项积 为 Tn , a1 ? 1 , a99 ? a100 ? 1 ? 0 , . 以下结论正确的有_________.

a99 ? 1 ? 0, a100 ? 1

① 0 ? q ? 1 ;② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ;③ T100 是所有 Tn 中最大的;④使 Tn ? 1 成立的最大自然 数是 198.

2

常宁二中高二数学第一次月考答卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明或演算步骤.) 16、 (本小题满分 12 分)△ ABC 中, a , b, c 是 A,B,C 所对的边,S 是该三角形的面积, 且

cos B b ?? cos C 2a ? c
(1)求∠B 的大小; (2)若 a =4, S ? 5 3 ,求 b 的值。

3

17、 (本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,

AC=14,DC=6,求 AB 的长.

18.(本小题满分 12 分) 电视台为某个广告公司特约播放两套片集: 片集甲每集播映时间为 21 分钟,其中含广告时间 1 分钟,收视观众为 60 万人;片集乙每集播映时间为 11 分 钟,含广告时间 1 分钟,收视观众为 20 万人。广告公司规定每周至少有 6 分钟广告, 而电视台每周只能为该公司提供不多于 86 分钟的节目时间(含广告时间).电视台每周应 播映两套片各多少集,才能获得最高的收视率?

4

19、(本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1,

( 1 )对一切实数 x,f (x) ? 0恒成立,求 m的取值范围; (2)若对x ? ?- 2, 2? ,f(x) ? ?m ? 5恒成立,求 m的取值范围。

20、 (本小题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (1) 设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; (2) 求数列 {an } 的通项公式,以及前 n 项和 Sn .

5

21、 (本题满分 13 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N ? ) ,证明:数列 ?bn ? 是等差数列。 (3)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ? ? n ? (n ? N ? ) . 2 3 a2 a3 an?1 2

6

一选择题 1-10

参考答案 DABBC CDBAD 12. 3+ 2 2 13. ? ?,2 ? 2 2

二填空题 11. 4n ? 2 三解答题 16、解:⑴由

?

?

14.

3 2

15.(1) (2) (4)

cos B b cos B sin B ?? ? ?? cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C

? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C ) ? 2sin A cos B ? ? sin A

1 2 ? cos B ? ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ? 2 3
⑵ 由a ? 4, S ? 5 3有S ?

1 1 3 ac sin B ? ? c ? ?c?5 2 2 2

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b2 ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ?

3 ? b ? 61 2

17、解:在△ ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 cos∠ADC= = =- , 2AD· DC 2× 10× 6 2 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° . 在△ ABD 中,AD=10,B=45° ,∠ADB=60° ,

3 10× 2 AB AD AD· sin∠ADB 10sin60° 由正弦定理得 = ,∴AB= = = =5 6 sin∠ADB sinB sinB sin45° 2 2

? x ? y ? 6, ? 18.解:设片集甲播映 x 集,片集乙播映 y 集,则有 ?21x ? 11y ? 86, 设此不等式组表示的 ? x, y ? N. ?
平面区域为 D.要获得最高的收视率,z ? 60x ? 20 y , 求目标函数 z ? 60x ? 20 y 在区 域 D 上的最大值即可.画图分析得,当 x=2,y=4 时,z 取得最大值 200 万. 19.(1) - 4 ? m ? 0 (2)m<

6 7

20. (1) 由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 Sn?2 ? 4an?1 ? 2 ,后式减前式得 an?2 ? 4an?1 ? 4an ,所以

an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) ,即 bn?1 ? 2bn ,所以数列 {bn } 是等比数列.
(2) a1 ? a2 ? S2 ? 4a1 ? 2 ? a2 ? 5 ? b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 ? bn ? 3 ? 2n?1

? a n?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 a a ?1 an 3 a 3 1 3 } 是以 为公差的等差数列,所以 n ? n ? n ? ,所以数列 { n ? ? (n ? 1) , n n ?1 n 2 4 2 2 4 2 2 4 n?1 n ?2 n ? 2 所以 a n ? 2 ? 3(n ?1) ? 2 ;又由 Sn?1 ? 4an ? 2 得 时
7

Sn ? 4an?1 ? 2 ? 4 2n-2 ?( 3 n - 2) ? 2n-3 ? 2 ? 2n ?( 3 n - 2) ? 2n-1 ? 2( n ? 1 时 Sn ? 1 符合) 21.解: (1)? an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)
所以数列 ?an ?1 ? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项 即

?

?

a n ?2n -1( n ? N ? )

(2) 4b1 ?14b2 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N ? )

?4b1 ?b2 ?b3 ???bn ?n ? (2n ?1 ? 1)bn (n ? N ? )
① ② ②-①,得 即 ④- ③,得 即 ③ ④

是等差数列。 (3)

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? (k ? 1, 2,? , n) ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2

8


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